1、（ 二 ） 中 国 大 学 生 数 学 竞 赛 （ 非 数 学 专 业 类 ） 竞 赛 内 容 为 大 学 本 科 理 工 科 专业 高 等 数 学 课 程 的 教 学 内 容 ， 具 体 内 容 如 下 ： 一 、 函 数 、 极 限 、 连 续 1 函 数 的 概 念 及 表 示 法 、 简 单 应 用 问 题 的 函 数 关 系 的 建 立 . 2 函 数 的 性 质 ： 有 界 性 、 单 调 性 、 周 期 性 和 奇 偶 性 . 3 复 合 函 数 、 反 函 数 、 分 段 函 数 和 隐 函 数 、 基 本 初 等 函 数 的 性 质 及其 图 形 、 初 等 函 数 . 4
2、数 列 极 限 与 函 数 极 限 的 定 义 及 其 性 质 、 函 数 的 左 极 限 与 右 极 限 . 5 无 穷 小 和 无 穷 大 的 概 念 及 其 关 系 、 无 穷 小 的 性 质 及 无 穷 小 的 比 较 . 6 极 限 的 四 则 运 算 、 极 限 存 在 的 单 调 有 界 准 则 和 夹 逼 准 则 、 两 个 重 要极 限 . 7 函 数 的 连 续 性 （ 含 左 连 续 与 右 连 续 ） 、 函 数 间 断 点 的 类 型 . 8 连 续 函 数 的 性 质 和 初 等 函 数 的 连 续 性 . 9 闭 区 间 上 连 续 函 数 的 性 质 (有 界
3、性 、 最 大 值 和 最 小 值 定 理 、 介 值 定理 ). 二 、 一 元 函 数 微 分 学 1. 导 数 和 微 分 的 概 念 、 导 数 的 几 何 意 义 和 物 理 意 义 、 函 数 的 可 导 性 与连 续 性 之 间 的 关 系 、 平 面 曲 线 的 切 线 和 法 线 . 2. 基 本 初 等 函 数 的 导 数 、 导 数 和 微 分 的 四 则 运 算 、 一 阶 微 分 形 式 的 不变 性 . 3. 复 合 函 数 、 反 函 数 、 隐 函 数 以 及 参 数 方 程 所 确 定 的 函 数 的 微 分 法 . 4. 高 阶 导 数 的 概 念 、 分
4、段 函 数 的 二 阶 导 数 、 某 些 简 单 函 数 的 n 阶 导 数 . 5. 微 分 中 值 定 理 ， 包 括 罗 尔 定 理 、 拉 格 朗 日 中 值 定 理 、 柯 西 中 值 定 理和 泰 勒 定 理 . 6. 洛 必 达 (LHospital)法 则 与 求 未 定 式 极 限 . 7. 函 数 的 极 值 、 函 数 单 调 性 、 函 数 图 形 的 凹 凸 性 、 拐 点 及 渐 近 线 (水平 、 铅 直 和 斜 渐 近 线 )、 函 数 图 形 的 描 绘 . 8. 函 数 最 大 值 和 最 小 值 及 其 简 单 应 用 . 9. 弧 微 分 、 曲 率
5、、 曲 率 半 径 . 三 、 一 元 函 数 积 分 学 1. 原 函 数 和 不 定 积 分 的 概 念 . 2. 不 定 积 分 的 基 本 性 质 、 基 本 积 分 公 式 . 3. 定 积 分 的 概 念 和 基 本 性 质 、 定 积 分 中 值 定 理 、 变 上 限 定 积 分 确 定 的函 数 及 其 导 数 、 牛 顿 -莱 布 尼 茨 (Newton-Leibniz)公 式 . 4. 不 定 积 分 和 定 积 分 的 换 元 积 分 法 与 分 部 积 分 法 . 5. 有 理 函 数 、 三 角 函 数 的 有 理 式 和 简 单 无 理 函 数 的 积 分 . 6
6、. 广 义 积 分 . 7. 定 积 分 的 应 用 ： 平 面 图 形 的 面 积 、 平 面 曲 线 的 弧 长 、 旋 转 体 的 体 积及 侧 面 积 、 平 行 截 面 面 积 为 已 知 的 立 体 体 积 、 功 、 引 力 、 压 力 及 函 数 的 平 均值 四 .常 微 分 方 程 1. 常 微 分 方 程 的 基 本 概 念 ： 微 分 方 程 及 其 解 、 阶 、 通 解 、 初 始 条 件 和特 解 等 . 2. 变 量 可 分 离 的 微 分 方 程 、 齐 次 微 分 方 程 、 一 阶 线 性 微 分 方 程 、 伯 努利 (Bernoulli)方 程 、 全
7、 微 分 方 程 . 3. 可 用 简 单 的 变 量 代 换 求 解 的 某 些 微 分 方 程 、 可 降 阶 的 高 阶 微 分 方 程 ：. 4. 线 性 微 分 方 程 解 的 性 质 及 解 的 结 构 定 理 . 5. 二 阶 常 系 数 齐 次 线 性 微 分 方 程 、 高 于 二 阶 的 某 些 常 系 数 齐 次 线 性 微分 方 程 . 6. 简 单 的 二 阶 常 系 数 非 齐 次 线 性 微 分 方 程 ： 自 由 项 为 多 项 式 、 指 数 函数 、 正 弦 函 数 、 余 弦 函 数 ， 以 及 它 们 的 和 与 积 7. 欧 拉 (Euler)方 程
