1、第七章 弯曲应力 第七章 弯曲应力 7.1 纯弯曲 纯弯曲 : 只有 M 而无 Q 的平面弯曲 . 横力弯曲 : 既有 M 又有 Q 的平面弯曲 . P P A B a a P (+) (-) Q图 -P Pa (+) M图 1 纯弯曲和横力弯曲 (1) 横向直线仍然保持为直线 ,绕 某轴转动 ,仍然与纵向线垂直 . (2) 纵向线弯曲成弧线并有伸缩 , 只有一层纤维不发生伸缩 . 中性层 : 纵向纤维不发生伸缩的面 . 中性轴 : 中性层与横截面的交线 . 平面假设 : 纵向纤维间无正应力假设 : 中性轴 中性层 2 纯弯曲时的现象 M M 3 假设 7.2 纯弯曲时的正应力 1 变形几何关
2、系 ydddy )(2 物理关系 p = E b b a a dx d y x M M y yE原长 bb = dx = d 变形后 aa =( +y)d M z C x y 3 静力学关系 M z dA y C x y z 0 dAN A0 dAzM Ay MdAyM Az (1) 确定中性轴的位置 0 Az yd AS结论 :中性轴通过形心 ,与形心轴重合 . A dAN 静矩 M z dA y C x y z dAEyA A y d AE 0(2) 确定形心主轴 结论 :y z轴为形心主轴 Ay dAzM 惯性积 AyZ y z d AI 0dAEyzA A yzd AE 0M z dA
3、 y C x y z (3) 导出弯曲正应力公式 aAyM Az 惯性矩 AZ dAyI 2EyEIM z 与解出 : zIMydAEyyA A MdAyE 2M z dA y C x y z 7.3 横力弯曲时的正应力 横截面上的最大正应力 全梁的最大正应力 (1) 等直梁 zIMy m axm ax zIyM m a xm a xm a x zWM m a xm a x maxyIW zz 323dW z 62bhW z )1(3243 DW z令 - 抗弯截面模量 矩形 : 圆形 : 空心圆 : (3) 无水平对称轴的梁 弯曲强度条件 zt IyM 1m a xm a x zc IyM
4、2m a xm a x m a xm a x zWM1m a xm a x tzt IyM 2m a xm a x czc IyM 最大弯曲拉应力 最大弯曲压应力 (2) 变截面梁 :综合考虑 M和 确定 max zIyy2 y1 y z 拉 压 抗拉压强度不等的材料 Mmax=Pa =12kN m 2 选择截面尺寸 解出 h = 2b = 244mm 由强度条件 6 2m a xm a xm a x bhMWMz与 2bh已知 :P =10kN, a =1.2m, =10MPa. h:b =2. 求 :设计梁的截面尺寸 mmMb 122233 选用 125 250mm2的矩形截面 解 :1
5、作弯曲图 M 图 Pa Pa (+) (-) 2Pa(-) P P 3P A B E C h b a a a a D 已知 :P1 = 8kN,P2=20kN,a=0.6m Iz=5.33x106mm4, t=60MPa , c=150MPa. 求 :校核梁的强度 . 解 :1 作弯矩图 RA=22kN RB=6kN MA=-4.8kNm MD=3.6kNm 2 校核强度 P1 P2 A C a a a D RA y2=40 y1=80z y B RB 7211 cZAA M P aIyM 3622 tZAA M P aIyM 5411 tZDD M P aIyM 1A2A 2D1D(-) (
6、+) M 图 3.6 4.8 *非对称梁的弯曲 非对称梁 :无纵向对称面的梁 1 对非对称梁 y、 z轴满足什么 条件 z轴为中性轴 . 对非对称梁和有纵向对称面 但载荷不作用在纵向对称面 的梁 .讨论两个问题 : 2 弯矩应在什么平面内 . 假设 : 1非对称梁发生纯弯曲变形 ; 2 平面假设和纵向纤维互不挤压假设成立 . )( aIMyz正应力 y y z z x c dA y y z z x c dA 截面上的内力 轴力 A dAN Ay dAzM 对 y的弯矩 对 z的弯矩 Az dAyM 当外力偶 m作用于 xy平面时 , N=0,My=0, Mz=m=M )(0 bdAyEdANA
