1、1课时达标检测(四十五）直线与圆锥曲线练基础小题强化运算能力1已知双曲线 1 的右焦点为 F，若过点 F的直线与双曲线的右支有且只有一x212 y24个交点，则该直线的斜率的取值范围是_解析：由题意知，右焦点为 F(4,0)，双曲线的两条渐近线方程为 y x.当过点 F33的直线与渐近线平行时，满足与双曲线的右支有且只有一个交点，数形结合可知该直线的斜率的取值范围是 .33， 33答案： 33， 332(2018南京模拟)已知经过点(0， )且斜率为 k的直线 l与椭圆 y21 有两2x22个不同的交点 P和 Q，则 k的取值范围是_解析：由题意得，直线 l的方程为 y kx ，代入椭圆方程得
2、 ( kx )21，2x22 2整理得 x22 kx1 0.直线 l与椭圆有两个不同的交点 P和 Q等价于 8 k24(12 k2) 24 k2 20，解得 k 或 k ，即 k的取值范围为 .(12 k2) 22 22 ( ， 22) (22， )答案： ( ， 22) (22， )3斜率为 1的直线 l与椭圆 y21 相交于 A， B两点，则| AB|的最大值为x24_解析：设 A， B两点的坐标分别为( x1， y1)，( x2， y2)，直线 l的方程为 y x t，由Error!消去 y，得 5x28 tx4( t21)0.则 x1 x2 t， x1x2 .| AB|85 4t2 1
3、5|x1 x2| 1 k2 1 k2 x1 x22 4x1x2 2 ( 85t)2 44t2 15 425，故当 t0 时，| AB|max .5 t24105答案：41054已知椭圆 C： 1( a b0)， F( ，0)为其右焦点，过 F且垂直于 x轴的直x2a2 y2b2 2线与椭圆相交所得的弦长为 2.则椭圆 C的方程为_2解析：由题意得Error!解得Error!故椭圆 C的方程为 1. x24 y22答案： 1x24 y22练常考题点检验高考能力一、填空题1(2018苏州模拟)椭圆 ax2 by21 与直线 y1 x交于 A， B两点，过原点与线段 AB中点的直线的斜率为 ，则 _
4、.32 ab解析：设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， AB的中点 M(x0， y0)，结合题意，由点差法得， 1，所以 .y2 y1x2 x1 ab x1 x2y1 y2 ab x0y0 ab 23 ab 32答案：322(2018启东中学期末)经过椭圆 y21 的一个焦点作倾斜角为 45的直线 l，x22交椭圆于 A， B两点设 O为坐标原点，则 等于_OA OB 解析：依题意，当直线 l经过椭圆的右焦点(1,0)时，其方程为 y0tan 45( x1)，即 y x1，代入椭圆方程 y21 并整理得 3x24 x0，解得 x0 或 x ，所以两个x22 43交点坐标分别为(0，1
5、)， ， ，同理，直线 l经过椭圆的左焦点(43， 13) OA OB 13时，也可得 .OA OB 13答案：133已知抛物线 y22 px的焦点 F与椭圆 16x225 y2400 的左焦点重合，抛物线的准线与 x轴的交点为 K，点 A在抛物线上且| AK| |AF|，则点 A的横坐标为_2解析：16 x225 y2400 可化为 1，x225 y216则椭圆的左焦点为 F(3,0)，又抛物线 y22 px的焦点为 ，准线为 x ，(p2， 0) p2所以 3，即 p6，即 y212 x， K(3,0)p2设 A(x， y)，则由| AK| |AF|得2(x3) 2 y22( x3) 2
6、y2，即 x218 x9 y20，又 y212 x，所以 x26 x90，解得 x3.3答案：34已知抛物线 y22 px(p0)，过其焦点且斜率为 1的直线交抛物线于 A， B两点，若线段 AB的中点的纵坐标为 2，则该抛物线的准线方程为_解析：设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，两点在抛物线上，Error!得( y1 y2)(y1 y2)2 p(x1 x2)，又线段 AB的中点的纵坐标为 2， y1 y24，又直线的斜率为 1， 1，2 p4， p2，y1 y2x1 x2抛物线的准线方程为 x 1.p2答案： x15抛物线 y24 x的焦点为 F，准线为 l，经过 F且斜率为 的
7、直线与抛物线在 x轴上3方的部分相交于点 A， AK l，垂足为 K，则 AKF的面积是_解析： y24 x， F(1,0)，准线 l： x1，过焦点 F且斜率为 的直线3l1： y (x1)，与 y24 x联立，解得 A(3,2 )， AK4， S AKF 42 4 .3 312 3 3答案：4 36若椭圆 1 的焦点在 x轴上，过点 作圆 x2 y21 的切线，切点分别为x2a2 y2b2 (1， 12)A， B，直线 AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是_解析：由题可设斜率存在的切线的方程为 y k(x1)( k为切线的斜率)，即122kx2 y2 k10，由 1，解得 k
8、，所以圆 x2 y21 的一条切线的方程| 2k 1|4k2 4 34为 3x4 y50，可求得切点的坐标为 ，易知另一切点的坐标为(1,0)，则直线 AB(35， 45)的方程为 y2 x2，令 y0 得右焦点为(1,0)，令 x0 得上顶点为(0,2)，故a2 b2 c25，所以所求椭圆的方程为 1.x25 y24答案： 1x25 y247设双曲线 1 的右顶点为 A，右焦点为 F.过点 F平行于双曲线的一条渐近线x29 y216的直线与双曲线交于点 B，则 AFB的面积为_解析： c5，设过点 F平行于一条渐近线的直线方程为 y (x5)，即4344x3 y200，联立直线与双曲线方程，
