1、 第十章 积分学定积分二重积分三重积分 积分域区间域平面域空间域 曲线积分 曲线域 曲面域 曲线积分 曲面积分 对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分 对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分 曲面积分 曲线积分与曲面积分 第一节 一 对弧长的曲线积分的概念与性质 二 对弧长的曲线积分的计算法 对弧长的曲线积分 第十章 一 对弧长的曲线积分的概念与性质 假设曲线形细长构件在空间所占 其线密度为 大化小 常代变 近似和 求极限 可得 为计算此构件的质量 1 引例 曲线形构件的质量 采用 设 是空间中一条有限长的光滑曲线 义在 上的一个有界函数 都存在 上对弧长的曲线积分 记作 若通过对 的任意分割 局部的
2、任意取点 2 定义 下列 乘积和式极限 则称此极限为函数 在曲线 或第一类曲线积分 称为被积函数 称为积分弧段 曲线形构件的质量 和对 如果L是xoy面上的曲线弧 如果L是闭曲线 则记为 则定义对弧长的曲线积 分为 思考 1 若在L上f x y 1 2 定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例 否 对弧长的曲线积分要求ds 0 但定积分中 dx可能为负 3 性质 k为常数 由组成 l为曲线弧 的长度 二 对弧长的曲线积分的计算法 基本思路 计算定积分 定理 且 上的连续函数 证 是定义在光滑曲线弧 则曲线积分 求曲线积分 根据定义 点 设各分点对应参数为 对应参数为 则 说明 因此积分限必须满足
3、2 注意到 因此上述计算公式相当于 换元法 因此 如果曲线L的方程为 则有 如果方程为极坐标形式 则 推广 设空间曲线弧的参数方程为 则 例1 计算 其中L是以点 与点B 0 1 为顶点的三角形闭曲线 解 O 0 0 A 1 0 是分段光滑的 注 此积分也可用如下方法计算 从而 例2 计算半径为R 中心角为 的圆弧L对于它的对 称轴的转动惯量I 设线密度 1 解 建立坐标系如图 则 例3 计算 其中L为双纽线 解 在极坐标系下 它在第一象限部分为 利用对称性 得 例4 计算 其中 为球面 被平面所截的圆周 解 由对称性可知 注 利用轮换对称性简化计算 思考 例4中 改为 计算 解 令 则 圆 的形心在原点 故 如何 例5 计算 其中 为球面 解 化为参数方程 则 内容小结 1 定义 2 性质 l曲线弧 的长度 3 计算 对光滑曲线弧 对光滑曲线弧 对光滑曲线弧 思考与练习 1 已知椭圆 周长为a 求 提示 原式 利用对称性 分析 2 设均匀螺旋形弹簧L的方程为 1 求它关于z轴的转动惯量 2 求它的质心 解 设其密度为 常数 2 L的质量 而 1 故重心坐标为 备用题 1 设C是由极坐标系下曲线 及 所围区域的边界 求 提示 分段积分 2 L为球面 面的交线 求其形心 在第一卦限与三个坐标 解 如图所示 交线长度为 由对称性 形心坐标为
