1、张量分析中简化记法在公式推导中的应用摘要：张量分析在计算力学中应用广泛，但其理论比较复杂，较难掌握和熟练运用。为此，给出了张量简化记法，这种记法与Fortran程序中或商业软件Matlab中的数组形似。将简化后张量的表达式应用于公式推导，可快速准确地得出结论。关键词：张量分析；张量积；简化记法；矩阵的矢量化；张量分量张量分析由于表达简洁，在力学及其它一些领域中 应用极为普遍。但对不太熟悉张量的读者的方法，使稍有一点张量基础的人都能进行公式推演和分量计算，意义无疑很大。在张量运算过程中主要是张量的积运算，只要弄清楚张量的积运算，其他运算如导数运算及谱分解等，就变得非常简单。因此本文主要针对张量积
2、运算进行探讨。文中就张量的积运算推演，张量分量的计算这两个主要问题进行了分析，提出简化记法以简化公式推导；并引入矩阵的矢量化概念(也叫矩阵的拉直操作)，将高阶张量分量直观表示为矩阵形式，使得分量运算化成矩阵运算，从而简化了张量的简洁表示下的复杂内涵。拉直操作对数值计算的指导意义可参见文献5，6。文中采用nskov在文献1中的内积定义形式，并简单讨论了和文献10中定义的异同点。1 基本记号和定义1.1 二阶，四阶张量（1）jijjijjlijjij gAggAgA lkjiljkilkjijkl PP,（2） （3） jjiiii gggI:12 转置规则（4）ijiTjij AA;（5）)(2
3、1',tTljkikiljt klijT lkjikiljPPgg13 内积lsnijkllmjilgQPAB,:14 张量积并积： ljilj,围积： jkB缠绕积： liljgA,2 张量表达式证明技巧21 等价的简化记号 , lkjiPlkjil22 等价的记号运算 ,)(,:,.,mljnikAljiggjlkiABjiBnljilj其中 jiji)(例1 己知：二阶张量A,B,C, 四阶张量 P，利用以上记号证明如下命题CAPB:)(:证明：利用式（12），式（13），记： 4,321:,nmlkji并利用式（6），式（16），将上式简化标号带入式（17）中的左右两侧，有：
4、)(432likj.,:)(1:lij比较式（18） ，式（19） ，可知结论成立。简化后，指标明显简洁，运算时按照没简化前的规则进行。同时，分量在计算过程中并不改变指标位置。内积运算时，会产生( ij )，这种或者是Kronecker 或者是度量张量分量的符号，它将和前面的分量结合。在具体的公式推演中，既要考察分量的指标结构，也要考察基的结构。如果基的结构不同，可以直接判断这个推演是错误的。如果基的结构相同，那么分量的结构是否相同就决定推演是否正确。3 讨论张量的积运算的结果由分量的积和基的积两部分组成。在进行公式推演过程中，基的结构决定了分量结构。内积的定义完全决定了张量的其他各种运算形式。对同一表达式，内积的不同定义方式，拉直操作也不同。对同一表达式，内积的不同定义方式并不能改变其本质。仿照对二阶，四阶张量的拉直定义，也可将三阶张量如压电应力张量等拉直操作，只是这种张量分量的矩阵不再是方形的。由此可将拉直操作延伸到对矩阵具体形式。但无论如何操作，在同一个表达式中都要求基结构相同。
