1、 2 8 曲线的曲率 曲率半径 一 平面曲线的曲率及其计算公式 曲率是描述曲线局部性质 弯曲程度 的量 弧段弯曲程度越大转角越大 转角相同弧段越短弯曲程度越大 定义 曲线C在点M处的曲率 注意 1 直线的曲率处处为零 2 圆上各点处的曲率等于半径的倒数 对于半径为R的圆周 S R 3 曲率的倒数称为曲率半径 1 K 弧微分 曲率的计算公式 用参数方程表示的曲线的曲率公式 例1 解 显然 例2 解 例3求圆x2 y2 R2上任意一点M x y 的曲率 解 x2 y2 R2两端求导 2x 2yy 0 y x y两端求导 2 2y 2 2yy 0 y R2 y3代入K 1 R 例4曲线弧y sinx
2、 00 故所考虑区间 0 x x 2 k k x 的最大 所以K 2 1为最大的曲率 二 平面曲线的曲率中心1 定义设曲线y f x 在点M x y 处曲率为K K 0 在点M处曲线凹侧的法线上取点0为圆心 M使 oM 1 K 为半径作圆曲率圆曲率圆圆心叫做曲线在M处曲率中心 曲率圆半径 叫做曲线在点M处的曲率半径 曲率圆与曲线关系 1 在M点有相同的切线 2 在M点有相同的曲率 3 在M点有相同的凹向 4 曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧 例1设工件内表面截线为抛物线y 0 4x2现在要用砂轮磨削其内表面 问用直径多大的砂轮才比较合适 解 砂轮半径应不大于抛物线各点曲率半径中最小值 由抛物线在其顶点处的曲率半径最小 因此只要求出其在顶点O 0 0 处的曲率半径 y 0 8x y 0 8K 0 8 曲率半径 1 25 直径不超过2 5 例2 解 如图 受力分析 视飞行员在点o作匀速圆周运动 O点处抛物线轨道的曲率半径 得曲率为 曲率半径为 即 飞行员对座椅的压力为641 5千克力 极坐标 三叶玫瑰线r asin3 sin3 0 有
