1、第一章质点运动学 1 质点在4 0s的位移的大小 1 1已知质点沿x轴作直线运动 其运动方程为x 2m 6m s 2 t2 2m s 3 t3 求 1 质点在运动开始后4 0s内位移的大小 2 质点在该时间内所通过的路程 解答 2 由 得知质点的换向时刻为 则 质点在4 0s内的路程为 1 2如图1 3所示 湖中有一小船 岸上有人用绳跨过定滑轮拉船靠岸 设滑轮距离水面高度为h 滑轮到原船位置的绳长为 试求 当人以匀速拉绳时 船运动的速度为多少 解答 建立如图所示的坐标系 由图可知任一时刻 1 3一质点P沿半径R 3 00m的圆周作匀速率运动 运动一周所需时间为20 0s 设t 0时 质点位于o
2、点 按图中所示oxy坐标系 求 1 质点P在任意时刻的位矢 2 5s时的速度和加速度 解答 如图所示 在坐标系中 因 则质点P的参数方程为 坐标变换后 在oxy坐标系中有 则质点P的位矢方程为 5s时的速度和加速度分别为 1 4质点在oxy平面内运动 其运动方程为求 1 质点的轨迹方程 2 在t1 1 00s到t2 2 00s时间内的平均速度 3 t1 1 00s时的速度及切向和法向加速度 解答 消去t得质点的轨迹方程 2 在t1 1 00s到t2 2 00s时间内的平均速度 3 质点在任意时刻的速度和加速度分别为 则t1 1 00s时的速度为 切向和法向加速度分别为 1 由加速度定义式 根据
3、初始条件t0 0时 vo 0 积分可得 解答 1 5一质点具有恒定加速度 在t 0时 其速度为零 位置矢量 求 1 在任意时刻的速度和位置矢量 2 质点在oxy平面上的轨迹方程 并画出轨迹的示意图 又由及初始条件t 0时 积分可得 2 由上述结果可得质点运动方程的分量式 即 消去参数t 可得运动的轨迹方程 这是一个直线方程 直线的斜率 轨迹如图所示 1 6一半径为0 50m的飞轮在启动时的短时间内 其角速度与时间的平方成正比 在t 2 0s时测得轮缘一点的速度为4 0m s 1 求 1 该轮在t 0 50s的角速度 轮缘一点的切向加速度和总加速度 2 该点在2 0s内所转过的角度 分析 首先应
4、该确定角速度的函数关系 kt2 依据角量与线量的关系由特定时刻的速度值可得相应的角速度 从而求出式中的比例系数k t 确定后 注意到运动的角量描述与线量描述的相应关系 由运动学中两类问题求解的方法 微分法和积分法 即可得到特定时刻的角速度 切向加速度和角位移 解 因 R v 由题意 t2得比例系 所以 t 2rad s 3 t2 则t 0 5s时的角速度 角加速度和切向加速度分别为 总加速度 在2 0s内该点所转过的角度 分析 掌握角量与线量 角位移方程与位矢方程的对应关系 应用运动学求解的方法即可得到 1 7一质点在半径为0 10m的圆周上运动 其角速度位置求 1 在t 2 0s时质点的法向
5、加速度和切向加速 2 当切向加速度的大小恰等于总加速度大小的一半时 值为多少 3 t为多少时 法向加速度和切向加速度的值相等 解 1 由于 则角速度 在t 2s时 法向加速度和切向加速度的数值分别为 2 当时 有即 此时刻的角位置为 3 要使 则有 解得 例2 列车沿圆弧轨道行驶 方向由西向东逐渐变为向北 其运动规律s 80t t2式中s和t的单位分别为m和s 当t 0时 列车在A点 此圆弧轨道的半径为1500m 若把列车视为质点 求列车从A点行驶到s 1200m处的速率和加速度 解 如图所示 本题中 s 80t t2为自然坐标中的运动方程 任一时刻速度 切向加速度 法向加速度 S 1200m时 可求得t1 20s t2 60s 舍去 以t 20s代入得 a与v的方向的夹角
