1、2 1概述 2 2逻辑代数中的三种基本运算 2 3逻辑代数的基本公式和常用公式 2 4逻辑代数的基本定理 第二章逻辑代数基础 2 5逻辑函数及其表示方法 2 6逻辑函数的化简方法 2 7具有无关项的逻辑函数及其化简 第二讲 2 1概述 基本概念 逻辑 事物间的因果关系二值数字逻辑 用1和0表示两种对立的逻辑状态 如一件事物的是与非 真与假 好和坏 门的开和关等 逻辑代数 表示数字电路的输出量与输入量之间的因果关系 也称布尔代数或者开关代数 逻辑运算 按指定的某种因果关系进行推理的运算逻辑变量 可用字母表示 只有0 1两个值 表示两种对立的逻辑状态 2 2逻辑代数的三种基本运算 与 AND 或
2、OR 非 NOT 以A 1表示开关A合上 A 0表示开关A断开 以Y 1表示灯亮 Y 0表示灯不亮 三种电路的因果关系不同 真值表 描述逻辑关系的表格 将输入变量所有取值下对应的输出找出来 逻辑符号 用来表示逻辑运算的规定的图形符号 与 条件同时具备 结果发生Y A B AB AANDB A B 或 条件之一具备 结果发生Y AORB A B 非 条件不具备 结果发生 几种常用的复合逻辑运算 与非或非与或非 几种常用的复合逻辑运算 异或 几种常用的复合逻辑运算 同或 A B 基本公式导出公式 2 3逻辑代数的基本公式和常用公式 基本公式 最有效的证明方法 真值表 公式 8a 的证明 真值表法
3、常用的导出公式 证明方法 推导真值表 公式 12a 的证明 公式推导 2 4逻辑代数的基本定理 1 代入定理 在任意一个包含变量A的等式中 若用任何一个逻辑式代替等式中的A 则等式仍然成立 2 反演定理3 对偶定理 代入定理 应用举例 式 8a AB A B A BC A BC A B C 代入定理 应用举例 式 8b 2 反演规则 利用反演规则 可以非常方便地求得一个函数的反函数 解 将一个逻辑函数L进行下列变换 0 1 1 0 原变量 反变量 反变量 原变量 所得新函数表达式叫做L的反函数 用表示 例求函数的反函数 在应用反演规则求反函数时要注意以下两点 1 保持运算的优先顺序不变 必要时
4、加括号表明 2 变换中 几个变量 一个以上 的公共非号保持不变 解 例求函数的反函数 3 对偶规则 将一个逻辑函数L进行下列变换 0 1 1 0 所得新函数表达式叫做L的对偶函数 用表示 所得新函数表达式叫做L的对偶函数 用表示 对偶规则的基本内容是 如果两个逻辑函数表达式相等 那么它们的对偶式也一定相等 第三讲 重点 逻辑函数的各种表达方式 最小项难点 最小项 逻辑函数Y F A B C 当表示 原因 的变量 也称为输入逻辑变量 取值确定以后 表示 结果 的变量 也称为输出逻辑变量 取值便随之确定 因而输出逻辑变量与输入逻辑变量之间是一种函数关系 2 5逻辑函数及其表达方法 逻辑函数的表示方
5、法 真值表逻辑式逻辑图波形图卡诺图硬件描述语言各种表示方法之间可以相互转换 用真值表描述逻辑函数 用逻辑函数式描述逻辑函数 将逻辑函数的输出写成输入逻辑变量的代数运算式例如 逻辑函数式的标准形式 最小项之和 举例 在举重比赛中 有一名主裁判和两名副裁判 当有两名或者以上的裁判且必需包含有主裁判在内认为动作和格 试举才算成功 试设计一个裁判表决电路 解 1 逻辑抽象 定义输入 输出变量及取值含义 设A B C为输入 其中A为主裁判 B C为副裁判 当A B C取值为1时表示裁判认为动作合格 否则动作不合格 设Y为裁判表决结果的输出 Y为1时表示试举成功 否则试举不成功 3 列逻辑函数 逻辑表达式
