1、量子力学辅导,一、状态和波函数 二、一维势场中的粒子 三、力学量和算符 四、对易关系与表象变换 五、三维定态问题 六、近似方法 七、自旋与角动量 八、全同粒子 九、带电粒子在电磁场中的运动 十、散射问题,一、状态和波函数 （1）微观粒子的状态由波函数 完全描述。概率密度 粒子处在 体积元的概率已知 （坐标表象的表示），可得其 表象的表示。 （2）态的叠加原理设 是体系可能实现的态，则它们的线性叠加也是体系可能实现的态。 （3）波函数随时间的变化规律由薛定谔方程给出当势场 不显含时间时，其解是定态解满足定态薛定谔方程,定态薛定谔方程即能量算符的本征方程所谓定态即能量的本征态（4）波函数的归一化条
2、件描述同一态波函数常数因子和相位因子不定性（5）波函数一般应满足三个基本条件:单值 连续 有限（6）连续方程,典型例题,1、根据S-eq解题 量子力学描述方式的最大特点是微观体系的运动状态用波函数完全描述。波函数是几率振幅，寻求波函数是QM的最为重要的任务。求解波函数满足的S.eq是获得波函数的基本途径。求解时要充分认识边界条件（包括衔接条件）的重要性。（1）证明：具有不同能量的两个束缚态，其波函数正交。证明：令 分别对应能量 ， ；结论与势能的具体形式无关，第一选择是从S.eq出发。并对空间积分,因为束缚态边界条件是由于 ，则有即 正交,（2）质量为 的粒子处于能量为 的本征态，波函数为已知
3、 ，求能量 和势能函数 。解：属于直接应用S.eq解题的例子。,2、利用连接条件定能级定态问题中常见的一类问题是确定粒子的能量，一般方法是求解S.eq，然后利用边界条件和连接条件确定能量本征值。常见情况如下：（1）束缚态中，粒子局限于有限范围内运动，因此无 限远处波函数为零；（2）势能无限大处，有限能量的粒子不能逾越，波函数为零； （3）势能有限跃变处，波函数及其导数均连续；（4）对于 势，波函数本身连续，其导数有跃变。,例题 粒子在势场中运动（ ）。求至少存在一个束缚态的条件。 解：显然，在 处， ；在 区域，由S.eq知利用边界条件 ，得在 区域，解为对于束缚态 ，由此得,于是可得在 处，
4、势能存在有限跃变，则波函数及其导数均连续，或波函数之对数的导数连续，由此得又有令此方程有一个解的条件（存在一个束缚态的条件）,3、节点法节点即波函数的零点，用节点法解题的依据是节点定理：对于一维束缚态，在基本区域内（不含边界点）基态无节点，第n个激发态有n个节点。对于多维情况，由于经常存在对称性，因而可以化为等效的一维问题。该定理的适用范围非常广，可以用来确定波函数零点、判定量子数、排列能级顺序、判定能量本征值等。（1）今有两个波函数它们都是能量本征态，试问它们对应的能级哪个高？是否相邻能级？解：可以直接由S.eq出发求出两个态的能量差,但却无法回答题目中的两个问题。利用节点法很方便！无节点，
5、对应基态，能量最低； 有两个节点（本征态）判定其描述第二激发态，能量高于 描述的基态；二者描述的态不是相邻能级的态，它们之间还有一个能量本征态，即第一激发态，具有一个节点。问题：如果 不是能量本征态，情况又如何？ （2）在氢原子的一个能量本征态中，测得其轨道角动量为零（s态），而有两个同心球面是波函数的零点。求氢原子的能量。解：三维有心力场系统波函数写成,其中 满足方程相当于 范围内的一维运动,其行为可用径向量子数 描述 从波函数 的形式看，角度方向零点由 提供，径向 零点由 提供。根据节点定理，对于确定的 ，径向基态无 节点 ，第 个径向激发态 有 个节点。对于本问题， ，氢原子主量子数为氢
