1、第二章 曲 线 论, 2.3 曲线的曲率和Frenet标架,一、曲线的曲率,.,（一）、曲率的定义,(3.1),本段目标：刻画弯曲程度,切入角度：运动观点,当一点沿曲线以单位速率前进时，,反映了曲线的弯曲程度.,一、曲线的曲率,(3.2),证明,一、曲线的曲率,曲线的切线象，其方程是,如圆柱螺线的切线象是单位球面上,(3.3),的一个圆.,实例：直线、圆.,一、曲线的曲率,（二）、曲率的几何意义,(3.4),二、Frenet标架,（一）、Frenent标架的定义,1.法向量场,2.主法向量场,曲线在该点的主法向量.于是在该点有,(3.6),二、Frenent标架,3.次法向量场,它是曲线的第二
2、个法向量场，称为在该点的次法向量(副法向量).,称为曲线在该点的Frenet标架，它的确定不受曲线,的保持定向的参数变换的影响.,二、Frenent标架,3. 在其他的情况下将曲线分成若干段来考察.,切线、主法线和次法线，法平面、从切面和密切面的定义与方程：,二、Frenent标架,切线：,法平面：,密切面：,从切面：,主法线：,次法线：,（二）、标架相关的线面方程,三、曲率与Frenet标架的计算,（一）、弧长参数下的计算公式,（二）、一般参数下的计算公式,三、曲率与Frenet标架的计算,求导，得,于是,，,所以,三、曲率与Frenet标架的计算,（三）、实例,三、曲率与Frenet标架的计算,，,三、曲率与Frenet标架的计算,解法2. 设曲线的弧长参数方程为,三、曲率与Frenet标架的计算,(3.16),对(3.15)前两式再求导，利用(3.14)得,(3.17),再由(3.17)第2式得,三、曲率与Frenet标架的计算,所以,Frenet标架为：,三、曲率与Frenet标架的计算,习题 1(2,4)，4，7,课外作业：,微分几何 慕课邀请码,