6、 方法 找出真值表中使逻辑函数Y 1的那些输入变量取值的组合每个组合对应写出一个与项 乘积项 其中取值为1的写入原变量 取值为0的写入反变量然后 把所以与项相加故可得逻辑函数 化简可得 4 画逻辑图 根据化简前的逻辑函数画的逻辑图如下 对比一下 逻辑图和逻辑函数的相互转换 用逻辑图形符号连接起来表示逻辑函数 得到的连接图称为逻辑图 将输入变量所有可能的取值与对应的输出按时间顺序依次排列起来画成的时间波形 称为函数的波形图 用波形图描述逻辑函数 最小项m m是乘积项包含n个输入变量n个输入变量都以原变量或反变量的形式在m中出现一次 1 最小项及其性质 逻辑函数的两种标准形式 两变量A B的最小项
7、三变量A B C的最小项 最小项举例 对于n变量函数有2n个最小项 最小项的编号 最小项的性质 在输入变量的任何取值下 必有一个 而且仅有一个最小项取值为1 全部最小项之和为1 任意两个最小项之积为0 具有相邻性的两个最小项之和可以合并为一项 合并后的结果中只保留这两项的公共因子 相邻性 两个最小项之间仅有一个变量不同如 2 逻辑函数式的最小项之和形式 例 利用公式可将任何一个函数化为 2 逻辑函数最小项之和的形式 例 2 逻辑函数最小项之和的形式 例 逻辑函数描述方法间的转换 真值表逻辑式 从真值表中找出所有使函数值等于1的输入变量取值 上述的每一组变量取值下 都会使一个乘积项的值为1 在这
8、个乘积项中 取值为1的变量写入原变量 取值为0的写入反变量 将这些乘积量相加 就得到了所求的逻辑函数式 逻辑式逻辑图1 用图形符号代替逻辑式中的代数运算符号 并依照逻辑式中的运算优先顺序将这些图形符号连接起来 逻辑式逻辑图2 如果给出逻辑图 则只要从输入端到输出端写出每个图形符号所表示的逻辑运算式 逻辑式卡诺图1 将给定的逻辑函数式表示为卡诺图 2 如果给出了卡诺图 则只要将卡诺图中填入1的位置上的那些最小项相加即可 逻辑式卡诺图例 波形图真值表1 按给出的函数真值表 画出波形图 2 如果给出了函数的波形图 则需要将每个时间段的输入与输出的取值列表 1 逻辑函数式的常见形式一个逻辑函数的表达式
9、不是唯一的 可以有多种形式 并且能互相转换 例如 与 或表达式 或 与表达式 与非 与非表达式 或非 或非表达式 与 或 非表达式 其中 与 或表达式是逻辑函数的最基本表达形式 第四讲 重点 逻辑函数的代数法化简难点 如何灵活利用基本公式和常用公式 2 6逻辑函数的化简方法 逻辑函数的最简形式最简与或 使函数式中所包含的乘积项最少 同时每个乘积项所包含的因子最少 称为最简的与或逻辑式 2 逻辑函数的最简 与 或表达式 的标准 3 用代数法化简逻辑函数 1 并项法 运用公式将两项合并为一项 消去一个变量 例 1 与项最少 即表达式中 号最少 2 每个与项中的变量数最少 即表达式中 号最少 2 吸
10、收法 3 消去法 运用吸收律A AB A 消去多余的与项 例 例 运用吸收律消去多余因子 先通过乘以或加上 增加必要的乘积项 再用以上方法化简 例 4 配项法 例2 6 1化简逻辑函数 利用A AB A 利用 在化简逻辑函数时 要灵活运用上述方法 才能将逻辑函数化为最简 例2 6 2化简逻辑函数 利用 利用A AB A 配项法 利用A AB A 利用 例2 6 3化简逻辑函数 解 代数化简法的优点 不受变量数目的限制 缺点 没有固定的步骤可循 需要熟练运用各种公式和定理 需要一定的技巧和经验 不易判定化简结果是否最简 第五讲 重点 卡诺图以及化简难点 含有无关项的卡诺图的化简 2 6 2用卡诺