6、原子能量为,4、依据概率守恒定律解题概率守恒定律是S-eq的一个基本结果，它的正确性依赖 于Hamilton算符的厄密性。利用该守恒定律可以得到体系的 一般性质。 （1）证明：如果描述系统量子态的波函数是可归一化的，则一旦归一化，它在任何时候都是归一化的。 证明：设描述系统量子态的波函数为 ，且是可归一化的，意味着积分 是有限的 ，分析后知 时必有 。由几率守恒定律 对空间积分,因为由于 是无限远处的封闭曲面， 为该曲面上的面元由于 中总有 或 这一因子，在无限远处为零。由此可得从而可见 不显含时间故当某一时刻一旦归一化，它在任何时候都是归一化的。说明总几率是守恒的定域性质蕴含概率流概念,（2
7、）证明：若位势不显含时间，系统处于定态中，则其几率流密度不随时间而变化。 证明：几率流密度的定义式为对于定态 而言，它随时间的变化关系为其中 是体系的能量，它为实数，相应有,5、等效一维法量子系统受到约束，其运动自由度可能只有一个，这时 常用处理方法将约束化掉，转化为等效的一维问题。问题的 关键是如何写出等效的哈密顿算符。（1）粒子在一半径为 的圆周上“自由”运动，求出系统的 能级和相应的波函数。解：系统只有一个自由度，由球坐标知其哈密顿算符为定态薛定谔方程,其一般解为（只讨论 ，否则无周期解）利用周期性 ，确定 取值，即定出能谱。归一化波函数为相应能量基态无简并，激发态二重简并,二、一维势场
8、中的粒子（1）一维无限深势阱本征值本征函数,若本征值本征函数,（2）三维无限深方势阱本征值本征函数 （3）一维谐振子本征值本征函数,重要公式！（4）势垒贯穿方势垒当 时，透射系数为任意形状的势垒 ，透射系数为,（） 势跃变条件（）一维束缚态性质能级分立、非简并；定态波函数可取实函数；势能满足对称条件V(-x)=V(x)时，波函数具有确定宇称，不是偶函数，就是奇函数；基态无节点； 和 连续条件可合并为 连续。,典型例题,1、质量为 的粒子在势场 中作一维运动，试建立动量 表象中的能量本征方程。解：采用狄拉克符号，能量本征方程可写为（1）已知 所以 （2）将（2）代入（1）得以 左乘上式得,其中
9、定义 代入上式得（）上式即为 表象中的能量本征方程。其中当势能取 形式时，由于,则得其中代入（）式得 （）例如，谐振子 能量本征方程为,2、质量为 的粒子处于长为 的一维盒子中，在 时，粒子波函数为求 的级数表达式。解：因为,对于一维无限深势阱展开系数,3、在t=0时，处于势场 中的粒子，由波函数描述， 是能量本征态，求（1）归一化常数 ； （2）t=0时能量平均值； （3）t0时， 的表达式；（4）证明 是一个周期函数，求出最长周期。解: （1）,（2）t=0时能量平均值,（3）t0时， 的表达式（4） 证明 是一个周期函数，求出最长周期上式交叉项是时间的周期函数，最长周期,4、对于一维谐振
10、子令坐标表象动量表象,5、耦合谐振子（解耦合 化为简正振动 对角化）最后一项为耦合项。求 的本征值和本征态。解：令显然,故,6、 如 是能量 的本征函数（ ），证明（1） （2）进一步证明 证明： （1）,（2）,三、力学量和算符、在量子力学中，力学量用线性厄密算符表示；其本征值为实数；其本征函数组成正交、归一、完备系，用它作为希尔伯特空间的一组基矢，构成一个表象。2、体系波函数可用任意厄密算符的本征函数展开,3、力学量的平均值坐标表象动量表象4、几个具体的表示力学量的算符（1）动量算符本征函数（自由粒子波函数）正交归一性,箱归一化波函数本征值（2）角动量算符本征值本征函数（3）自由粒子的哈密
