1、圆锥曲线与向量的综合性问题一、常见基本题型：在向量与圆锥曲线相结合的题目中，主要是利用向量的相等、平行、垂直去寻找坐标之间的数量关系，往往要和根与系数的关系结合运用。(1) 问题的条件以向量的形式呈现，间接的考查向量几何性质、运算性质，例 1、设 (,0)F， M点在 x轴的负半轴上，点 P在 y轴上，且 ,MPNPF当点 P在 y轴上运动时，求点 N的轨迹 C的方程；解：（解法一） P，故 为 M的中点 设 (,)Nxy，由 点在 x轴的负半轴上，则 (,0)(,)02yxPx 又 1,0F， (,)1,2yyPF 又 P，204x所以，点 N的轨迹 C的方程为 2()y （解法二） M，故
2、 为 的中点 设 (,)xy，由 点在 x轴的负半轴上，则 (,0)(,)02yMxPx -又由 ,PNPF，故 N，可得 FN 由 (1,0)F，则有 22(1)(1)xyx，化简得： 24(0)yx 所以，点 的轨迹 C的方程为 4(0) 例 2、已知椭圆的方程为2(0)ab，它的一个焦点与抛物线 28yx的焦点 重合，离心率 5e，过椭圆的右焦点 F作与坐标轴不垂直的直线 l，交椭圆 于 A、 B两点（1）求椭圆的标准方程； （2）设点 (1,0)M，且 ()AB，求直线 l的方程；解：（）设椭圆的右焦点为 ,0c，因为 28yx的焦点坐标为 (2,0)，所以c因为 25cea，则 2，
3、 21b故椭圆方程为： xy （）由（I）得 (2,0)F，设 l的方程为 (2)k（ 0）代入215，得， 设 12(,)(,)AxyB则2215,kkxx， 121224),()ky1 112(,)(,(,(,)MABxy 1221(0)()0ABxxy 2 243,30,5kkk所以直线 l的方程为 20xyxy或 （2）所求问题以向量的形式呈现例 3、已知椭圆 E 的长轴的一个端点是抛物线 的焦点，离心率是24563（1）求椭圆 E 的方程；（2）过点 C（1，0） ，斜率为 k 的动直线与椭圆 E 相交于 A、B 两点，请问 x 轴上 是否存在点 M，使 为常数？若存在，求出点 M
4、的坐标；若不存在，请 BA说明理由。解：（1）根据条件可知椭圆的焦点在 x 轴，且 6305,5,acea又2b故 1,故所求方程为 即 ，2,53xy532yx（2）假设存在点 M 符合题意，设 AB： 代入),1(k53:2yxE得： 0536)13(22kxk则 ),(,21mMyBxA设 135,1362221 kxkx121()kxkm2643()要使上式与 无关，则有k10,m解得 ，存在点 满足题意。 73m),37(M例 4、线段 AB过 y 轴上一点 0,N， AB所在直线的斜率为 0k，两端点 A、 B 到 y 轴的距离之差为 4k.()求出以 y 轴为对称轴，过 、 O、
5、 三点的抛物线方程；()过该抛物线的焦点 F作动弦 CD，过 、 两点分别作抛物线的切线，设 其交点为 M，求点 的轨迹方程，并求出 2M的值.解：()设 AB所在直线方程为 mkxy，抛物线方程为 pyx2，且 1,yx， 2,，不妨设 01， 2 42 即 41把 k代入 pyx得 2pkx x21， p 故所求抛物线方程为 y2 ()设 34,C， 24,xD则过抛物线上 、 两点的切线方程分别是 2341xy， 241xy两条切线的交点 M的坐标为 ,3x设 CD的直线方程为 1nxy，代入 y2得 02nx43x故 的坐标为 ,43 点 的轨迹为 1y 14,23xFC 14,2xF
6、D232433 xD1412433xx 243x而 2220FM21423x故 12FMBA (3)问题的条件及待求的问题均已向量的形式呈现例 5、在直角坐标系 xOy 中，长为 的线段的两端点 C、D 分别在 x 轴、y 轴上 滑动， 记点 P 的轨迹为曲线 E2CPD（I）求曲线 E 的方程；（II）经过点（0 ，1 ）作直线 l 与曲线 E 相交于 A、B 两点， 当点 ,OMABM 在曲线 E 上时，求 的值cos,OAB解：（）设 C(m，0)，D (0，n) ，P (x，y) 由 ，得( xm，y) (x，ny)，CP 2PD 2 得 x m 2x，y 2(n y)， ) m (r
