1、12.2 平面向量基本定理及向量的坐标表示一、学习要求：了解平面向量的基本定理及其意义掌握平面向量的正交分解及其坐标表示会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算理解用坐标表示的平面向量共线的条件二、复习要点：1两个向量的夹角：两个非零向量 a 和 b，作 =a， =b，则AOB= 叫做向量OABa 和 b 的夹角；向量 a 和 b 的夹角 的范围是： 0， . 当 = 90时，称 a 与 b 垂直.2平面向量基本定理： 如果 e1，e 2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且仅有一对实数 1， 2，使得 a = 1e1+2e2 ；其中 e1，e 2 叫做这一平
2、面内所有向量的一组基底 3两个向量的正交分解： 把一个向量分解为 两个互相垂直 的向量，叫做把向量正交分解. 4平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴同方向的单位向量 i、j 作为基底，对于平面内的任意向量 a，有且仅有一对实数 x，y 使得 a = xi+yj，把有序实数对( x，y) 叫做向量 a 的坐标，记作 a = (x，y ) .5.平面向量的坐标运算：设 a = (x1，y 1)，b=( x2，y 2)，则 a+b= (x1+x2，y 1+y2)，a-b=(x 1-x2，y 1-y2)，a = (x，y) .6.设非零向量 a = (x1，y 1)，b=(
3、 x2，y 2)，则 a 与 b 共线 x1y2-x2y1=0 .三、课前热身：1已知 A(3， 5)，B(6，9)，则 = （ B ）A(-3，-4) (3，4) (9，14) (18，40) )()()C()D解： =(6-3，9-5)=(3，4) .故选 B.2已知 a = (2，3)，b =(x，-6)，若 ab，则 x 等于 （ A ）-4 4 9 -9()A()()()解：由 2(-6) -3x =0，得 x = -4 . 故选 A.3下列各组向量中，能作为其所在平面内基向量的是 （ C ）e1=(-3，5)，e 2=(6，-10) e1=(1，0) ，e 2=(-3，0)() (
4、)Be1=(-3，2)，e 2=(3，4) e1=(0，0)，e 2=(3，4)D解：C 中向量满足(-3)4-32= -12-6= -180，即 e1、e 2 是不共线向量，故选 C.4. 若 a = (3，2)，b = (-1，1)，则 2a -3b = (9，1) .解：2a -3b =(23，22)+(-3)( -1)，(-3)1) =(6，4)+ (3 ，-3)=(9，1).四、例题分析：例 1已知 A(-2，4) ，B(3，-1)，C(-3，-4) ，且 =3 ， =2 . 求点 M，NCMACB2的坐标和 .MN解：由点 A，B，C 的坐标可以求出 =(1，8) ， = (6，3
5、).CAB设 M(x，y)，由 =3 得(x+3，y+4) = 3(1 ，8) = (3 ，24).由 得 所以 M(0，20).3, 420,.同理得 N(9，2). 所以 = (9-0，2-20) = (9，-18).例 2 （2006 山东卷）设向量 a = (1，-3)，b = (-2，4)，c = (-1，-2) ，若表示向量4a，4b -2c，2(a -c)，d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量 d 为 （ D ）(A) (2， 6) (B) (-2，6) (C) (2，-6) (D) (-2，-6)分析：依条件得 4a+(4b-2c)+2(a -c)+d = 0，即 6a
6、+ 4b - 4c +d = 0.所以 d =-6a -4b +4c = (-6，18)+(8，-16)+( -4，-8) = ( -2，-6).故选 D.例 3已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为 A(-1，0)，B(1，-5) ，C (3，0) ，试求第四个顶点 D 的坐标.解法 1：设点 D 的坐标为(x ， y)，所以 = (x+1，y )， = (2，5) .D因为 ，所以(x +1)5-2y = 0，即 5x -2y+5 = 0 . ABC同理 = (x-3，y )， = (-2，5) .A由 ，得(x-3)5 -(-2) y = 0，即 5x +2y-15= 0 . 联立、解得