11、顿算符,能量本征值（4）力学量平均值随时间的变化若 则称 为守恒量，可知守恒量条件,状态波用波函数完全描述 在QM中，如何通过状态了解物理性质？ QM假设：力学量用线性厄密算符表示。 状态（波函数）是希尔伯特空间的一个矢量（态矢）； 算符反应的是该空间的一种变换（运算）； 利用算符对波函数的运算从状态中提取系统的物理性质。,典型例题,（一）根据定义解题（最基本方法）1、设质量为 的粒子在下列势场中运动（1）求其能级和波函数；（2） 粒子处于基态时的平均位置和均方差。解：（1）由势场特点知，实质为半谐振子，其波函数和能级可由谐振子得出，注意两点：一是仅取其中以原点为节点的部分解，因为波函数在原点
12、处必须为零；二是由于粒子在半无限空间运动，注意归一化问题。由厄米多项式的具体形式可知，量子数n只能取奇数值，即,最终得半谐振子的能级和波函数为（2）半谐振子的基态波函数（n=1）,（二）利用波函数的性质解题量子态由波函数完全描述。对于给定波函数，注意 观测其特性，如实数性、对称性、零点等，可以帮助我们快 捷解题。1、一个粒子作三维束缚态运动，其波函数为实函数，求 此状态中动量的平均值。解：令波函数为 ，且 ，对于束缚态则对于 有同样结果,说明：（1）力学量的平均值必定是实数，对于实数波函数而言，由于动量算符在形式上是纯虚数，其平均值必为零。（2）在一维束缚态中，定态波函数总可以选为实 函数，因
13、此一维束缚定态中动量平均值总为零。2、粒子作一维运动，空间波函数为求平均位置。解：波函数为偶函数，即因为 是奇函数；同样 是奇函数，亦如此。,归纳：凡是具有确定空间宇称的态，其平均位置一定为零 （三）对易关系法1、粒子的哈密顿量为 ，其处于束缚定态中， 证明其动量平均值为零。证明：令定态波函数的空间部分为 ，满足 为求 的平均值，首先注意 和 的对易关系这里运用了基本对易关系 ，计算动量平均值转化 为计算对易子的平均值（注意 的厄密性）,推论：如果厄密算符 可以表示为两个厄密算符 和 的 对易子 ，则在 或 的本征态中， 的平均值必为 零。该推论可以用来说明许多问题。例如，在角动量的任何一 个
14、直角分量（如 ）的本征态下，其余两个分量 的平 均值均为零。可以证明，如果两个厄密算符 反对易 则在一个算符的本征态中，另一个算符的平均值必为零。,2、系统哈密顿量为 ，求和式的值，其中 为矩阵元， 是能量为 的本征态，求和对一切态进行。解：,同样，将 放入后面矩阵元中得两式相加得因为所以,3、一量子体系处于角动量 与 的共同本征态，总角动量平方值为 。已知在该态中测量 的值为0的几率是1/2，那么测量 的值为 的几率是多少？解：方法一该态对应 ，显然体系波函数是 中的某一个，在（ ）表象中，由（3.10）知，对于 有； ； 假定体系波函数分别为 ，则 的几率为,由已知条件可知，体系波函数不可
15、能是 ，只能是 或 对于 的几率 对于 的几率 对于二者，测量 的值为 的几率都是1/4。 方法二由于 对易子：可见在 的本征态中对应 ， 的可能取值为 ，故其中 分别为 取值为 的几率。由归一化条件4、,四、对易关系 表象变换1 、对易式定义2、对易式满足的基本恒等式3、重要的对易关系式,4、若 ，则算符 和 有共同的本征函数系；反之亦然。在 和 的共同本征函数系中测量 和 ，都有确定值。若 ，则有测不准关系特例5、Q表象以算符Q的本征函数系 为基矢构成的表象,算符 对应一个矩阵（方阵）矩阵元平均值公式归一化条件本征方程,6、表象变换两个表象之间的变换是幺正变换，变换矩阵 满足的矩阵元态的变
