1、专题 5 点列、递归数列和数学归纳法 第 1 页（共 10 页）yx专题 5 点列、递归数列和数学归纳法高考在考什么【考题回放】1已知数列 a n 的前 n 项和为 Sn，且 Sn=2(an - 1)，则 a2 等于( A )A. 4 B. 2 C. 1 D. - 22在数列 中， ，且 ，则 12,a1)n*N10S35 3在数列a n中，若 a1=1,an+1=2an+3 (n1),则该数列的通项 an=_2 n+1- 3_.4对正整数 n，设曲线 在 x2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 ，)(xy na则数列 的前 n 项和的公式是 2 n+1- 2 . 15已知 n 次式项式 .n
2、nxP110)(若在一种算法中，计算 的值需要 k 1 次乘法，计算 P3（x 0）),43,kx的值共需要 9 次运算（6 次乘法，3 次加法），则计算 P10（x 0）的值共需要 65 次运算.下面给出一种减少运算次数的算法：P 0（x）=a 0，P k+1（x）=xP k（x ）+ak+1（ k=0，1，2，n1 ）.利用该算法，计算 P3（x 0）的值共需要 6 次运算，计算Pn（x 0）的值共需要 2n 次运算. 6已知函数 f (x)= ，数列x ( x 0) 的第一项 x 1，以后各项按如32nn下方式取定：曲线 x=f (x)在 处的切线与),1nf经过（0，0）和（x ,f
3、(x )）两点的直线平行（如图）.n求证：当 n 时，*N() x ;2312n（） .1)(n【专家解答】(I ) 证明：因为 2()3,fx所以曲线 在 处的切线斜率()yfx1,n 123.nkx即 和 两点的直线斜率是 以 .0,n 2,n21n（II）因为函数 ，当 时单调递增，2h0x而 ，2113nnnxx214n211()nnx所以 ，即 因此,n121().nn 又因为 令 则122(),nxx 2,yx.ny专题 5 点列、递归数列和数学归纳法 第 2 页（共 10 页）因为 所以211,yx12()().2nnyy因此 故2()nnnx高考要考什么【考点透视】本专题是等差
4、（比）数列知识的综合应用，同时加强数学思想方法的应用，是历年的重点内容之一，近几年考查的力度有所增加，体现高考是以能力立意命题的原则【热点透析】高考中常常把数列、极限与函数、方程、不等式、解析几何等等相关内容综合在一起，再加以导数和向量等新增内容，使数列综合题新意层出不穷常见题型：（1）由递推公式给出数列，与其他知识交汇，考查运用递推公式进行恒等变形、推理与综合能力（2）给出 Sn 与 an 的关系，求通项等，考查等价转化的数学思想与解决问题能力（3）以函数、解析几何的知识为载体，或定义新数列，考查在新情境下知识的迁移能力理科生需要注意数学归纳法在数列综合题中的应用，注意不等式型的递推数列突破
5、重难点【范例 1】已知数列 中，对一切自然数 ，都有 且nan10,an02na求证：(1) ；n1(2)若 表示数列 的前 项之和，则 Sa12aSn解析： (1)由已知 得 ，021nn 又因为 ，所以 , 因此 ，即 10,an1nna21(2) 由结论(1)可知 ，即 ，212aann 于是 ，212111nnnSa a 即 【点睛】从题目的结构可以看出，条件 是解决问题的关01nna专题 5 点列、递归数列和数学归纳法 第 3 页（共 10 页）键，必须从中找出 和 的关系1na【文】 记).1(052168 naann且满 足 ).1(2nabn（）求 b1、b 2、b 3、b 4
6、 的值；（）求数列 的通项公式及数列 的前 n 项和n nb.nS解析（I） ,05168,21 nnn aa代 入 递 推 关 系得整理得 ,34,0364111 nnn bbb即 .0,8,2, 432a所 以有由（）由 ,032),(4111 bnnn所以 故的 等 比 数 列公 比是 首 项 为 ,3qb121242,().3,()()53().3nnnnnnnnnnbabSb 即即即【范例 2】设数列 的前 项的和 ，na14233nnSa,A（）求首项 与通项 ；1（）设 ， ，证明：nTS,23A12iT解析 () 由 Sn= an 2n+1+ , n=1,2,3， 43 13
7、23得 a1=S1= a1 4+ 所以 a1=2.43 13 23再由有 Sn1 = an1 2n+ , n=2,3，4,43 13 23专题 5 点列、递归数列和数学归纳法 第 4 页（共 10 页）将和相减得: a n=SnS n1 = (ana n1 ) (2n+12 n), n=2,3, 43 13整理得: an+2n=4(an1 +2n1 ),n=2,3, , 因而数列 an+2n是首项为 a1+2=4,公比为 4的等比数列，即 an+2n = 44 n1 = 4 n, n=1,2,3, , 因而 an=4n2 n, n=1,2,3, () Sn= (4n 2n) 2n+1 + =
8、(2n+1 1)(2n+1 2) = (2n+1 1)(2n 1) 43 13 23 13 23Tn= = = ( )2nSn 32 2n(2n+1 1)(2n 1) 32 12n 1 12n+1 1所以 = ) = ( ) 0 为常数，x 1=1, x2=2.1nP（1）设 an=xn+1x n，求数列a n的通项公式；（2）设 f ()= x n，当 变化时，求 f ()的取值范围.lim解析 （1）由题得 1 12 21,n nnnxaax an是首项为 1，公比为 的等比数列，2,ax即 1()nn2321121)()().30,|.lim1.n nnxxa 即当 0 时 ()2(,2
9、)f(文) 设曲线与一次函数 yf（x ）的图象关于直线 yx 对称，若 f (- 1)=0，且点 在曲线上，又 a1= a21,nnaP（1）求曲线 C 所对应的函数解析式；（2）求数列a nd 的通项公式解析：（1）yx - 1 (2) a n（n1）！8（理）过 P（1，0）做曲线 C：y=x k(x(0,+),kN+， k1)的切线，切点为Q1，设 Q1 在 x 轴上的投影为 P1，又过 P1 做曲线 C 的切线，切点为 Q2，设 Q2 在 x 轴上的投影为 P2，依次下去得到一系列点 Q1、Q 2、Q 3、Q n 的横坐标为 an，求证：（）数列a n是等比数列；（） ；1k（） n
10、i nni aa1212 ).:(注专题 5 点列、递归数列和数学归纳法 第 9 页（共 10 页）解：（） 若切点是 ，,1kxy),(knaQ则切线方程为 .na当 时，切线过点 P（1，0）即 得1n ).1(1ak.1k当 时，切线过点 即 得),(n nn数列 是首项为 ，公比为 的等比数列. 6 分na1k1k.)(k（） nnnn CC1)()() 20 .10kCn（）记 ，naaS121则 .132nnk两式相减 nnn aa11)( 321321 1,1.)()(2kSkkNkSnnn （文）已知曲线 C：xy=1 ，过 C 上一点 作一斜率为 的),(nyxA21nxk直线交曲线 C 于另一点 ，点列 的横坐标构成数列),(11nnyxA),321 ，其中 nx71（1）求 与 的关系式； （2）求证： 是一等比数列.n 32nx解析：（1）过 C： 上一点 作斜率为 的直线交 C 于另一点xy1),(nyAnk，nA则 ，于是 21111 nnnn xxxxyk 21nx专题 5 点列、递归数列和数学归纳法 第 10 页（共 10 页）（2）记 ，则312nxa，nnnn ax2)31(21 因为 ，0312,711 xax而因此数列 是等比数列n