7、x =1，y =5，即点 D 的坐标为( 1，5) .同理可求出点 D 的另外两个坐标为 (5，-5)和( -3，-5) .解法 2：设坐标原点为 O，平行四边形对角线的交点为 E，因为 E 是 AC 的中点，所以容易求出点 E 的坐标为( 1，0)，及 = (0，5) ，B所以 =2 = (0，10) .B所以 = - = + = (0，10)+ (1，-5)= (1， 5) .B即点 D 的坐标为(1，5) .同理可求出点 D 的另外两个坐标为 (5，-5)和( -3，-5) .综上，点 D 的坐标可以是 (1，5)，( 5，-5)和(-3，-5) .点评：应用向量解决此类几何问题时要全面
8、理解题意，注意利用数形结合，分类讨论等思想方法，由此找到满足题意的所有点.例 4 如图，在ABC 中，设 = a， = b，APABC的中点为 Q，BQ 的中点为 R，CR 的中点为 P，用 a，b 表示 .AP解： = + = +APC12= + ( + )= + +BACB14Q= + + ( + )= + + + ，42A18P所以 = + + = + + + = + .78APC12 B2C4ABA BCPQ R3所以 = + . 即 a+ b.AP27B4AC274点评: 本题的解法体现了使用平面向量基本定理时解决问题的基本方法，即在求解的过程中，不断将中间向量向基向量转化，最终达到
9、用基向量表示指定向量的目的，这是化归与转化思想的重要体现.例 5 （2006 湖南）如图，OMAB，点 P 在由射线OM、线段 OB 及 AB 的延长线围成的阴影区域内(不含边界) 运动，且 ，OPxAyB则 的取值范围是 (-，0) ；当 时， 的取值范围是 ( ， ) .x 12xy213分析：因为 = x + y =x( + )+yOPABOAB=-x +(x+y) =-x +(x+y) ，M依题意并结合图形易知-x0，所以 x 0，即 x 的范围是(- ，0) .当 x=- 时， = x + y =- + y21PB21B= - ( + )+y21OA=(y- ) - = +(y- )
10、21O由条件及图形可知，0 y - 1，即 y .23所以 的取值范围是( ， ) .23点评：将表示 的基向量 、 替换为 (即 )， ，则可以利用图OPABOMB形确定 与 ， 的位置关系，从而确定表示 的基向量的系数的范围，数形结BP合的思想方法及对基向量系数的理解是解决问题的关键.五、巩固练习：1. 已知向量 a = (2，3)，b = (-1，2)，若 ma +b 与 a -2b 平行，则实数 m 等于（ B ）- 2 -2()A12)B2()C()D分析：因为 ma +b = (2m-1，3m+2)，a -2b = (4 ，-1)，依条件得 (2m-1)(-1)-4(3m+2) =
11、 0. 解得 m = - . 故选 B.142已知向量 a = (2，1)，b = ( x，y)，2a -3b = (7，-7)，则 b = (-1，3) 解：因为 2a -3b = (4-3x，2- 3y)=(7，-7)，所以 4-3x=7，2-3y=-7. 解得 b = (-1，3).3. 已知 A(2，1) ，B(4，3)，点 P 在线段 AB 的延长线上，且| | = | |，则点 PAP2B的坐标为 (8，7) . 解：设点 P 的坐标为(x，y) ，依条件得 2 = ，所以 2(2，2) = (x -4，y-3).AB即(4，4) = ( x-4，y-3). 解得 b =(8，7) .4.ABC 中， = a， = b， = c，三边 BC，CA ，AB 的中点依次为CD，E，F ，则 + + = 0 .ABEF解：因为 = + = c + a，同理 = a + b， =b+c ，12E12CF12所以 + + = ( a + b + c) = (-c + c)=0.12