16、换算符的变换幺正变换不改变算符的本征值7、狄拉克符号最大优越性不依赖于具体表象基矢的封闭性（完备性）（单位算符）,坐标表象 狄拉克符号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）,8、傅里叶变换与动量表象 1）傅里叶变换（dim=1） 的本征值为 本征函数 它是动量表象的基矢（在 表象的表示 ） 对 表象的任意的波函数 有,2）傅立叶变换的性质和规律（1）若 则（1）式的证明：因为 积分号内求偏导技术！,由此可得（2）例 将 表象中S-eq变换到 表象。两边取 ，且,对于一维谐振子 令与坐标表象形式相同，令 得（3）的本征态（本征值 ）在 表象的表示,典型例题,1、设 不对易： ；但 与
17、皆对易：；试计算 ， 。解：（1）将 换成代入上式重复这种递推关系 次得,（2）设 则（1）为（2）的特例。令 得令 则令 则,2、证明投影算符是厄密算符，其平方等于该算符本身。证明：依据定义，投影算符因为 是厄密算符又 得证注意：若一个线性算符 满足 和 ，则该线性算符一定是投影算符3、证明：投影算符 是一个可观测量， 是归一化本征态。证：令 是 的本征态可见， 是一个可观测量，本征值是0或1,4、厄密算符 和 满足 ，且 ，求（1）在 表象中 和 的矩阵表示；（2）在 表象中算符 的本征值和本征矢；（3）由 表象到 表象的幺正变换矩阵 ，并把矩阵对角化。解：（1）令 的本征值为 ，本征矢为
18、类似可得 的本征值为 ，在 表象由 得由 得 由 得,（2）由 的本征方程 得（3）幺正变换矩阵,5、一维谐振子降算符 和升算符 的定义为由 与 构成（1）计算对易关系（2）将 用 表示；（3）求 的本征值；（4）证明,解：（1）利用 ，可得（2）由升降算符的定义式得将其代入 并利用得,（3）由于 和 对易，令共同本征函数为（4）可见 是 的本征值为 的本征函数，令,6、谐振子本征值问题的代数解法（考试热点） 解：设因为所以即 分别是 的本征值为 的本征函数，可见 的相邻本征值之差为 ，由于一维束缚态无简并，故,将以上两式分别作内积由于所以,7、证明：8、若 是由 与 构成的标量算符，则例如同
19、样,9、若 是由 与 构成的矢量算符，则,矢量算符定义式,五、三维定态问题1、中心力场哈密顿算符选守恒量完全集 共同本征函数为满足方程满足方程与边界条件,2、氢原子能级 波函数简并度类氢离子3、无限深球方势阱 （见曾教程p100),态4、三维各向同性谐振子 （见曾教程p102）（1）直角坐标系简并度,因为对于给定的相应可能取值的数目能级简并度（ 可能取值的数目）（2）球坐标系（略）,5、 F-H定理和维里定理（1） F-H定理（参数空间法）设量子体系的束缚态能级和波函数为 和 ，设为 含有的任一参数，则有（2）维里定理设哈密顿算符为 ， 为其归一化的束缚态波函数，则有,典型例题,1、质量为 的
