1、 1第十讲 综合性问题 高考风向标高考数学跨章节的综合性问题的命题方向一般是：三角函数与向量，解析几何与向量，函数与向量，函数与不等式，概率与实际应用性问题，递推数列与不等式证明，解析几何与数列等等 典型题选讲例 1 已知向量 ， ， ，其中)23sin(cox，a )2sin(cox，b)13(，cRx（）当 时，求 值的集合；b（）求 的最大值|c讲解 （）由 ，得 ，即a0b02sin32os3xx则 ， 得 02cosx )(4Zk 为所求Zk，4|（） ，22)3(cos|xa2)1(sinx)3sin(45x所以 有最大值为 3|点评 向量与三角函数的结合是高考命题的一个亮点，年的
2、高考当中已经有类似的考题例 2 已知函数 的定义域为 ，且 . 设点 是函数xaf)( ),0(2)(fP图象上的任意一点，过点 分别作直线 和 轴的垂线，垂足分别为 PyNM、（1）求 的值；a（2）问： 是否为定值？若是，|NM则求出该定值，若不是，则说明理由；（3）设 为坐标原点，求四边形O面积的最小值PN讲解（1） ， . 2)2(af 2a（2）设点 的坐标为 ，则有),(0yx2， ，002xy由点到直线的距离公式可知： ，000|,12| xPNxyPM故有 ，即 为定值，这个值为 1. 1|PNM|N（3）由题意可设 ，可知 .),(t),0(y 与直线 垂直， ，即 ，解得x
3、y1PMk10tx，又 ， .)(210t002x02t ， ，20xSOPM210SOPN ，21)(20xPPN当且仅当 时，等号成立10x 此时四边形 面积有最小值 OM21点评 本题是年上海市春季高考试题，它将函数、解析几何与不等式综合，题目新颖，但并不是难题对号函数是历年高考命题的热门话题例 已知 ，奇函数 在 上单调xR32fxabxc1,（1）求 的值及 的范围；ac、 b（2）设 ，且满足 ，求证： 00,1f0f 0fx讲解 （1）因为 ， 为奇函数，xR32fxabc恒成立，32ff xaxbc 即 -0ac又 在 上单调，fx1,若 在 上单调递减，则 恒成立但 在, 0
4、fx 230fxb上不恒成立；1,若 在 上单调递增，则 恒成立在 上fx1,230fxb 1,3最小值为 ，故只要 ，即 23fxb 3b30b3综上可知， ， 0ac （2）假设 ，0fx若 ，由（1）知 在 上单调递增，0ffx1,则 且 有 ，与 矛盾；00xf00fx0fx若 ，同理有 且 有 ，与01f00fx0f0矛盾；所以假设错误0fx因此 0fx点评 第（2）小题也可以给出下面的证明：由（1）知 设 ，由 有 于是3fb0fxm0fx0fmx300,.两式相减，得 ， 即 300xmbxx2200010xb220001,314f mb 即 0x 0fx请你思考：哪一个证法比较
5、简单呢？例 M( 互相垂作 抛 物 线 的 两 条过上 的 一 个 定 点为 抛 物 线 Myy,2),0直的弦 MP、MQ，求证：PQ 恒过定点 M（ ),00yx（2）直线 点在 抛 物 线 上 是 否 存 在交 于 点与 抛 物 线 ,12QPymyxM，使得MPQ 为以 PQ 为斜边的直角三角形？讲解（1）设 PQ 的方程为 ，得 中代 入 xnx2,，022y于是 12,.mn其中 的 纵 坐 标分 别 是 QPy,214， ,1mpuMPk即 ， ，0201xyxy 4)(0201yy,4)(0211 直线 PQ 的方程为 2xmyx即 ),(,)( 000 yMymx 它 一 定
6、 过 交 点（2）设 M（上，所以01),2(,)1(,), 000 mxx在 直 线知则 由为 满 足 条 件 的 点的解，消去 x 得3,100 yyxyx是 方 程 组24,62m满 足 条 件存 在 点 M点评 消元思想是解答解析几何试题的基本方法，它的程序是：代入消元，产生一元二次方程，韦达定理，判别式等例 已知正项数列 中， ，点 在抛物线 上；数列na161,nnAa21yx中，点 在过点 ，以方向向量为 的直线上nb,nBb0, ,2（）求数列 的通项公式；,na（）若 ，问是否存在 ，使 成立，nfb 为 奇 数,为 偶 数 kN274fkfk若存在，求出 值；若不存在，说明
