1、1专题 1 求通项公式题型 1：累加法 1()naf例 1、已知 ， ，求1na解：由已知 ，得nn， ， ， ，21a32a431na各式相加得， + + + + =1a2(1)n= ，1na2()(12n,naN显然， 也适合上式，所以，12()naN备注 1：当熟练之后，或在题目中累加法的过程不太重要时，可如下写： 22321()()()23(1)n n naa 备注 2：已知 , ，其中 f(n)可以是关于 n 的一次函数、二次函11fan数、指数函数、分式函数，求通项若 f(n)是关于 n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;若 f(n)是关于 n 的二次函数，累加后可分组求和;
2、若 f(n)是关于 n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;若 f(n)是关于 n 的分式函数，累加后可裂项求和。错解 1：很多人认为是 n 个数相加，其实是 n-1 个数相加错解 2：很多人最后是算到 ，但这样的话，最后算出来的是 ，结果是1na1na的表达式，还要再算 的表达式。所以，最后要算到 ，这样就得到是 的表1nan 1nan达式例 2、已知数列 满足 ， ，求数列 的通项公式。na213na1n解：由 ，得 ， ，12n21nn221a， ，324a 21()3()()(35)na n各式相加得， + + +21321na22221()1)()(35)nan24()()()1
3、)62备注： 2221 1()nkSnn例 3、数列 中， ， (n=1，2，3， )，求通项na11nana解： ， ，12n23 12n各式相加得：111 ()2nnna 2n例 4：已知 ， ，求1(1)naan解： 1213211()()23(1)n n n题 1：已知数列 满足 ，求数列 的通项公式na112na， na题 2、已知数列 ，满足 ， ，求数列 的通项公式na1613nana3题型 2：累乘法 1()nnaf例 1、数列 中，若 ， ，求通项1nana解：由已知 1nnan， ， ， ，213243a1na各式相乘得， 12431n2314nna备注：当熟练之后，或在题
4、目中累加法的过程不重要时，可如下写：= 21n341na2()31n错解 1：很多人认为是 个数相乘，其实是 个数相乘错解 2：很多人最后是算到 ，但这样的话，最后算出来的是 ，结果是 的表达1na 1na1na式，还要再算 的表达式。所以，最后要算到 ，这样就得到是 的表达式na1nan例 2、求数列 ， 的通项公式。13123(2)nn解：当 时，n，即324115753792312nnaann 2()n当 时， ，所以11243an21()4nN题 1、已知 中， ，且 ，求数列 的通项公式na1nn1na4题型 3：待定系数法： 型（p，q 为常数）1nna例 1、已知 ， ，求12(
5、)na解： n12()n设 ，则 ，得 ，则数列 是公比为 2 的等比bab1nbnb数列，因此 11()nnnq22na备注 1：形如 （p，q 为常数）的递推式求通项公式常通过构造等比数列1nna求解，即设 ，展开后可得 ，与条件相比较得()tt 1nnpat，即 ，从而得到一个等比数列 ，由其通项公式可求出数列ptq1tpnq 的通项公式。如：由 ，设 ，所以 ，所na21na12()nnatt12nat以 t=1，所以 1()n备注 2：当熟练之后，可以不写中间的过程“设 ”，过程为：nb，1()nna111()22nna， 2题 1、已知数列 满足 ， （ ） ，求数列 的通项公式n
6、b161nnbNnb题 2、在数列 中， ，当 时，有 ，求na12n132nana5题 3：在数列 中，已知 ， ，求na1123nana题型四：倒数变换法适用于分式关系的递推公式，分子只有一项将递推公式 (c、 d 为非零常数)取倒数得1nna11nnadcc当 时， ， 是等差数列；dc1nac1na当 时，求 再用待定系数法：令 ， ， ，则变为n 1nbadpc1q1nbpq例 1、已知数列 满足 ， ，求数列 的通项公式na112nnana解：求倒数得 ， ， 为等差数列，首项12nnaa 12na1n，公差为 ， ，1a21()()n 2a例 2：已知数列 满足 ， ，求数列 的
