1、2020 5 17 1 第一章有限差分方程 一 线性有限差分方程 几个概念 方程 线性 系统参数 R初始条件 N0 2020 5 17 2 N0 100 R 0衰减 decay R 0 9递增 growth R 1 08稳态 steady state R 1 2020 5 17 3 N0 100 R 0衰减 decay R 0 9递增 growth R 1 08稳态 steady state R 1 2020 5 17 4 吸引子 attractor 随着时间的演化 系统的一种状态趋势01 Nt 分叉点 bifurcationpoint 以某个参数值为分界 系统进入不同的状态R 1 2020
2、5 17 5 二 非线性的有限差分方程1 LogisticEquation 系统参数 R初始条件 x0固定点 fixedpoint 2020 5 17 6 系统参数 R 初始条件 x0 取0 x0 1 x0 0 1 有生态学意义 0 R 1xt 0 attractor 2020 5 17 7 1 R 3R 1 5单调逼近固定点x 0 333R 2 9交替逼近固定点x 0 655 xt 1 1 R 2020 5 17 8 2020 5 17 9 问题1 1 x0取不同值时 上述几种情况如何 2 x0 0 5 R分别为1 25 2 2 75 画出轨线t xt 2020 5 17 10 3 R 3
3、449R 3 3周期2 period 2 2020 5 17 11 3 449 R 3 5699R 3 52周期4周期8周期16 周期倍增 period doubling 2020 5 17 12 3 5699 R 4R 3 5699达到无穷周期对大多数R产生混沌 chaos R 4 2020 5 17 13 2020 5 17 14 dot x0 0 523423 circle x0 0 523424 对初始条件敏感 2020 5 17 15 R 4轨线最终逃逸 escape 到无穷 问题2 1 Howmanyiterationsdoseittakeforthetrajectoriestog
4、etwith0 001ofthefinalvaluex 0 3333forR 1 5 2 WhathappensforR 4 2020 5 17 16 小结 系统表现出的不同行为稳定状态 周期 混沌系统参数 R 的不同给系统带来的影响初始状态 x0 的不同对系统的影响 2020 5 17 17 分叉图 bifurcationdiagram 2020 5 17 18 三 稳定状态 steadystate 和稳定性 stability 研究三个问题 1 系统是否存在固定点 fixedpoint 2 系统是否在固定点处存在局部稳定性 局部稳定性 locallystable 3 系统是否在固定点处存在
5、全局稳定性 全局稳定性 globallystable 2020 5 17 19 局部稳定性locallystable Iftheinitialconditionhappenstobenearafixedpoint sequentiteratesapproachthefixedpoint wesaythefixedpointislocallystable locallyasymptoticstability 全局稳定性globallystable Ifthefixedpointisapproachedbyallinitialconditions wesaythefixedpointisgloba
6、llystable 2020 5 17 20 1 固定点 fixedpoint 2020 5 17 21 2 固定点的局部稳定性线性系统 固定点R 1 不稳定0 R 1 稳定R 0 稳定R 1 稳定 2020 5 17 22 1 R 0R 1R 1不稳定 2020 5 17 23 非线性系统 固定点 2020 5 17 24 以逻辑方程为例分析 几种情况 周期2 固定点 周期4 混沌 2020 5 17 25 两个概念渐近 asymptoticdynamics Thetermasymptoticdynamicsreferstothedynamicsastimegoestoinfinity 暂态
7、 transient Behaviorbeforetheasymptoticdynamicsiscalledtransient 2020 5 17 26 3 固定点的全局稳定性线性系统Alocallystablefixedpointisalsogloballystable 非线性系统Whenmultiplefixedpointarepresent noneofthefixedpointscanbeglobally 2020 5 17 27 吸引域 basinofattraction Thesetofinitialconditionsthateventuallyleadstoafixedpoin
8、tiscalledbasinofattraction多稳定性 multi stability Ifmultiplefixedpointsarelocallystablewesaythereismulti stability 2020 5 17 28 四 周期的稳定性 2个固定点 0 0 697 4个固定点 0 0 479 0 697 0 823 以逻辑方程 R 3 3为例 2020 5 17 29 Conclusion 考虑周期n Ifthereisstablecycleofperiodn theremustbeatleastnfixedpointsassociatedwiththestabl
9、ecycle wheretheslopeateachofthefixedpointsisequalandtheabsolutevalueoftheslopeaeachofthefixedpointsislessthan1 2020 5 17 30 For3 00003 570 therearenarrowrangesofperiodicsolutionsaswellasaperiodicbehaviorTheperiod doublingroutetochaos 2020 5 17 31 混沌状况 在周期2 在周期3 在周期4的图中 固定点斜率的绝对值均大于1考虑一个极端的例子 因此 进入混沌
10、状态 2020 5 17 32 五 混沌 chaos 混沌的定义 Beaperiodicboundeddynamicsinadeterministicsystemwithsensitivedependenceoninitialconditions 混沌系统的性质AperiodicBoundedDeterministicSensitivedependenceoninitialcondition 2020 5 17 33 Feigenhaum snumber 4 6692定义 ntherangeofRvaluesthatgiveaperiod ncycle 2020 5 17 34 分叉图 bifurcationdiagram 2020 5 17 35 六 准周期性 Quasi periodicity xt 1 f xt xt b mod1 其中 b为无理数非周期性 xt n xt有界 在xt周围的固定范围内Theroutetochaos Quasi periodicity 2020 5 17 36 一个例子 非周期性 有界性 mod1 mod1 2020 5 17 37 作业 用计算机实现分叉图 bifurcationdiagram p31 计算Feigenhaum snumber进一步找到周期3的R值研究自相似性