20、粒子在势场（！）中运动。求 的定态能量和波函数。解：对于 态 波函数满足连续条件 的解,由连续条件定态能量由归一化条件求得归一化系数定态波函数,2、在半径为 的硬钢球内，有一质量为 的粒子处于基态。现突然将钢球的半径扩展到原来的两倍，求扩展 后粒子仍处于基态的几率。解：由上题 ，得基态波函数新势场中粒子的基态波函数为由于势场改变极其迅速，粒子状态来不及变化，粒子处于新基态的几率,3、设量子体系的束缚态能级和归一化本征函数为 和 ， 设 是 含有的某一个参数，证明证： 满足能量本征方程,以 左乘上式，应用式及归一化条件，得4、一维谐振子带有电荷q，置于沿x方向的均匀电场中，求其能谱。解：（1）方
21、法一,（2）方法二 由F-H定理求解,5、质量为 的粒子在球壳 势阱中运动，求存在束缚态所需的最小 值。 解：基态为 态 ，波函数写成满足径向方程由于 处 ，所以束缚态 。令 上式改写成,波函数边界条件在 处在 处在 区域，满足无限远边条件的解如 的值刚好形成一个束缚态，则区域满足边条件的解,氢原子“圆轨道”径向基态无节点径向分布极大值出现在玻尔“圆轨道”,六、近似方法1、定态微扰论适用范围：求分离能级与波函数的修正；适用条件： 的本征值和本征函数已知或易求；微扰 很小，以保证（1）非简并情况系统哈密顿量 已知 的本征值 和本征函数 非简并,（2）简并情况系统哈密顿量 已知 的本征值 和 本征
22、函数 为 度简并零级近似波函数能量的一级修正由久期方程求解,零级近似波函数 由 求出代入定义式即可得到。2、变分法 选择含有参量 的尝试波函数 ，代入计算的平均值公式，算出含有参量 的能量平均值利用 ，得到使 取最小值的 值把 代入 中，即得 代入 ，即得,3、含时微扰 量子跃迁设 时粒子处于 的定态 （能量为 ）， 时粒子受到微扰 的作用， 时刻粒子跃迁到 的另一个定态 （能量为 ）的几率为4、黄金规则单位时间跃迁几率 末态的态密度（单位能量间隔状态数）,5、强度为 的连续光照射原子发生由 态到 态的跃迁速率（偶极跃迁）电偶极跃迁选择定则,典型例题,1、一根长为 的无质量细绳一端固定，另一端
23、系一质量为 的质点，在重力作用下质点在竖直平面内摆动。（1）在小角度近似下求系统能级；（2）求由于小角度近似的误差而产生的基态能量的最低阶修正。 解：（1）以最低点为势能零点，则为质点偏离平衡位置时的极角。这时其中 可见系统的能级为,（2）为求能级的修正，先求在小角度近似中略去的最低阶相互作用将其视为微扰，求由它产生的对基态能量的修正。由于 则于是基态的能量修正为,2、在势场中作低速运动的粒子，计及相对论质能关系后， 可近似取为其中第二项为动能的相对论修正，可作为微扰处理（这里没有考虑与自旋有关的相对论效应）。试分别对谐振子和类氢离子计算该修正项对能级的影响。 解： 而 可改写成,（1）一维谐
24、振子， 的本征函数和本征值为 ，势能根据维里定理，在 态中 的平均值则,因为 则 代入上式得,（2）类氢离子， ， 的本征函数和本征值为由于 与 对易， 作用 后不改变量子数 ，因此在属于同一个 的各个简并态（ 取不同值）之间， 的非对角矩阵元素全部为零，即从而在计算能级的一级修正时，可用非简并微扰论，即,据维里定理 利用公式 可得 于是可得 能级对 的简并已消除对氢原子 基态 与自旋轨道耦合能的量级相同,3、一维无限深势阱0,a中的粒子受到微扰的作用，求基态能量的一级修正。解：一维无限深势阱中粒子的能量和本征函数基态基态能量的一级修正,在两个积分中分别作变换4、已知系统的哈密顿量为 求能量至