9、求得 yB ，则 S (53) .3215 12 3215 3215答案：32158在平面直角坐标系 xOy中，过 y轴正方向上一点 C(0， c)任作一条直线，与抛物线y x2相交于 A， B两点，若 2，则 c的值为_OA OB 解析：设过点 C的直线为 y kx c(c0)，代入 y x2得 x2 kx c，即x2 kx c0，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 x2 k， x1x2 c， ( x1， y1)，OA ( x2， y2)，因为 2，所以 x1x2 y1y22，即 x1x2( kx1 c)(kx2 c)OB OA OB 2，即 x1x2 k2x1x2 kc
10、(x1 x2) c22，所以 c k2c kck c22，即c2 c20，所以 c2 或 c1(舍去)答案：29(2018徐州中学模拟)中心为原点，一个焦点为 F(0,5 )的椭圆，截直线2y3 x2 所得弦中点的横坐标为 ，则该椭圆方程为_12解析：由已知得 c5 ，设椭圆的方程为 1，联立得Error!消去 y得2x2a2 50 y2a2(10a2450) x212( a250) x4( a250) a2(a250)0，设直线 y3 x2 与椭圆的交点坐标分别为( x1， y1)，( x2， y2)，由根与系数关系得 x1 x2 ，由题意知12a2 5010a2 450x1 x21，即 1
11、，解得 a275，所以该椭圆方程为 1.12a2 5010a2 450 y275 x225答案： 1y275 x22510已知抛物线 C： y28 x与点 M(2,2)，过 C的焦点且斜率为 k的直线与 C交于A， B两点若 0，则 k_.MA MB 解析：如图所示，设 F为焦点，易知 F(2，0)，取 AB的中点 P，过 A， B分别作准线的垂线，垂足分别为 G， H，连结 MF， MP，由 0，知 MA MB，则| MP| |AB| (|AF| BF|) (|AG| BH|)，所以 MPMA MB 12 12 12为直角梯形 BHGA的中位线，所以 MP AG BH，由| MP| AP|，
12、得 GAM AMP MAP，又| AG| AF|， AM为公共边，所以 AMG AMF，所以 AFM AGM90，则 MF AB，5所以 k 2.1kMF答案：2二、解答题11(2017江苏高考)如图，在平面直角坐标系 xOy中，椭圆 E： 1( a b0)的x2a2 y2b2左、右焦点分别为 F1， F2，离心率为 ，两准线之间的距离为 8.点 P在椭圆 E上，且位于12第一象限，过点 F1作直线 PF1的垂线 l1，过点 F2作直线 PF2的垂线 l2.(1)求椭圆 E的标准方程；(2)若直线 l1， l2的交点 Q在椭圆 E上，求点 P的坐标解：(1)设椭圆的半焦距为 c.因为椭圆 E的
13、离心率为 ，两准线之间的距离为 8，12所以 ， 8，ca 12 2a2c解得 a2， c1，于是 b ，a2 c2 3因此椭圆 E的标准方程是 1.x24 y23(2)由(1)知， F1(1,0)， F2(1,0)设 P(x0， y0)，因为 P为第一象限的点，故 x00， y00.当 x01 时， l2与 l1相交于 F1，与题设不符当 x01 时，直线 PF1的斜率为 ，直线 PF2的斜率为 .y0x0 1 y0x0 1因为 l1 PF1， l2 PF2，所以直线 l1的斜率为 ，直线 l2的斜率为 ，x0 1y0 x0 1y0从而直线 l1的方程为 y (x1)，x0 1y0直线 l2
14、的方程为 y (x1)x0 1y0由，解得 x x0， y ，x20 1y0所以 Q .( x0，x20 1y0 )因为点 Q在椭圆上，由对称性，得 y0，x20 1y0即 x y 1 或 x y 1.20 20 20 206又点 P在椭圆 E上，故 1.x204 y203联立Error!解得Error!联立Error!无解因此点 P的坐标为 .(477， 377)12(2016全国卷)已知 A是椭圆 E： 1 的左顶点，斜率为 k(k0)的直线x24 y23交 E于 A， M两点，点 N在 E上， MA NA.(1)当| AM| AN|时，求 AMN的面积；(2)当 2|AM| AN|时，证
15、明： k2.3解：(1)设 M(x1， y1)，则由题意知 y10.由已知及椭圆的对称性知，直线 AM的倾斜角为 .4又 A(2,0)，因此直线 AM的方程为 y x2.将 x y2 代入 1 得 7y212 y0.x24 y23解得 y0 或 y ，所以 y1 .127 127因此 AMN的面积 S AMN2 .12 127 127 14449(2)证明：设直线 AM的方程为 y k(x2)( k0)，代入 1 得(34 k2)x216 k2x16 k2120.x24 y23由 x1(2) ，得 x1 ，16k2 123 4k2 23 4k23 4k2故| AM| x12| .1 k2121 k23 4k2由题意，设直线 AN的方程为 y (x2)，1k故同理可得| AN| .12k1 k23k2 4由 2|AM| AN|，得 ，23 4k2 k3k2 4即 4k36 k23 k80.设 f(t)4 t36 t23 t8，则 k是 f(t)的零点 f( t)12 t212 t33(2 t1)20，所以 f(t)在(0，)上单调递增7又 f( )15 260， f(2)60，3 3因此 f(t)在(0，)上有唯一的零点，且零点 k在( ，2)内，所以 k2.3 3