7、理由；k（）对任意正整数 ，不等式 成立，求正112 02n nnaabb数 的取值范围a讲解 （）将点 代入 中得1,nnAa2yx1115:2,2n ndalyxb 直 线5（） 521nf, 为 奇 数为 偶 数 727454,4235271,24kkfkfkkkk当 为 偶 数 时 ， 为 奇 数 ， 当 为 奇 数 时 ， 为 偶 数 ， 舍 去综 上 ， 存 在 唯 一 的 符 合 条 件 .（）由 ，112 02n nnaabb1212121112325334245nnnnnanfbbfn bf b 即记 2min 53416,5451,31450.nfffa 即 递 增 ， 点
8、评 解析几何中曲线上的点列是高考的命题的一个新的亮点，而这种题型已经是上海高考命题的一个热点针对性演练1. 某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购买 黄金，售货10g员先将 的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将 的砝码5g 5放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金 ( )A大于 B小于 10 10gC大于等于 D小于等于g2. 在数列 中，如果存在非零常数 ，使得 对于任意的非零自然数 均成立，naTmTam6那么就称数列 为周期数列，其中 叫数列 的周期。已知数列 满足naTnanx，如果 ，当数列 的周期最小112,nnx
9、N12,0xR n时，该数列前 2005 项的和是 ( )A668 B669 C1336 D13373. 如图，在ABC 中，CABCBA30 0，AC、BC边上的高分别为 BD、AE，则以 A、B 为焦点，且过D、E 的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为 ( )A. B. 1 3C. 2 D. 24. 在空间直角坐标系 Oxyz 中，有一个平面多边形，它在 xOy 平面的正射影的面积为8，在 yOz 平面和 zOx 平面的正射影的面积都为 6，则这个多边形的面积为 ( )A. B. 2 C. D. 2464634345. 如图，在正方体 中，P 是侧面 内一动点，若 P 到直线 BCCA1B1与
10、直线 的距离相等，则动点 P 的轨迹所在的曲线是 ( )D1 D1 C1 A1 B1 P D C A B A. 直线 B. 圆 C. 双曲线 D. 抛物线6. 某地 2004 年第一季度应聘和招聘人数排行榜前 5 个行业的情况列表如下：行业名称 计算机 机械 营销 物流 贸易应聘人数 215830 200250 154676 74570 65280行业名称 计算机 营销 机械 建筑 化工招聘人数 124620 102935 89115 76516 70436根据表中的数据，将各行业按就业形势由差到好排列，其中排列正确的是 （ ）A. 计算机，营销，物流 B. 机械，计算机，化工C. 营销，贸易
11、，建筑 D. 机械，营销，建筑，化工7. 定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和EA BCD7已知数列 是等和数列，且 ，公和为 5，那么 的值为_，ana12a18且这个数列的前 21 项和 的值为_S218. 已知 克糖水中含有 克糖 ，再添加 克糖 （假设全部溶解）糖b0bm0水变甜了，试根据这一事实提炼一个不等式 _ 9. 已知命题“已知函数 与其反函数的图像有交点，且交点的横坐标是 ，则xyalog 0x，且 ”是假命题，请说明理由 _ 10a10直角坐标平面内，我们把横坐标、纵坐标都是整数的点称为
12、整点。现有一系列顶点都为整点的等腰直角三角形 ，其中点 是坐 ,321 nBOABOAO标原点，直角顶点 的坐标为 ，点 在 轴正半轴上，则第 个等腰直角nA*Nnnx三角形 内（不包括边界）整点的个数为 _ nB椭圆 C1： （ b0）的左、右焦点分别为 F1、F 2 右顶点为 A，M 为椭21xya圆 C1 上任意一点，且 的最大值为 12MF 234a(1) 求椭圆 C1 得离心率；(2) 设双曲线 C2 以椭圆 C1 的焦点为定点，顶点为焦点；在第一象限内任取双曲线 C2上一点 P，试问是否存在常数 ()，使得PAF 1 =PF 1A 恒成立？证明你的结论如图，直三棱柱 中， ， ，
13、为棱 的1AB2ABC90BCD1B中点（）求异面直线 与 所成的角；1CD1（）求证：平面 平面 A设 、 是函数 （a0）的两个极值点，且1x232()abfxx1| AC BA1C1 B1D8（）证明： ；01a（）证明： ；43|9b（）若函数 ，证明：当 且 时，1()2()hxfax12x10x|()|4hxa函数 的定义域为 R，且bxf21)( *)()limNnfn（1）求证：a0,b0；（2）若 上的最小值为 ，试求 f(x)的解析式；1,0)(,54)(在且 ff21（3）在（2）的条件下记 试比较 ,)(nfSn的大小并证明你的结论)(21NnS与参考答案A. D. A