25、二级近似，波函数至一级近似。,解： （1） 可见所设表象为非 表象，为将 对角化，先由 的本征方程求其本征值和本征矢。求得结果为： 本征值相应本征矢,（2）利用 转到 表象（将 对角化）在 表象中则,5、已知系统的哈密顿量为（1）微扰法求能量至二级修正；（2）严格求解。 解：（1）用微扰法求解（a） 能级二重简并，令在 的二维简并子空间中， 则,能级非简并（b）能量二级修正，将问题转至一阶表象,因为一级修正已将简并完全消除（因 无重根），则二级修正的计算与非简并相同由 得,6、粒子在一维势场 中运动，能级为 ，如果受到微扰 的作用，求能级的修正（二级近似）。,解：微扰前能量算符为,的本征函数记
26、为 或 ，利用对易关系 得,在 表象中（以 为基矢）微扰矩阵元,一维束缚态是非简并的，故能量一级修正为,能量二级修正,最后一步利用了求和规则,7、质量为 的粒子在一维势场中运动，式中 ，（1）用变分法计算基态能量，在 区域内的试探波函数应取下列波函数中的哪一个？为什么？（2）算出基态能量 。解：（1）波函数 在 处发散，不满足束缚态条件 ； 在 处不为零，不满足波函数的连续条件； 也不满足束缚态条件；符合要求。,（2）取试探波函数 ，其中 为待定常数， 为归一化系数。由归一化条件,8、一维谐振子的能量本征态为 设有一微扰 ，满足如果 时体系处于基态 ，求 时体系处于各个态上的几率。 解：由其中
27、代入上式得可见， 其余均为零,9、将一基态氢原子置于 方向均匀磁场B中。（1）计算其能级分裂；（2）若再加一 方向交变磁场 ，问能否使它从其中一个能级跃迁到另一个能级？试以计算说明；（3）如果是在 方向加一交变磁场 ，问能否发生跃迁？ 磁场变化的频率应为多少？ 解：（1）附加能系统哈密顿量 本征态 无耦合基态 二重简并微扰矩阵元,能量一级修正能级分裂一分为二 简并消除（2）微扰（跃迁）矩阵元可见不能引起跃迁 （3）,跃迁速率公式要实现 态的跃迁，既要 ，须满足所以,10、基态氢原子处于平行板电场中，电场为求经过长时间后氢原子处于 态的几率。 解：将 方向选定为 轴方向，则微扰算符 由 态跃迁到
28、 的几率 本问题为氢原子 态三重简并，其中,计算跃迁矩阵元所以 由 态向 态的跃迁即由态 向 的跃迁,当 时 其中 可见 外场越强 跃迁几率越大 11、求线性谐振子偶极跃迁的选择定则。 解：偶极近似（即只考虑电场作用，忽略磁场作用）情况下跃迁几率与矩阵元 成正比，由此可得跃迁几率不为零的条件,由可得线性谐振子偶极跃迁的选择定则为,七、自旋与角动量1、电子具有自旋角动量 ，其在任意方向的分量取值为自旋分量满足对易关系2、在 表象,3、泡利矩阵,4、在 表象， 的本征值和本征矢的本征值和本征矢,5、引入自旋后，电子波函数不考虑自旋-轨道相互作用，则,6、角动量耦合（1）总角动量算符无耦合表象 耦合
29、表象 升降算符,（2）L-S耦合相互对易，共同本征函数解释：光谱线的精细结构 反常塞曼效应,（3）S-S耦合 两个电子的自旋单态和三重态耦合后的总角动量,非耦合基,耦合基,三重态 对称,单态 反对称,注意：由两个粒子组成的复合体系量子态的两种表示可分离态单粒子量子态的乘积 纠缠态,Bell基,自旋 为的二粒子体系的四个归一化的纠缠态,7、升降算符,典型例题,1、设一定域电子（作为近似模型，不考虑轨道运动），处于沿 方向的均匀磁场 中，哈密顿量为设 时，电子自旋“向上”（ ）。求 时（1）电子自旋态 ；（2）电子自旋 的几率；（3）电子自旋 的平均值。解：（1）方法一 令满足 初始条件,由薛定谔
