1、第四章线性方程组 线性方程组广泛应用于数学的各个分支及自然科学 工程技术以及生产实际中 在第二章我们建立了线性方程组及矩阵之间的联系 本章以向量与矩阵为工具 在理论上讨论一般的线性方程组如何判定它是否有解 如果有解 那么有多少个解 如何求解 并且讨论如果解不止一个时 这些解之间的关系 第一节线性方程组有解判定定理 本节主要是对线性方程组的求解问题作理论上的研究 给出了线性方程组有解判定定理 这个定理是我们研究线性方程组的主要依据 也是本章的基础 线性方程组的一般形式 1 缩写形式 向量形式 令 方程组 1 可以写成 由此可以得到 方程组 1 有解的充分必要条件是b可由向量 1 2 n线性表出
2、若令 于是方程组 1 的矩阵形式为 其中A称为系数矩阵 矩阵 称为方程组的增广矩阵 如果用x1 k1 x2 k2 xn kn代入 1 使左右两边恒等 则称 k1 k2 kn 为方程组的解向量或解 解向量的常用表示方式 或 线性方程 1 有解的充分必要条件是它的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩 即 设方程组 1 有解为 设A的列向量组为 1 2 n 则A的列向量为 1 2 n b 定理1 1 证 必要性 则 说明b可由 1 2 n线性表出 因此向量组 1 2 n与向量组 1 2 n b等价 因此 而矩阵列向量组的秩等于矩阵的秩 所以 由R A r 则A的列向量组 1 2 n的最大线性无关组含有r个列向量 不妨设为 充分性设 要证明方程组Ax b有解 只要说明b可由 1 2 n线性表出即可 由条件它也是 1 2 n b的最大线性无关组 这样b可以由 线性表出 因此b可以由 1 2 n线性表出 例1 试证 若方程组 的系数矩阵A与矩阵 的秩相同 则该方程组有解 证 设 显然有 而已知 因此 根据判定定理知方程组有解
