1、备课资料1.半角定理在ABC 中,三个角的半角的正切和三边之间有如下的关系 :,pcbapA)()(12tan,bB)()(t,pcbacpC)()(12tan其中 p= （a+b+c ).证明: ,2cosintA因为 sin 0,co s 0,所以.bcabcabcA 4)(4)()21(2co1sin 22 因为 p = (a+b+c),所以 a -b+c =2(p-b),a+b-c=2(p -c).所以 .A)(2sin而 bca2)1(cos1c pabab )(4)4)(2 所以 .pcbapapcbbcapA )()(1)()(2cosinta 所以 .ap)()(1tn同理,可
2、得 ,pcbabpB)()(12tan.从上面的证明过程中,我们可以得到用三角形的三cC)()(t条边表示半角的正弦和半角的余弦的公式:.bcapAbcpA)(2os,)(2sin同理可得 .)(2cos)(2os,)(sin,)(si abcpCabpBaCacB 2.用三角形的三边表示它的内角平分线设在ABC 中(如右图), 已知三边 a、b、c ,如果三个角 A、B 和 C 的平分线分别是 tA、t B 和tC，那么，用已知边表示三条内角平分线的公式是：;)(2apbcta;b.)(catc证明：设 AD 是角 A 的平分线，并且 BD=x，DC=y,那么，在ADC 中，由余弦定理，得t
3、A2=b2+y2-2bycosC,根据三角形内角平分线的性质，得 ,yxbc所以 .yxbc因为 x+y=a,所以 .yc所以 .cb将代入 ,得 Ccbacbta os)(2)(2= .)(222cb因为 ,bcaCos2所以 2)(2)(222 abccbata = )()( 2222abccb= 所以 .),()(4)()( 22 apbcp )(2apbcta同理,可得 ., ctact cb 这就是已知三边求三角形内角平分线的公式.3.用三角形的三边来表示它的外接圆的半径设在ABC 中,已知三边 a、b、c,那么用已知边表示外接圆半径 R 的公式是.)()(ppR证明: 因为 ,AbcSsin21,sin所以 .bcA2si所以 .)()(4incpbapSaR