30、方程求解由此可得方法二体系能量本征态，即 的本征态，本征值和本征态分别为,电子自旋初态时刻自旋态为 （2） 的本征值与本征矢为时刻 取 的几率分别为,（3）已知则,2、设粒子自旋为1，荷电 ，处于沿 方向的均匀磁场中，体系的哈密顿算符为式中 的矩阵表示为设在 时刻，自旋沿 轴投影为 （即处在初态 的本征态）。（1）求任意时刻 系统的自旋波函数；（2）求 随时间的变化。,解：（1）设在 表象，粒子初态由题设求出 再由归一化条件得则,其中 满足所以（2）,3、设 是与 对易的任意矢量算符，证明：证：利用 等等 可得注意:上式与 是否对易无关,4、对于两个自旋为1/2粒子组成的体系，以 和分别表示粒
31、子1和2的自旋角动量和泡利算符试求 满足的最简代数方程，并用以确定 的本征值。 解：利用公式令 得由于则得 满足的最简代数方程,由此可得 的本征值总自旋的本征值为三重态单 态具有共同本征态,由于所以 交换算符,5、电子偶素（ 束缚态）为类氢原子体系，在非相对论近似下，其能量和波函数同氢原子相似。今设在电子偶素基态里，存在一种接触型自旋交换作用其中 与 分别是正负电子的自旋磁矩。利用一级微扰论计算此基态中自旋单态和三重态之间的能量差，决定哪一能量更低。已知氢原子基态波函数,解：其中 是电子偶素总自旋，不考虑 时，基态能量为四度简并它们都是总自旋的本征态，相互正交，故微扰矩阵元简并态微扰可用非简并
32、态微扰处理，4个 是零级近似波函数,对自旋三重态，一级修正能量相同对自旋单态,自旋三重态与自旋单态能量之差自旋三重态能量高于自旋单态能量,6、角动量升降算符（以轨道角动量为例，可以推广到一般）求证：（1）（2）若 为 的共同本征态，则（3）在 态中，（4）在 态中， 的可能值及相应几率,求证：（1）（2） 为 的量子数为 的本征态注意,（3）方法一 同理方法二 同理,方法一（传统方法）方法二右边第一项对 求平均为零，又因为,（4）在 态中， 的可能值为相应几率7、在自旋态 中测 几率为1/3，测 几率为1/6，求 。解：在 表象 令由归一化条件得,归一化,又所以8、对于s=1/2自旋的粒子，证
33、明对任何自旋态 的平均值不能同时为零。 证明：设在 表象中 由 得另外显然 不能同时成立。 得证,9、一束自旋为1/2的粒子进入斯特恩-盖拉赫装置SG(1)后被分为两束，去掉其中 的一束。另一束进入第二个斯特恩-盖拉赫装置SG(2)， SG(2)与SG(1)的交角为 ，则粒子束穿过SG(2)后又被分为两束。求这两束的相对数目之比。 解：设 为与z轴夹角为 的单位矢量则在 表象中， 的本征态为,由题意知，进入第二个斯特恩-盖拉赫装置SG(2)前的粒子态与经其分裂后的粒子态之关系为由此可得两束粒子数目之比,10、体系由两个自旋为1/2的非全同粒子组成，粒子间的相互作用为 ，其中 为常数。设t=0时
34、，系统的状态为 。试求 （1）任意t时刻系统的状态 ； （2）任意t时刻测量系统的自旋态为 的几率； （3）何时两个粒子的自旋实现反转？ 解：（1）系统的哈密顿量显然 对易 选取耦合（能量）表象,其中由于所以（2）任意t时刻测量系统的自旋态为 的几率,（3）要实现两个粒子的自旋反转，则须由此可得另外可以看出， 中不存在 这两个态，即任意时刻测得的几率均为零。,11、体系由两个自旋s=1/2的非全同粒子组成。已知粒子1处于z方向自旋向上的态，粒子2处于x方向自旋向上的态。求体系总自旋 和 的可能值及相应几率。 解：在 表象中，体系的态矢为,总自旋 和 可能值相应几率,八、全同粒子1 全同粒子：静