14、. D. D. B. 3, 2 . .mba2,0x21n(1) 作出椭圆的左准线 l，作 MNl 交 l 于点 N，设 M(x，y)，椭圆的离心率是 e，椭圆的半焦距是 c，根据椭圆的定义得 ，所以 ，1MFe21()aFexc同理可得 ，所以 ，其中2MFaex 212()axax,由 得最小值为 ，得 ，解得：12 234234ee(2) 依题意得双曲线 C2 的离心率为 2，设 C2 的方程是 ，13xyc假设存在适合题意得常数 (0) 先来考查特殊情形下的 值：当 PAx 轴时，将 x=2c 代入双曲线方程，解得 | y|=3c，因为| AF 1|=3c，所以PAF 1 是等腰直角三
15、角形，PAF 1=90o， PF1A=45o，此时 =2 以下证明当 PA 与 x 轴不垂直时，PAF 1=2PF 1A 恒成立。设 P(x1，y 1)，由于点 P 在第一象限内，所以直线 PF1 斜率也存在， 1PFykxc9因为 PA 与 x 轴不垂直，所以直线 PA 斜率也存在， ，12PAykxc，11 11222tg()tg2()()PFkAxcyPF因为 ，所以 ，将其代入上式并化简，得213xyc22113()yxc111tg()()PFAc因为PAF 1= PA =180o，所以 ，11tg22PAyFkxc即 tg2PF 1A=tgP A F1 因为 ， ，(0,),)231
16、(0,),)43P所以 ，所以 恒成立1 2,(,)112AFP综合、的：存在常数 =2，使得对位于双曲线 C2 在第一象限内的任意一点 P，恒成立112PAF解法（）建立如图所示的空间直角坐标系.设 ，Ba则 ，1 1(0,2)(,0)(,2),(0,)CaDa于是 11,DA11cos,|CCD，20513a异面直线 与 所成的角为 1C1A15arcos（） ，1(,0),(,0)(,0)DaAC.221,D则 11,A平面 又 平面 ，DC1A1C平面 平面 1D10解法（）连结 交 于点 ，取 中点 ，连结 ，则 1ACEADFEF1CD直线 与 所成的角就是异面直线 与 所成的角F
17、1 1C1A设 ，Ba则 ，221113CDa 5AA2Ba中， ， ，CEF152C132EFCDa直三棱柱中， ，则 90BAA2226()aCF，222253154cos aEFC异面直线 与 所成的角为 1CD1A15arcos（）直三棱柱中， ， 平面 90BAC1BA则 1又 ， ， ，2ADa12a1则 ， 于是 1AD平面 又 平面 ，1C1C平面 平面 AD （） ax 2bxa 2， x1，x 2 是 f (x)的两个极值点， x1，x 2 是方程()fx0 的两个实数根()fxB1DFE211 a 0， x1x2a0，x 1x 2 | x1| x2| x1x 2| ba
18、| x1|x 2|2， 4a 4，即 b24a 24a 3b2a2 b20， 0a1（）设 g(a)4a 24a 3，则 g (a)8a12a 24a(23a) 由 g (a)0 0a ，g 23(a)0 a1，得 g(a)在区间（ 0，）上是增函数，在区间（ ，1 上是减函数，23 23 23 g(a)maxg( ) |b| 23 1627（） x1，x 2 是方程 f (x)0 的两个实数根， f (x)a( xx 1)(xx 2) h(x)a( xx 1)(xx 2)2a(xx 1)a(xx 1)(xx 22)， | h(x)|a| xx 1| xx 22|a ( )2| x x1| | x x2 2|2 xx 1，| xx 1|x x 1又 x10，x 1x20，x 20x 222 x2，xx 220 | xx 22|x 22x | xx 1| xx 22| x 2 x124 | h(x)|4a （1）f(x )定义域为 R， ,0.,0aRabxbx 若而即lim()01(02)li()li1()20,.n bbxnnbbfafaaa与 矛 盾即故（2）由（1）知 f(x)在0，1 上为增函数， 1(0),2fa即12211 11,41(),2,5.4(3)*,:,()2(3)()4,*,.22bbxxnnknn nafxkNSffffNS 当 时 证 明 如 下而 时