7、(2) 1)x，n 2 12y， )由| | 1 ，得 m2n 2( 1) 2，CD 2 2( 1) 2x2 y2 ( 1) 2，2(r(2) 1)22 2整理，得曲线 E 的方程为 x2 1 y22（）设 A(x1，y 1)，B (x2，y 2)，由 ，知点 M 坐标为( x1x 2，y 1y 2)OM OA OB 设直线 l 的方程为 ykx1，代入曲线 E 方程，得(k 22)x 22 kx10，则 x1x 2 ，x 1x2 2kk2 2 1k2 2y1y 2k(x 1x 2)2 ，4k2 2由点 M 在曲线 E 上，知(x 1x 2)2 1，(y1 y2)22即 1，解得 k22 4k
8、2(k2 2)2 8(k2 2)2这时 x1x2y 1y2x 1x2( kx11)(kx 21) (1k 2)x1x2k(x 2x 2)1 ，34(x y )(x y )(2x )(2x )42(x x )(x 1x2)221 21 2 2 21 2 21 242(x 1x 2)2 2x1x2(x 1x2)2 ，3316cos ， OA OB x1x2 y1y2(xo(2,1) yo(2,1)(xo(2,2) yo(2,2) 3311二、针对性练习1. 已知圆 M： 及定点 ，点2(5)36xy(5,0)NP 是圆 M 上的动点，点 Q 在 NP 上，点 G 在 MP 上，且满足 .0,PGN
9、（1）求点 G 的轨迹 C 的方程；（2）过点 K（2，0 ）作直线 与曲线 C 交于 A、B 两点，,lO 是坐标原点，设 ,是否存在这样的直线 使四边形 OASB 的对角SO,l线相等？若存在，求出直线 的方程； 若不存在，说明理由. l解：（1）由 为 PN 的中点，且 是 PN 的中垂线，QNPG02 GQPN ， 6MG.52点 G 的轨迹是以 M、N 为焦点的椭圆，又 .,3bca .1492yx（2） . 四边形 OASB 为平行四边行，OBAS假设存在直线 1，使 四边形 OASB 为矩形S .OBA若 1 的斜率不存在，则 1 的方程为 ,2x由 0.221659943xxO
10、ABy这与 相矛盾， 1 的斜率存在. 0OBA设直线 1 的方程 22,.ykxAyBx，化简得：4922xky .013649222 k ,49136,362121 kxk 4920. 21212121 kxxy由 1200OABy.3493622 k存在直线 1： 或 满足条件. 3x0yx二、针对性练习1.已知过抛物线 的焦点，斜率为 的直线交抛物线于 , 02py212()Axy（ ）两点，且 2,Bx1x9AB（1）求该抛物线的方程；（2） 为坐标原点， 为抛物线上一点，若 ，求 的值OCOBAC解：（1）直线 AB 的方程是 ,与 联立，2()pyx2yx消去 ，得 ，所以 ，4
11、504521p由抛物线定义得： ，所以 p=4，921pxAB抛物线方程为： y8（2）由 p=4， ,05x422p化简得 ，0452x从而 ,从而 A(1, ),B(4, ),12,21y24设 = ，)24,()2,1()3, yxOC )24,1(又因为 ，即 8（4 ） ，38x即 ，解得)(2,0或2、在平面直角坐标系内已知两点 、 ，若将动点 的横坐标保持不变， 1,0A(,)B(,)Pxy纵坐标扩大到原来的 倍后得到点 ，且满足 .2,2Qxy1AQB（）求动点 所在曲线 的方程；PC（）过点 作斜率为 的直线 交曲线 于 、 两点，且 ， BlCMN0ONH又点 关于原点 的
12、对称点为点 ，试问 、 、 、 四点是否共圆？若共 HOGH圆，求出圆心坐标和半径；若不共圆，请说明理由.解（）设点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ，P(,)xyQ(,2)xy依据题意，有 (1,2)(1,).AB22,.QBxy动点 所在曲线 的方程是 PC21.（ ）因直线 过点 ，且斜率为 ，故有 lBk:(1).lyx联立方程组 ，消去 ，得 21()xyy20.x设 、 ，可得 ，于是 . 1(,)Mxy2(,)Nxy12x12xy又 ，得 即0OH1212(,),Oy 2(1,)H而点 与点 关于原点对称，于是，可得点 G(,).2G若线段 、 的中垂线分别为 和 ， ，则有MNH1l2GHk1 221:(),:.4lyxlyx联立方程组 ，解得 和 的交点为 ()2yx1l212(,).8O因此，可算得 22193|(),88OH221111|()().Mxy所以 、 、 、 四点共圆，且圆心坐标为 半径为 GNH1(,),8O31.8