35、质量、电荷、自旋等固有性质完全相同的微观粒子被称作全同粒子。全同粒子具有不可区分性，这是微观粒子的基本性质之一。2 全同性原理：任意两个全同粒子相互交换后并不会引起整个体系物理状态的改变，即不会出现任何可观测的物理效应，该论断称为量子力学中的全同性原理。这是量子力学基本原理之一。全同性原理或表述为交换对称性，任何可观测量，特别是Hamilton量，对于任何两个粒子交换是不变的。,3 全同粒子体系波函数的交换对称性描述全同粒子体系的波函数对于任何两个粒子的交换， 或者是对称的，或者是反对称的。这一性质称为全同粒子体 系波函数的交换对性。不具有交换对称性的波函数是不能描 述全同粒子体系的。全同粒子
36、体系波函数的交换对称性，与 粒子的自旋有确定的联系。凡是自旋为 整数倍的粒子（s=0,1,2, ) 所组成的全 同粒子体系波函数对于交换两个粒子总是对称的。例如，介 子（s=0），粒子（S0），基态的He(S=0)，光子（S 1）。它们在统计物理中遵从玻色(Bose) 爱因斯坦 (Einstein)统计规律，称为玻色（Bose）子。,凡是自旋为 半奇数倍的粒子(s=1/2,3/2, ) ，所组成 的全同粒子体系，其波函数对于交换两个粒子总是反对称 的。例如，电子、质子、中子等，S1/2，它们在统计物理 中遵从费米（Fermi） 狄拉克(Dirac) 统计规律，称为费 米（Fermi）子。4、泡
37、利不相容原理：不容许两个或两个以上的费米子处于同一个单粒子态 重点掌握两个（或三个）无相互作用全同粒子 体系的能量本征值和波函数。,典型例题,1、在无限深势阱 中运动的两电子体系，不考虑电子间的相互作用以及与自旋有关的相互作用，求体系的基态和第一激发态的波函数和能量。解：两电子体系属费密子体系，总波函数应反对称。一维势阱中，体系能量和波函数为（1）基态空间部分波函数是对称的自旋部分波函数是反对称的总波函数,（2）第一激发态:空间部分波函数自旋部分波函数总波函数（四重简并）,2、一体系由三个全同玻色子组成，不考虑粒子间的相互作用。已知可能的单粒子态为 和 ，相应能量为 和写出体系所有可能态的波函
38、数。解:令 玻色子系统波函数是对称的三个粒子均处于 态三个粒子均处于 态两个粒子处在 ，一个粒子处在两个粒子处在 ，一个粒子处在,3、两个质量为 的粒子处于一个边长为 的长方形盒子中，粒子间的相互作用势为 可视为微扰。在下列条件下，用一级微扰法计算体系的最低能量。（1）非全同粒子；（2）零自旋全同粒子；（3）自旋为的全同粒子，处于总自旋s=1的态。解：无微扰时，单粒子态波函数与能量为,盒内盒外,（1）两个粒子都处于单粒子基态时，体系能量最低，此时体系能量和波函数为能量 是非简并的，一级能量修正,盒内盒外,一级近似能量为（2）体系波函数对粒子交换对称，结果与（1）相同。 （3）由已知条件知，体系
39、处于自旋三重态，自旋波函数交换对称，空间波函数应交换反对称，总波函数反对称；体系最低能量态是一个粒子处于单粒子基态 ，另一粒子处于单粒子激发态 ，考虑自旋后体系的波函数与能量为,虽然该能级三度简并，但微扰矩阵元的非对角元素均为零 （因微扰与自旋无关， 正交），故可用非简并微扰方法处理。一级修正能量上式积分为零是因为空间波函数是反对称的。一级近似能量为,4、三个电子处在0a的无限深势阱中，求体系最低三个能级的波函数，讨论简并度（不计粒子间相互作用）。 解：单粒子态（1）基态：由泡利原理，三个粒子的单态为 （1，1，2）,（2）第一激发态（1，2，2）（3）第二激发态（1，1，3）,九、带电粒子在电磁场中的运动,