11、图化简函数 依据 具有相邻性的最小项可合并 消去不同因子 在卡诺图中 最小项的相邻性可以从图形中直观地反映出来 一 用卡诺图描述逻辑函数 1 最小项的卡诺图表示法实质 将逻辑函数式的最小项之和形式以图形的方式表示出来 以2n个小方块分别代表n变量的所有最小项 并将它们排列成矩阵 而且使几何位置相邻的两个最小项在逻辑上也是相邻的 即只有一个变量不同 就得到了表示n变量全部最小项的卡诺图 表示最小项的卡诺图 二变量卡诺图 四变量的卡诺图 三变量的卡诺图 五变量的卡诺图 注意 1 图中左侧 上侧标注的0和1分别表示反变量和原变量 变量的每组取值与方格内的最小项编号一一对应 例ABCD 0000对应m
12、0 2 卡诺图中的最小项具有循环相邻性 各行或各列上下左右相邻同一行的最左最右相邻同一列的最上最下相邻四角相邻 用卡诺图表示逻辑函数 1 将函数表示为最小项之和的形式 2 在最小项的卡诺图上与函数式中包含的最小项所对应位置上填入1 在其余的位置上填入0 2 用卡诺图表示逻辑函数 例 用卡诺图表示逻辑函数Y 解 用卡诺图表示逻辑函数如下 例2 6 9已知逻辑函数Y的卡诺图如下 写出其逻辑式所以 合并最小项的原则 两个相邻最小项可合并为一项 消去一对因子 不同的那一对因子 四个排成矩形的相邻最小项可合并为一项 消去两对因子八个排成矩形的相邻最小项可合并为一项 消去三对因子 二 用卡诺图化简逻辑函数
13、 两个相邻最小项可合并为一项 消去一对因子 用卡诺图化简函数 化简步骤 1 填画卡诺图 即用卡诺图表示逻辑函数 2 画 包围圈 合并最小项 将卡诺图中按矩形排列的相邻的1圈成若干个相邻组 合并成一个与项 3 化简后的乘积项相加 包围圈必需呈现矩形 圈内的方格数一定为 原则是 这些包围圈必须覆盖卡诺图上所有的1 每个包围圈中至少有一个1不包含在其他包围圈内 包围圈的数目应最少 每个包围圈应包含尽可能多的1 例 AB CD 例 AB CD 例 例2 6 10用卡诺图化简例2 6 11用卡诺图化简 约束项任意项逻辑函数中的无关项 约束项和任意项可以写入函数式 也可不包含在函数式中 因此统称为无关项
14、输入变量的某些取值在工作过程中始终不会出现 我们把这些输入变量取值下等于1的最小项称为约束项 在输入变量的某些取值下 输出是1 是0均可 是任意的 在这些输入变量下取值为1的最小项叫做这个函数的任意项 2 7具有无关项的逻辑函数及其化简2 7 1约束项 任意项和逻辑函数式中的无关项 2 7 2具有无关项的逻辑函数的化简 合理地利用无关项 可得更简单的化简结果 加入 或去掉 无关项 应使化简后的项数最少 每项因子最少 从卡诺图上直观地看 加入无关项的目的是为了使矩形圈最大 矩形组合数最少 AB CD AB CD AB CD 例 AB CD 逻辑函数式形式的变换 通过变换将逻辑函数式化成与所用器件逻辑功能相适应的形式 例如 一个与或形式的逻辑函数可以用三个与逻辑功能的单元电路和一个或逻辑功能的单元电路得到Y 如果只能使用与非功能的器件 必须把函数式化为与非 与非形式 用四个与非逻辑功能的单元电路即可 逻辑函数式形式的变换 例 将与或形式的逻辑函数化成与或非形式 2 8用multisim进行逻辑函数的化简和变换
