1、有限单元法II,2005级硕士生课程,同济大学土木工程桥梁工程系,同济大学土木学院桥梁工程系,本构关系,对线弹性介质在小变形情况下只有两个独立的弹性常数，但应力应变（本构）关系有多种表示形式：,用G和表示,用G和体积模量K表示,式中应力和应变偏张量分别为,如果用拉梅（Lame）常数表示，则有,弹性常数间有如下关系,利用上述关系，只要已知两个弹性常数就可写出有限元分析中的弹性矩阵(D)。,例如，当以G和表示时，以张量形式表示的本构关系为,由此可获得弹性张量Dijkl。其他可仿此写出。,弹性张量Dijkl,有限元(二)的具体内容,材料(非线性)本构关系固体力学大变形基础非线性方程组的解法材料非线性
2、有限元分析大变形有限元分析边界元法流体计算,弹塑性本构关系简介,1 弹塑性力学有关内容简介2 几种常用弹塑性材料模型简介3 弹塑性矩阵的建立步骤,固体力学大变形基本知识,1. 物体运动的物质描述2. 欧拉、拉格朗日和克希荷夫应力3. 大变形时平衡方程和虚位移原理4. 大变形本构关系,非线性代数方程组的数值解法,1 直接迭代法2 牛顿法和修正牛顿法3 拟牛顿法4 增量方法5 增量弧长法,材料非线性有限元分析,弹塑性问题的有限单元法,大变形问题的有限单元法,1. 弹性大变形问题的有限元法2. 物质描述大变形增量问题的T.L 、U.L法,一般情况下本构关系可表为,在有限元分析中有两种应用形式：全量形
3、和增量形本构关系。,一般是根据材料的力学试验通过拟合来得到的。,全量本构关系的表达形式和线性弹性情况相同，也即,全量形式本构关系,但其中的弹性系数Gs,s不再是常数，它们是应变或应力的函数，分别称为割线弹性系数。可将它们看作与一定应力（或应变）水平对应的割线常数（割线剪切模量和割线泊松比）。,式中 为割线弹性张量，形式上它仍可表为,本构关系,例如对混凝土，Andenaes等依据实验给出，八面体正应力、切应力和八面体线应变、角应变间关系为,并有,其中G、K分别为初始切线剪切和体积模量， 为混凝土单轴抗压强度，a、m、c和p为由试验确定的常数。,增量形式本构关系,增量本构关系的表达形式为,但其中的
4、弹性系数Gt,t也不是常数，也是应变或应力的函数，分别称为切线弹性系数。可将它们看作与一定应力（或应变）水平对应的切线常数（切线剪切模量和切线泊松比）。,式中 为切线弹性张量，形式上仍可表为,塑性材料受外部作用的反应和变形的历史有关（可称为历史相关性或路径相关性），本构关系应写成增量关系。,韧性（塑性）金属材料单向拉伸试验曲线如下图示意,应力空间表述的弹塑性本构关系,强化段,软化段,残余变形,包辛格效应,反向屈服点,判断材料处于弹性还是塑性的准则，称为屈服条件或塑性条件。弹性和塑性区的分界面称为屈服面。,1) 屈服准则,从自然状态第一次进入屈服的屈服条件称初始屈服条件，产生塑性变形后的屈服条件
5、称后继屈服条件。初始屈服条件可表为： ，它只与当前应力状态有关。初始屈服条件称初始屈服面，后继屈服条件称后继屈服面， 。,如果一点应力的 ,则此点处于弹性状态，如果 ，则处于塑性状态。,式中 为应力张量， 为塑性应力张量，k 为标志永久变形的量。 和k 统称为内变量。其中 与塑性应变张量 间存在如下关系,k（又称硬化参数）有多种取法，可以是塑性功、塑性体应变和等效塑性应变。,1) 屈服准则,应力、应变关系示意,屈服面随内变量改变的规律称强化规律。由材料试验的资料可建立各种强化模型，目前广泛采用的有：等向强化；随动强化两种模型。,等向强化认为屈服面形状不变，只是作均匀的扩张，后继屈服面仅与一个和
