1、第五章解析函数的洛朗展式与孤立奇点 1解析函数的洛朗展式 2解析函数的孤立奇点 3解析函数在无穷远点的性质 4整函数与亚纯函数的概念及许瓦兹引理 定义级数称洛朗级数 称为的系数 对于点 如果级数收敛于 且级数 1解析函数的洛朗展式 收敛于 则称级数在点收敛 其和函数为当时 即变为幂级数 类似于幂级数 我们有定理设在圆环内解析 则在内其中 且 系数被及唯一确定 称为的洛朗展式 证明 对作 其中 且使 由柯西积分公式 有对于第一个积分 只要照抄泰勒定理证明中的相应部分 即得 其中图5 1 对于第二个积分当时 右边级数对于是一致收敛 上式两边乘上得 右边级数对仍一致收敛 沿逐项积分 可得其中于是 其
2、中下面证明展式唯一 若在H内另有展开式 右边级数在上一致收敛 两边乘上得 右边级数在上仍一致收敛 沿逐项积分 可得 即展式是唯一的 注 1 定理中的展式称为洛朗展开式 级数称为洛朗级数 称为洛朗系数 2 泰勒展式是洛朗展式的特例 例1 求在中的洛朗展开式 解 此例子说明 同一个函数在不同的圆环内的洛朗展式可能不同 例2求及在内的洛朗展式解 例3求在内的洛朗展式解作业 第217页1 1 3 2 1 3 一 定义 1 设在点的某去心邻域内解析 但在点不解析 则称为的孤立奇点 例如以为孤立奇点 以为奇点 但不是孤立奇点 是支点 以为奇点 又由 得故不是孤立奇点 2 设为的孤立奇点 则在的某去心邻域内
3、 有称为在点的主要部分 2解析函数的孤立奇点 称为在点的正则部分 当主要部分为0时 称为的可去奇点 当主要部分为有限项时 设为称为的m级极点 当主要部分为无限项时 称为本性奇点 二 判定1 可去奇点定理5 3设为的孤立奇点 则下列条件等价 1 为的可去奇点 2 3 在的某去心邻域内有界 证明 设条件 1 成立 则在的某一去心邻域内 有显然成立 设在的去心邻域内以M为界考虑在点的主要部分 为可去奇点 例 说明是的可去奇点法一 法二 2 极点定理设为的孤立奇点则下列条件等价 1 为的m级极点 2 在的某去心邻域 内可表示为其中在内解析 且 3 从为m级零点 可去奇点作为解析点看 证明 设条件 1
4、成立 即在的某去心邻域内有 为幂级数的和函数 故解析 其中在的某邻域内解析 且从设条件 2 成立 即在的某去心邻域 内有 其中满足已知的两个条件 由例知存在 使得在内 故在内解析 且 即为的m级零点 设条件 3 成立 即其中在的某领域内解析 且 由的例1 28知使在内在内解析 由定理 在内有 在内有作业 第218 219页4 1 3 5 5 1 3 1 基本概念定义1 设在的去心领域内解析 则称点为的孤立奇点 是任何函数的奇点 如 以为孤立奇点 但以为非孤立奇点 定义2 设为的孤立奇点 令若为的可去奇点 看作解析点 m级极点 本性奇点 则相应地 称是的可去奇点 解析点 m级极点 本性奇点 当为
5、的可去奇点时 若是的m级零点 称为的m级零点 3解析函数在无穷远点的性质 定义3 设为的孤立奇点 则在的去心领域内有称上式为在点的洛朗展式 并称为在的主要部分 为在的正则部分 2 结论 命题1 设是的孤立奇点 则以为可去奇点主要部分0 以为m级极点主要部分为 以为本性奇点主要部分有无穷多项 命题2 以为m级零点在的去心领域内可表示为其中在的领域内解析 且 以为m级零点以为m级零点 其中在的领域内解析且 其中在点解析 即为可去奇点 且 3 主要定理 定理5 3 设为的孤立奇点 则下面三个条件等价 1 为的可去奇点 2 3 在的去心领域内有界 定理5 4 设为的孤立奇点 则下面三个条件等价 1 以
6、为m级极点 2 在的去心领域内可表示为其中在的领域内解析 且 3 以为m级零点 定理5 5 的孤立奇点为极点 定理5 6 的孤立奇点为本性极点不存在 1 整函数定义4 在z平面上解析的函数称为整函数 定理5 10设为整函数 则1 为的奇点可去奇点为的m级极点为的本性奇点有无穷多个 称为超越整函数 2 亚纯函数定义5 在Z平面上除极点外无其他类型奇点的单值解析函数称为亚纯函数 如 4整函数与亚纯函数的概念及许瓦兹引理 定理5 11为有理函数在扩充复平面上除了极点外无其他类型的奇点 证 设 其中为互质的多项式 次数分别为m n a 的点是的极点 b 当m n时 是的极点 c 当m n时 是的可去奇
7、点 解析点 若所设条件成立 则在扩充复平面上的极点有限个 若不然这些极点在扩充平面上必有聚点 它是函数的非孤立奇点 与假设矛盾 故可设为的极点 其级分别为 令则为整函数 且以为极点或可去奇点 从而为多项式或常数 数为有理数 定义6 非有理数的亚纯函数叫超越亚纯函数 如 3 许瓦兹引理 引理 设在内解析 且则a b c 若 或 使则 证明 由已知得 令则在内解析 对取 使由最大模原理有 令得 特别地 即 b 成立 又若 由 得 即 以及 故对 有 即 a 成立 几何意义 在引理条件下 的象都比本身 距坐标原点要近 若有 的象与本身距原点的距离相等 则变换仅仅是一个旋转 作业 第219页6 7 8 1 3
