1、一 薄壁筒扭转时的剪应力 设有等厚度薄壁圆筒 3 3纯剪切 平均半径为 厚度为 长为 实验现象 1 圆周线的大小 形状不变 相邻圆周线之间的距离也保持不变 2 变形后 纵向平行线仍然保持平行 3 由于所有的纵向平行线都同时转动了一个相同的角度 所以变形前由纵向平行线与圆周线形成的矩形在变形后变成平行四边形 分析 1 相邻圆周线之间的距离也保持不变 横截面上无正应力 2 圆周线的大小不变 4 圆周线的形状不变 在通过轴线的纵向截面上无正应力 横截面上的剪应力沿圆周的切线方向 3 所有的纵向线都转动了一个角度 横截面上有剪应力 5 所有的纵向线都转动了一个相同的角度 剪应力沿着圆周方向均匀分布 6
2、 薄壁圆筒壁厚很小 剪应力沿着壁厚方向均匀分布 二 剪应力互等定理 剪应力互等定理 在相互垂直的两个面上 剪应力必然成对出现 且大小相等方向或指向 或背离两面的交线 三 剪应变 剪切虎克定律 剪应变 在剪应力作用下 两直角边的夹角发生改变 用 表示 减小为正 圆轴表面纵向平行线的转角 弹性范围内 剪切虎克定律 剪切弹性模量 量纲同E 力 长度2 3 3圆轴扭转时截面上的应力分析 1 实验现象 1 圆周线的大小 形状不变 相邻圆周线之间的距离也保持不变 2 变形后 纵向平行线仍然保持平行 3 由于所有的纵向平行线都同时转动了一个相同的角度 所以变形前由纵向平行线与圆周线形成的矩形在变形后变成平行
3、四边形 1 相邻圆周线之间的距离也保持不变 横截面上无正应力 2 圆周线的大小不变 4 圆周线的形状不变 在通过轴线的纵向截面上无正应力 横截面上的剪应力沿圆周的切线方向 3 所有的纵向线都转动了一个角度 横截面上有剪应力 剪应力沿着圆周方向均匀分布 6 薄壁圆筒壁厚很小 剪应力沿着壁厚方向均匀分布 分析 5 所有的纵向线都转动了一个相同的角度 2 剪应力方向是沿周边切线方向 1 横截面只有剪应力 无正应力 由实验现象 可得到关于圆轴扭转横截面上的应力分布结论为 3 剪应力沿着圆周方向均匀分布 4 刚性平截面假定 圆轴发生扭转变形时 原为平面的横截面变形后仍保持为一个平面 其形状和大小保持不变
4、 半径仍保持为一条直线 而且相邻横截面之间的距离保持不变 每个横截面如同刚性平面一样只是绕着轴线转动一个角度 2 剪应力沿半径方向的分布 几何关系 确定剪应变的分布 几何方程 1 结论 剪应变与该点到0 0 轴的距离成正比 杆轴上剪应变为零 表面应变最大 讨论距0 0 轴为 的lmnp面 圆轴发生扭转变形时在圆周表面上产生的剪应变 圆轴发生扭转变形时在距离圆轴为处产生的剪应变 物理关系 剪切虎克定律 1 代入 2 3 已经给出了剪应力沿半径方向的分布规律 1 线形分布 2 与该点到圆心的距离成正比 3 在圆心上等于0 在距离圆心最远的圆周上各点最大 平衡条件 根据剪应力与扭矩的关系 4 扭矩T
5、n以剪应力的形式分布在整个截面 3 代入 4 得 5 横截面对圆心O的极惯性矩 5 代入 3 圆轴扭转横截面剪应力计算公式 该点所在横截面上的扭矩 该点所在横截面对圆心的极惯性矩 该点到圆心的距离 适用范围 1 圆形截面轴 2 线弹性范围内 2 空心圆截面 1 实心圆截面 极惯性矩的求解 剪应力分布 3 4圆轴扭转时的强度计算 1 最大剪应力 实心圆截面 空心圆截面 在给定的截面上 对于等截面圆轴 发生在截面边缘 发生在扭矩最大的截面边缘 抗扭截面系数 量纲 长度 3 对于变截面圆轴 发生在某一个截面的边缘上 抗扭截面系数 2 剪应力强度条件 c 确定容许荷载 应用 a 强度校核 b 截面设计 例 由无缝钢管制成的汽车传动轴AB 外径D 90mm 壁厚t 2 5mm 材料为45钢 使用时最大扭矩T 1 5KN 试校核AB轴的强度 解 轴的最大剪应力为 AB轴满足强度条件 例 如把上例中的传动轴改为实心轴 要求它与原来的空心轴强度相同 试确定其直径 并比较二者的重量 解 按题目要求 实心轴的最大剪应力也为51MPa 即 在两轴材料 长度相同的情况下 重量之比即为面积之比 可见在载荷相同的条件下 空心轴的重量仅为实心轴的31 其减轻重量 节约材料时非常明显的 习题 材料力学 P93 3 5P95 3 9