6、内变量有关的参数 有关，可表为：,随动强化则认为屈服面大小和形状不变，仅是整体地在应力空间中作平动，其后继屈服面可表为：,多数材料的屈服面介于两者间。如果应力空间中应力方向变化不大，等向强化与实际较符合。它的数学处理简单，故应用较广。但当需考虑循环荷载下耗能时，随动强化可反应包辛格效应，因此应该用它。,2）塑性状态的加载和卸载准则,跳转,在外部作用下应变点仍在屈服面上，并有新的塑性变形发生，此时称这个过程为塑性加载。,如果应变点离开屈服面退回弹性区，反应是纯弹性的，此过程称塑性卸载。,应变点不离开屈服面，又无新的塑性变形发生，此时称中性变载。,2-2) 具有强化的弹塑性材料,2-1）理想弹塑性
7、材料,由于此时屈服面大小和形状不随内变量发展而改变，因此屈服面为 。用公式表示理想弹塑性材料的加卸载准则为：,理想弹塑性材料,等向强化弹塑性材料,随动强化弹塑性材料,3）流动准则,在塑性力学中，认为材料进入塑性后存在一个势函数（简称塑性势） 。塑性应变增量可由势函数给出：,正交（相关）流动准则。认为塑性势就是屈服面，因此 。对正交准则，塑性流动方向垂直于屈服面，加、卸载准则取决于非负的尺度因子d，它大于零，表示加载，等于零，表示其他情况。,4）弹塑性本构关系,在应力增量dij作用下，应变增量dij 可分成弹性和塑性两部分。弹性部分,在上述概念基础上，下面讨论材料非线性分析的核心问题正交流动弹塑
8、性本构关系。,因此总应变为,弹性张量,因为在卸载和中性变载状态d=0，因此反应是纯弹性的。,在应力增量dij作用下，应变增量dij 可分成弹性和塑性两部分。,总应变为,正交（相关）流动准则,弹塑性问题本构关系正交流动弹塑性本构关系,对于具有强化的加载状态，因为屈服面为,由df =0,又因为,由此可见，只要建立了屈服面方程，则对应加载状态应力增量dij的应变增量dij 为,若引入如下记号：,则弹塑性本构关系可统一表示成,上述本构方程是以应力为基本未知量的，它只适用于强化材料。,应变空间表述的弹塑性本构关系,以应变空间来讨论，能给出对强化、软化和理想塑性材料普遍适用的本构关系表达式。基于两者的对应
9、关系，因此只简单列出式子。,1) 屈服条件和屈服面,屈服面方程,2) 加、卸载和流动准则,正交流动准则,d大于零表示加载，等于零表示其他情况。,弹塑性本构关系,应变空间,应力空间,例：等向强化-软化的米塞斯材料弹塑性矩阵的确定,在主应力状态下，第二不变量为,由薄壁圆筒的实验研究可得，这种材料的屈服面方程为,式中J2是应力偏张量的第二不变量,在单向拉伸状态下，J2=2/3。在纯剪状态下，J2=2。一般情况下，sij=ij -kkij /3,所以 .,屈服面式中(k)，是由单向应力状态的数据确定的屈服参数。在单向拉伸时为2=B2/3。在纯剪状态下=B。任何情况下都是硬化参数塑性功wp的函数。,根据屈服面表达式，可求得,因为,为了求A，需先由屈服面对wp的偏导数求M,式中Gp是 曲线的斜率。同理，对单向拉伸情况，-M=Ep/3。,因为,由此可得A=G+Gp（或A=G+Ep/3），又因,由此可得弹塑性矩阵为,加、卸载准则为,统一的本构关系为,1) 根据实验研究建立材料合理的屈服条件f。,2) 由屈服条件求屈服面方程对应力或不变量等的导数。,等向强化-软化材料的屈服面方程为,3) 根据硬化参数的选取，计算M。,4) 由 计算A。,5) 由 计算塑性矩阵。,6) 计算 并由此判断H(l)。,7) 最后形成弹塑性矩阵 。,
