1、第三章量子力学中的力学量经典力学中物质运动的状态总是用坐标 速度 动量 角动量 动能 势能 转动能等力学量以决定论的方式描述 量子力学的第一个惊人之举就是引入了波函数这样一个基本概念 以概率的特征全面地描述了微观粒子的运动状态 但并不能作为量子力学中的力学量 于是 又引入了一个重要的基本概念 算符 用它表示量子力学中的力学量 算符和波函数作为量子力学的核心概念相辅相承 贯穿始终 本讲内容是量子力学的重要基础理论之一 也是大家学习的重点 重点掌握以下内容 一个基本概念 厄米算符 作用及其基本性质 两个假设 力学量用线性厄密算符表示 状态用线性厄米算符的本征态表示 三个力学量计算值 确定值 可能值
2、 平均值 四个本征态及本征值 坐标或 动量或 角动量及 能量 哈密顿量 本部分的难点是任意态与力学量算符本征态及力学量概率态的区别 3 1表示力学量的算符 一 力学量用算符表达 算符是作用在一个函数上得到另一个函数的运算符号 如 3 1 1 就称为算符 3 1 3 3 1 4 动量的直角坐标分量式为 根据上一章的学习 如我们可看出 量子力学中的力学量在与波函数的作用中 往往表现为一种运算形式 与经典力学量对应的量子力学中的算符形式 另一类经典力学量是与动量有关 其量子力学所对应的算符可用动量的对应关系得出 例如动能算符的表达式 除了位置和动量以外 其中一类以坐标为函数的力学量 其量子力学所对应
3、的算符形式不变 如势能和作用力 体系的能量跟哈密顿算符对应 3 1 5 二 本征值和本征函数 当力学量算符作用在波函数上 其结果是同一个函数乘以一个常量时 是力学量A取确定值时的本征态 称上式为算符的本征值方程 是力学量A的一个本征值 由本征值方程解出的全部本征值就是相应力学量的可能取值 3 1 2 三 力学量算符表达的规则 如果量子力学中的力学量F在经典力学中有相应的力学量 则表示这个力学量的算符由经典表达式F r p 中将p换为算符而得出 即 3 1 6 例如 粒子相对于某点的角动量 其角动量算符为 3 1 7 四 基本假定 根据上章中哈密顿算符本征态 本征值 如果算符表示力学量F 则体系
4、处于的本征态 时 力学量F有确定值 它就是在 态中的本征值 五 厄密算符力学量算符必须是线性厄密算符 厄密算符的本征值必为实数 厄密算符的平均值必为实数 当出现简并时 可以证明 总可以适当地线性组合简并态 使之彼此正交 线性厄密算符的性质 厄密算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交 若算符满足下列等式 称为厄密算符 3 1 8 证明厄密算符的本征值是实数 设厄密算符满足 即 可见 是实数 验证3 1 8式 例如 对于动量算符有 由3 1 8式可得 请自己验证坐标算符 能量算符 3 2动量算符和角动量算符 1 动量算符 本征方程 3 2 1 分量方程 动量本征值方程的解 C为归一化常数 可以看出
5、 取 归一化为 函数 即 它乘上就是的单色平面波 在量子力学中 平面波代表粒子有确定的动量 在空间各处出现的几率相同的状态 不能归一化为1 是因为其本征值可以取任意值 组成连续谱的缘故 实际问题中 需要求动量本征值时 常需要把连续本征值变为分立本征值来计算 最后再变为连续本征值 例如 设想粒子被限制在长L为的正方形箱中 如图 要求波函数在相对的箱壁上对应点具有相同的值 称为周期性边界条件 这样 动量的本征值就有连续谱变为分立的 在点和点值应相同 即 方程的解为 同理可得 3 2 6 3 2 7 3 2 8 式中 n可取零或正负整数 时 本征谱由分立变为连续 加进周期性边界条件后 动量本征函数可
6、归一化 其常数为 容易证明 箱归一化 角动量算符的表达式 2 角动量算符 3 2 10 角动量算符的模方定义为 3 2 11 3 2 12 利用求导可分别求出 即可得出 3 2 13 代入3 2 10可得 3 2 14 代入3 2 11可得 3 2 15 的本征方程可写成 3 2 16 或 3 2 17 是的本征函数 本征值为 为使在 变化的整个区域内有限 须有 3 2 18 是球函数 即 3 2 19 为缔合勒让德 Legendre 多项式 为归一化常数 由归一化条件 3 2 20 可得 3 2 21 的本征方程可写成 3 2 22 的本征值是量子化的 l表征轨道角动量大小称为角量子数 m表征轨道角动量的空间取向称为磁量子数 由3 2 19可知 对于一个l值 m可取 2l 1 个值 故对于 的一个本征值 有 2l 1 个不同的本征函数Ylm 简并 对应于一个本征值有多个本征函数的情况 简并度 对应于一个本征值的本征函数的数目 的本征值是 2l 1 度简并的 根据3 2 14 有 3 2 23 角动量分量的本征值 常称l 0的态为s态 l 1 2 3 的态分别为p d f 态 处于对应态的粒子分别称为s p d f 粒子 几组球函数 作业 3 5 验证能量算符为厄密算符 复习所学内容 重点 力学量算符的表示 厄密算符的性质 求解算符本征函数 本征值的方法