7、A )(0 cdAyzEdAzMAAy )(2 dMmdAyEdAyM AAz m M 讨论 : 1 对称截面 ,条件 (c)自然满足 . 2 非对称截面 ,总可以找到使 Iyz=0的主惯性轴 y、 z, 使 条件 (c) 满足 . 3 若 主惯性轴 y、 z,又是通过截面形心 , y、 z轴为 形心主惯性轴 .形心主惯性轴与梁的轴线确定的平 面为形心主惯性平面 .z轴为中性轴 .必然有 : 0zS 0yzI zIMy结论 : 1 非对称梁 ,只要外力偶作用在 形心主惯性平面内 , 梁就会发生平面弯曲 , 2 非对称梁在纯弯曲时发生平面弯曲的结论可以推广 到横力弯曲情况 .只要赂去其扭转变形即
8、可 . 7.4 弯曲剪应力 一 弯曲剪应力公式 两点假设 : 1 Q ; 2 沿横截面宽度均布 顶面 z y Q k “ c h b 式中 左侧 x y z y1 N1 N2 c dx dA y y1 dAI ydMMdAdN A AZ 1 111 )()( 1 1 )(A Z zZ I SdMMdAyI dMM右侧 1 1Az dAySZzA A Z IMSdAIMydAN *12 1 1 bdxdQ M +d M +dM dx ,0 X 021 dQNN0)( bdxIMSI SdMMZzzz bdx IdM SZzbIQSZz x y z y1 N1 N2 c dx dA y y1 二
9、矩形截面的弯曲剪应力 max )4(2 222 111 yhbdybydAyShyAz )4(2 22 yhIQZ2hy =0 0yZIQh82m a x 代入12 3bhI Z mAQbhQ 232323m a x y y1 dy1 z h/2 h/2 y b 三 其它截面的最大剪应力 四 型钢 五 弯曲剪应力强度条件 2 1 K 环形 圆形 工字形 矩形 截面 系数 3423mK maxm a x bIQSZz查附录 zzSI 代入 已知 :P l b h 求 :1 max=? 2 max: max = ? 解 :1 作剪力图和弯曲图 2 计算最大剪应力 4 比值 P A B l/2 l/
10、2 C 2maxPQ 4maxPlM bhPAQ4323m a x 22m a xm a x 2364bhPlbhPlWMz3 计算最大正应力 lhPlbhbhP23243 2m a xm a x %10101522m a xm a x hhlhl = 5h h b (-) (+) Q图 2P2P(+) M图 4Pl已知 : 悬臂梁 AB(组合梁 ),b=69mm,h=100mm,l=800mm, P=1kN;螺栓的许用剪应力 =100MPa. 求 : 螺栓的直径 . P l b2h2h 解 : PQ bhPAQ2323 横截面上的剪力 中性层上的剪应力 中性层上的剪力 hPlblQ23 螺栓
11、承受全部剪力 Q,由螺栓的剪切强度条件 42312 dhPlAQmmhPld 36.126mmd 5.12取 1 选择合理的形状和截面 m a xm a x zWMzWM m a x AWz 较大可以 提高梁的弯曲强度 .(P107 表 7.1) 2 适当布置载荷和支座的位置 m a xm a x zWM适当布置载荷和支座的位置 可以降低最大弯曲数值 提高 梁的弯曲强度 x M 0 (+) q x y l A B A 2125.0 ql 7.5 提高梁弯曲强度的措施 x M 0 q x y A B 0.2l 0.2l l 2025.0 ql202.0 ql3 等强度梁 等强度梁 :梁上各横截面上的最 大应力都相等且等于许用应力 . P A B l/2 l/2 C h x b(x) bmin )( )(m a x xW xM)()(xMxW 1. h =c ,b = b(x) )(6)()( 2xMhxbxW 23)(hPxxb4 323m i nm a xm a x hbPAQ43m in hPb 2. b =c h =h(x) hmin h(x) 鱼腹梁 阶梯轴 3)(bPxxh )(6)()( 2xMxhbxW 43m i n bPh 4 323m i nm a xm a x bhPAQ作业 7.6 7.9 7.11 7.14 7.15 *7.18
