1、1课时达标检测（二十九） 数列的综合问题小题常考题点准解快解1(2018安徽六安一中月考)已知数列 an的通项公式为 an5 n，其前 n 项和为Sn，将数列 an的前 4 项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列 bn的前 3 项，记 bn的前 n 项和为 Tn.若存在 mN *，使对任意 nN *， Sn Tm 恒成立，则实数 的取值范围是( )A2，) B(3，)C3，) D(2，)解析：选 D 依题意得 Sn ，根据二次函数的性质， n4,5 4 5 n n2 n 9 n2时， Sn取得最大值为 10.另外，根据通项公式得数列 an的前 4 项为a14， a23， a32， a
2、41，观察易知抽掉第二项后，余下的三项可组成等比数列所以数列 bn中， b14，公比 q ，所以 Tn 8 ，所以 4 Tn2.故选 D.2(2018北京景山学校段测)已知数列 an满足 a11， P(an， an1 )(nN *)在直线x y10 上，如果函数 f(n) (nN *， n2)，那么函数 f(n)的1n a1 1n a2 1n an最小值为( )A. B 13 14C. D712 512解析：选 C 将点 P 的坐标代入直线方程，得 an1 an1，所以 an是首项为 1，公差为 1 的等差数列，所以 an n，所以 f(n) ， f(n1) 1n 1 1n 2 1n n 1n
3、 2 ，所以 f(n1) f(n) 1n 3 1n n 2 1n n 1 1n n 2 1n 1 12n 2 12n 20，所以 f(n)单调递增，故 f(n)的最小值为 f(2) ，故选 C.1n 1 7123(2018江西金溪一中月考)据统计测量，已知某养鱼场，第一年鱼的质量增长率为200%，以后每年的增长率为前一年的一半若饲养 5 年后，鱼的质量预计为原来的 t倍下列选项中，与 t 值最接近的是( )A11 B13 C15 D172解析：选 B 设鱼原来的质量为 a，饲养 n 年后鱼的质量为 an， q200%2，则a1 a(1 q)， a2 a1 a(1 q) ， a5 a(12)(1
4、1)(1q2) (1 q2) a12.7 a，即 5 年后，鱼的质量预计为原来的 12.7 倍，(112) (1 122) (1 123) 40532故选 B.4(2018湖北襄阳四校联考)我国古代数学名著九章算术中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：第一步：构造数列 1， .121314 1n第二步：将数列的各项乘以 ，得到一个新数列 a1， a2， a3， an.n2则 a1a2 a2a3 a3a4 an1 an( )A. Bn24 n 1 24C. Dn n 14 n n 14解析：选 C 由题意知所得新数列为 1 ， ， ， ，所以n2 12 n2 13 n2 1n n2
5、a1a2 a2a3 a3a4 an1 an Errn24 112 123 134 1 n 1 n n24or! ，故选 C.n241 1n) n n 145(2018辽宁盘锦高中月考)数列 an满足 a1 ， an1 ，若不等式14 14 4an 1， a11，且 2a2， a4,3a3成等差数列(1)求数列 an的通项公式；(2)记 bn2 nan，求数列 bn的前 n 项和 Tn.解：(1)由 2a2， a4,3a3成等差数列可得 2a42 a23 a3，即 2a1q32 a1q3 a1q2，又 q1， a11，故 2q223 q，即 2q23 q20，得 q2，因此数列 an的通项公式为
6、 an2 n1 .(2)bn2 n2n1 n2n，Tn1222 232 3 n2n，2Tn12 222 332 4 n2n1 .得 Tn22 22 32 n n2n1 ， Tn n2n1 ，2 2n 12 1Tn( n1)2 n1 2.2(2017山东高考)已知 xn是各项均为正数的等比数列，且 x1 x23， x3 x22.5(1)求数列 xn的通项公式；(2)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，依次连接点 P1(x1，1)，P2(x2,2)， Pn1 (xn1 ， n1)得到折线 P1P2Pn1 ，求由该折线与直线 y0， x x1， x xn1 所围成的区域的面积 Tn.解：(1)设数列
7、 xn的公比为 q，由已知得 q0.由题意得Error!所以 3q25 q20.因为 q0，所以 q2， x11，因此数列 xn的通项公式为 xn2 n1 .(2)过 P1， P2， Pn1 向 x 轴作垂线，垂足分别为 Q1， Q2， Qn1 .由(1)得xn1 xn2 n2 n1 2 n1 ，记梯形 PnPn1 Qn1 Qn的面积为 bn，由题意得bn 2n1 (2 n1)2 n2 ，所以 n n 12Tn b1 b2 bn32 1 52 072 1(2 n1)2 n3 (2 n1)2 n2 .又 2Tn32 052 172 2(2 n1)2 n2 (2 n1)2 n1 .得 Tn32 1
8、 (22 22 n1 )(2 n1)2 n1 (2 n1)2 n1 .32 2 1 2n 11 2所以 Tn . 2n 1 2n 123(2018河北二市联考)在等比数列 an中， an0(nN *)， a1a34，且 a31 是 a2和 a4的等差中项，若 bnlog 2an1 .(1)求数列 bn的通项公式；(2)若数列 cn满足 cn an1 ，求数列 cn的前 n 项和1b2n 1b2n 1解：(1)设等比数列 an的公比为 q，且 q0，在等比数列 an中，由 an0， a1a34 得， a22，又 a31 是 a2和 a4的等差中项，所以 2(a31) a2 a4，把代入得，2(2
9、 q1)22 q2，解得 q2 或 q0(舍去)，所以 an a2qn2 2 n1 ，则 bnlog 2an1 log 22n n.(2)由(1)得， cn an1 1b2n 1b2n 12 n1 2n 1 2n 12 n ，12( 12n 1 12n 1)6所以数列 cn的前 n 项和 Sn22 22 n12 1 13 (13 15) ( 12n 1 12n 1) 2 1 2n1 2 12(1 12n 1)2 n1 2 .n2n 14(2018河北定州中学阶段性检测)已知数列 an的前 n 项和为 Sn，且 Sn .n22 3n2(1)求数列 an的通项公式；(2)若数列 bn满足 bn a
10、n2 an ，且数列 bn的前 n 项和为 Tn，求证：1an 2anTn2n .512解：(1)因为 Sn ，n22 3n2所以当 n2 时， Sn1 ， n 1 22 3 n 12所以由两式相减得 an Sn Sn1 n1.n22 3n2 n 1 22 3 n 12又因为 n1 时， a1 S12 适合 an n1，所以 an n1.(2)证明：由(1)知 bn n3( n1)1 n 3 n 12 ，12( 1n 1 1n 3)所以 Tn b1 b2 b3 bn2 n12(12 14 13 15 1n 1 1n 3)2 n12(12 13 1n 2 1n 3)2 n 2n .512 12( 1n 2 1n 3) 512
