1、1二次根式本章总结提升问题 1 二次根式的概念当 x 是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？为什么要强调 x 是这样的实数？x例 1 2017绵阳使代数式 有意义的整数 x 有( )1x 3 4 3x2A5 个 B4 个 C3 个 D2 个【归纳总结】 根据二次根式的定义，只有被开方数为非负数时二次根式才有意义，据此列出不等式(组)即可求出被开方数中所含字母的取值范围，但还要注意题中的其他限制条件，如分母不为 0 等问题 2 二次根式的性质二 次 根 式 有 哪 些 性 质 ？ 它 们 之 间 有 什 么 区 别 和 联 系 ？例 2 已知实数 a， b， c 在数轴上对应的点的位置如图 22
2、11 所示，化简： |a c| |1 b|_a2 （ a b） 2图 2211问题 3 二次根式的运算二次根式的运算种类及各自的法则是什么？它的混合运算的顺序如何？乘法公式在运算时起了什么作用？例 3 2017上海改编计算： ( 1) 2 ( )1 _18 212 8 12【归纳总结】 二次根式可以进行加、减、乘、除、乘方、开方等运算，其混合运算的顺序与有理数混合运算的顺序相同，还是先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；如果能用乘法公式，就要使用乘法公式，以使运算简便问题 4 与二次根式有关的代数式求值化简求值问题的一般要求是什么？分母有理化的依据是什么？例 4 化简求值：( ) ，其中 a1
3、 ， b1 .aa b ba b a2 b2a b 3 334详解详析【整合提升】例 1 解析 B 由题意，得 x30 且 43x0，解得3x ，其中的整数有432，1，0，1，故选 B.例 2 答案 ca1解析 由图可知：a0，ac0，ab0，1b0，故原式aacabb1ca1.例 3 答案 5解析 原式3 22 1 25.2 2 2例 4 解析 先按分式的运算法则计算化简，再代入求值解：( )aa b ba b a2 b2a b a（ a b） b（ a b）（ a b） （ a b） a2 b2a b a2 b2（ a b） （ a b） a ba2 b2 .1a b当 a1 ，b1 时
4、，原式 .3 312【章内专题阅读】二次根式中的数学思想日本著名数学教育家米山国藏指出：“作为知识的数学出校门不到两年的时间可能就忘了，唯有深深铭记在头脑中的数学精神和数学思想、研究方法、着眼点等，这些随时随5地发生作用，使学生终身受益 ”由此可见数学思想是多么的重要，那么二次根式这一章中，有哪些重要的思想呢？1模拟探究的思想例 1 我们规定运算符号“”的意义是当 ab 时，abab；当 ab 时，abab，其他运算符号的意义不变按上述规定，计算 _(332) （ 1 3） ( 12)解析 根据符号“”的意义，将其转化即可 1 2 .(332) （ 1 3） ( 12) 3 32 (1 3 1
5、2) 3 32 3 12 3点评 例 1 是模拟规定、探究计算的题型，类似的模拟理论、探究实际，模拟特殊、探究一般，模拟确定、探究分类等，是近几年中考的一个热点2数形结合的思想例 2 实数 p 在数轴上对应的点的位置如图所示，化简： ( )2.（ 1 p） 2 3 p解析 根据实数 p 在数轴上对应的点的位置，确定出 1p0，再进行化简解：由实数 p 在数轴上对应的点的位置，可得 10.所以 ( )2|1p|3pp13p2.（ 1 p） 2 3 p点评 例 2 主要是应用 |a|和( )2a(a0)化简，注意这两个性质中 a 表示的a2 a范围不同( )2中 a0，而 中 a 可以是负数a a
6、23整体代入的思想例 3 已知 x ( )，y ( )，求 x2xyy 2的值12 2018 2017 12 2018 2017解析 从整体着手，由已知式子可以看出 xy 和 xy 并不复杂，xy ，xy ，因此，只要把 x2xyy 2化成只含 xy 和 xy 的形式，整体代入求2018146值即可解：x ( )，y ( )，xy ，xy .12 2018 2017 12 2018 2017 2018 14x 2xyy 2(xy) 23xy( )23 2017.25.201814点评 例 3 如果直接将 x，y 的值代入，则计算量比较大，且算式长，容易出现错误，所以整体代入可以减小计算量4转化
7、的数学思想例 4 已知等腰三角形的两边长分别为 a，b，且 a，b 满足 (2a3b13)2a 3b 520，求此等腰三角形的周长解： (2a3b13) 20，且2a 3b 5 2a 3b 5 0，（ 2a 3b 13） 2 0， ) 解得2a 3b 5 0，2a 3b 13 0， ) a 2，b 3， )等腰三角形的周长是 7 或 8.5归纳的数学思想例 5 计算下列各式的值：； ； ； .92 19 992 199 9992 1999 99992 19999观察所得结果，总结存在的规律，运用得到的规律可得答案 10 2018解析 10； 100； 1000； 10000.可得92 19 992 199 9992 1999 99992 19999，所以 10 2018.点评 解答例 5 这类题的一般步骤：算出前几个算式，找到变化规律，利用规律归纳出要解决的问题为了促进所归纳的规律的准确性，可将规律中的 n 取最简单的特殊值再验证一下