7、通项公式a11nnaan解： ，两边同除以 ，得 ，即11nn1n1n1na，1()2na2na6题 1、已知数列 中， ， ，求na1312nnan题 2、已知正项数列 满足 ，且 ，求na121nnan题 3、在数列 中， ， ，求数列 的通项公式.na1213nnana题型 5：除幂变换法对于递推式 （p、q 为非零常数， ，可两边除以 ，得1nna1,pq1nq，引入辅助数列 ，得 。1nnapqq nab1nb当 时， ，数列 是等差数列；1nbn当 时，求数列 再用待定系数法pqn例 1 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na11243nna， na解： 两边同时除以 得：31
8、2nn令 则nb19b设 则12()3nntt13nnt由 ，得497142()3nnb11142()()33nn1()nna432a题 1、已知 中， ， ，求n1a12(2)nnana题型 6、利用前 n 项和法利用 与 Sn 的关系： 求a1,2nSana例 1、设数列 的前 n 项和 ，求数列 的通项公式3*()Nna解：当 n=1 时， 16aS当 n 2 时， 。验证知221()(1()321nnn当 n=1 时不适合 n 2 的情况。故数列的通项公式为 6,2na例 2、已知数列 的前 n 项和 ，求数列 的通项公式3nS*()nNna解： 当 n 2 时，221(1()65a当
9、 n=1 时， 也适合上式1*65()nN备注：已知 的前 n 项和 求 时应注意以下四点：anSa（1）应重视分类讨论的应用，分 n=1 和 n 2 两种情况讨论。特别注意 中需1nnaSn 2（2）由 推得 ，当 n=1 时 a1 也适合 的通项公式，则统一合写1nnaSnan（3）由 推得 ，当 n=1 时 a1 不适合 的通项公式，则数列的通项公式8应分段表示（分写） ，即 1,2nnSa（4）数列 的前 n 项和 数列 是等差数列2nAbna例 3、在数列 中， ， ，求通项na121nSa(,*)Nna解：当 时，221nnnS，得21nnnS112nnSS两边同除 ，得 （ ，
10、）1n1nS*N又 ， ， 数列 是以 为首项，2 为公差的等差数列1a1nS1，1()2nnS2n当 时，2113(1)23nnaSn当 时， ，符合 的式子12通项 （ ）(21)3nan*N例 4、数列 的前 n 项和 ，求2S()na解：当 时，115a当 时，2n111322nnnnnn（问：n=1 后面要不要逗号）15(),na题 1、已知数列 的前 n 项和 ，求数列 的通项公式a231nS*()nNna9题 2、已知数列 的前 n 项和 ，求数列 的通项公式a32nS*()Nna题 3、已知数列 的前 n 项和为 ，且 ， ，n=1，2，3， ，求 ，anS1a1nnS2a，
11、的值及数列 的通项公式a4题型 7：无穷递推数列例 1、已知数列 满足 ，求na11231()(2)n naaa，的通项公式。na解：因为 1231()(2)n naa 1所以 1231n n，得21nna10则 故1()2)nna1(2)na所以 13222 !()43.n naa 由 ， ，则 ，又知1231()()n na 取 21a，则 ，代入得 。所以， 的通项公式为1 !452na n!.2n备注： 表示阶乘， ，5!123!1345例 2：数列 满足 ，求 。na 2321 naa na解：令 ，得 ，7,当 时， 5321 n 1)1(22131 aaan 2，得 ， ，令 ，n7a217an题 1、设数列 满足 ， ，求数列 的通项n21133naa*Nna题 2：数列 中， ，以后各项由公式 给出，则 na12123naA35a11题 3：数列 满足 ，求数列 的通项公式及na12152*naN na前 项和 的公式S
