1、第七章弯曲应力 CL8TU1 纯弯曲 横力弯曲 7 1纯弯曲时梁横截面上的正应力 一 纯弯曲 在横截面上 只有法向内力元素dN dA才能合成弯矩M 只有切向内力元素dQ dA才能合成剪力Q CL8TU2 二 平面截假设 1 实验 变形几何关系 物理关系 静力学关系 三个方面 观察变形现象 2 平面假设 1 aa bb弯成弧线 aa缩短 bb伸长 梁各个横截面变形后仍保持为平面 并仍垂直于变形后的轴线 横截面绕某一轴旋转了一个角度 3 单向受力假设 假设各纵向纤维之间互不挤压 于是各纵向纤维均处于单向受拉或受压的状态 2 mm nn变形后仍保持为直线 且仍与变为弧线的aa bb正交 3 部分纵向
2、线段缩短 另一部分纵向线段伸长 梁在弯曲变形时 上面部分纵向纤维缩短 下面部分纵向纤维伸长 必有一层纵向纤维既不伸长也不缩短 保持原来的长度 这一纵向纤维层称为中性层 中性轴 中性层 中性层与横截面的交线称为中性轴 三 几何方程 四 物理关系 一点的正应力与它到中性层的距离成正比 五 静力平衡方程 设中性轴为z 截面的惯性积 y为对称轴 截面对z轴的惯性矩 中性层的曲率公式 2 横截面上的最大正应力 当中性轴是横截面的对称轴时 六 正应力 1 正应力 Wz称为抗弯截面模量 1 沿y轴线性分布 同一坐标y处 正应力相等 中性轴上正应力为零 2 中性轴将截面分为受拉 受压两个区域 3 最大正应力发
3、生在距中性轴最远处 3 简单截面的抗弯模量 1 矩形 2 圆 3 圆环 7 2横力弯曲时的正应力及正应力强度条件 一 横力弯曲时的正应力 二 梁弯曲正应力强度条件 上式是在平面假设和单向受力假设的基础上推导的 实验证明在纯弯曲情况下这是正确的 对于横力弯曲 由于剪力的存在 横截面产生剪切变形 使横截面发生翘曲 不再保持为平面 理论证明在L h大于5时该式的精度能满足工程要求 利用上式可以进行三方面的强度计算 已知外力 截面尺寸 许用应力 校核梁的强度 已知外力 截面形状 许用应力 设计截面尺寸 已知截面形状尺寸 许用应力 求许可载荷 三 算例 例7 1 两矩形截面梁 尺寸和材料均相同 但放置分
4、别如图 a b 按弯曲正应力强度条件确定两者许可载荷之比P1 P2 解 例7 2 受均布载荷的外伸梁材料许用应力校核该梁的强度 解 由弯矩图可见 该梁满足强度条件 安全 11 25 20 例7 3 图示铸铁梁 许用拉应力 t 30MPa 许用压应力 c 60MPa z 7 63 10 6m4 试校核此梁的强度 C截面 B截面 2 5 4 注 强度校核 选截面 载荷 1 等截面 只须校核Mmax处 2 等截面 3 纵向对称截面情况只须校核Mmax处使 4 非对称截面情况 具体分析 一般要校核M max与M max两处 例7 4 主梁AB 跨度为L 采用加副梁CD的方法提高承载能力 若主梁和副梁材
5、料相同 截面尺寸相同 则副梁的最佳长度a为多少 解 主梁AB 副梁CD 由 得 解 例7 5 图示梁的截面为T形 材料的许用拉应力和许用压应力分别为 t 和 c 则y1和y2的最佳比值为多少 为截面形心 PL 例7 6 简支梁AB 在 截面下边缘贴一应变片 测得其应变 6 10 4 材料的弹性模量E 200GPa 求载荷P的大小 解 C点的应力 由C截面的弯矩 得 支座反力 例7 7 图示木梁 已知下边缘纵向总伸长为 L 10mm E 10GPa 求载荷P的大小 解 例7 8 我国营造法中 对矩形截面梁给出的尺寸比例是h b 3 2 试用弯曲正应力强度证明 从圆木锯出的矩形截面梁 上述尺寸比例接近最佳比值 使Wz最大 解 由此得 作业 4 23 4 33 4 37 谢谢大家