8、. 8. 微 分 方 程 的 简 单 应 用 五 、 向 量 代 数 和 空 间 解 析 几 何 1. 向 量 的 概 念 、 向 量 的 线 性 运 算 、 向 量 的 数 量 积 和 向 量 积 、 向 量 的 混合 积 . 2. 两 向 量 垂 直 、 平 行 的 条 件 、 两 向 量 的 夹 角 . 3. 向 量 的 坐 标 表 达 式 及 其 运 算 、 单 位 向 量 、 方 向 数 与 方 向 余 弦 . 4. 曲 面 方 程 和 空 间 曲 线 方 程 的 概 念 、 平 面 方 程 、 直 线 方 程 . 5. 平 面 与 平 面 、 平 面 与 直 线 、 直 线 与 直
9、 线 的 夹 角 以 及 平 行 、 垂 直 的 条件 、 点 到 平 面 和 点 到 直 线 的 距 离 . 6. 球 面 、 母 线 平 行 于 坐 标 轴 的 柱 面 、 旋 转 轴 为 坐 标 轴 的 旋 转 曲 面 的 方程 、 常 用 的 二 次 曲 面 方 程 及 其 图 形 . 7. 空 间 曲 线 的 参 数 方 程 和 一 般 方 程 、 空 间 曲 线 在 坐 标 面 上 的 投 影 曲 线方 程 . 六 、 多 元 函 数 微 分 学 1. 多 元 函 数 的 概 念 、 二 元 函 数 的 几 何 意 义 . 2. 二 元 函 数 的 极 限 和 连 续 的 概 念
10、、 有 界 闭 区 域 上 多 元 连 续 函 数 的 性 质 . 3. 多 元 函 数 偏 导 数 和 全 微 分 、 全 微 分 存 在 的 必 要 条 件 和 充 分 条 件 . 4. 多 元 复 合 函 数 、 隐 函 数 的 求 导 法 . 5. 二 阶 偏 导 数 、 方 向 导 数 和 梯 度 . 6. 空 间 曲 线 的 切 线 和 法 平 面 、 曲 面 的 切 平 面 和 法 线 . 7. 二 元 函 数 的 二 阶 泰 勒 公 式 . 8. 多 元 函 数 极 值 和 条 件 极 值 、 拉 格 朗 日 乘 数 法 、 多 元 函 数 的 最 大 值 、最 小 值 及 其
11、 简 单 应 用 . 七 、 多 元 函 数 积 分 学 1. 二 重 积 分 和 三 重 积 分 的 概 念 及 性 质 、 二 重 积 分 的 计 算 (直 角 坐 标 、极 坐 标 )、 三 重 积 分 的 计 算 (直 角 坐 标 、 柱 面 坐 标 、 球 面 坐 标 ). 2. 两 类 曲 线 积 分 的 概 念 、 性 质 及 计 算 、 两 类 曲 线 积 分 的 关 系 . 3. 格 林 (Green)公 式 、 平 面 曲 线 积 分 与 路 径 无 关 的 条 件 、 已 知 二 元 函 数全 微 分 求 原 函 数 . 4. 两 类 曲 面 积 分 的 概 念 、 性
12、质 及 计 算 、 两 类 曲 面 积 分 的 关 系 . 5. 高 斯 (Gauss)公 式 、 斯 托 克 斯 (Stokes)公 式 、 散 度 和 旋 度 的 概 念 及计 算 . 6. 重 积 分 、 曲 线 积 分 和 曲 面 积 分 的 应 用 (平 面 图 形 的 面 积 、 立 体 图 形的 体 积 、 曲 面 面 积 、 弧 长 、 质 量 、 质 心 、 转 动 惯 量 、 引 力 、 功 及 流 量 等 ) 八 、 无 穷 级 数 1. 常 数 项 级 数 的 收 敛 与 发 散 、 收 敛 级 数 的 和 、 级 数 的 基 本 性 质 与 收 敛的 必 要 条 件
13、. 2. 几 何 级 数 与 p 级 数 及 其 收 敛 性 、 正 项 级 数 收 敛 性 的 判 别 法 、 交 错 级数 与 莱 布 尼 茨 (Leibniz)判 别 法 . 3. 任 意 项 级 数 的 绝 对 收 敛 与 条 件 收 敛 . 4. 函 数 项 级 数 的 收 敛 域 与 和 函 数 的 概 念 . 5. 幂 级 数 及 其 收 敛 半 径 、 收 敛 区 间 （ 指 开 区 间 ） 、 收 敛 域 与 和 函 数 . 6. 幂 级 数 在 其 收 敛 区 间 内 的 基 本 性 质 (和 函 数 的 连 续 性 、 逐 项 求 导 和逐 项 积 分 )、 简 单 幂 级 数 的 和 函 数 的 求 法 . 7. 初 等 函 数 的 幂 级 数 展 开 式 . 8. 函 数 的 傅 里 叶 (Fourier)系 数 与 傅 里 叶 级 数 、 狄 利 克 雷 (Dirichlei)定理 、 函 数 在 -l， l上 的 傅 里 叶 级 数 、 函 数 在 0,l上 的 正 弦 级 数 和 余 弦 级数
