1、2013 硕士研究生入学考试数学一真题1.已知极限 ，其中 k，c 为常数，且 ，则（ ）0arctnlimkxx0cA. B. C. D. 12,k12, 13,13,k2.曲面 在点 处的切平面方程为（ ）cos()0yzx()A. B. C. D. xz2xyz0xyz3.设 ， ，令 ，则1()2f10()sin(1,)nbfd 1()sinSbx（ ）94SA . B. C. D. 3114344.设 ， ， ， 为四条逆时针方21:Lxy2:Lxy23:Lxy2:Lxy向的平面曲线，记 ，则3()()(1,3)6iLIddi 1234ma,IA. B. C. D 1I23I4I5.
2、设 A,B,C 均为 n 阶矩阵，若 AB=C，且 B 可逆，则（ ）A.矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价B 矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价C 矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价D 矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价6.矩阵 与 相似的充分必要条件为（ ）1ab20bA. B. 为任意常数 0,2a0,aC. D. 为任意常数bb7.设 是随机变量，且 ， ， ，123,X1(0,)XN:22(0,):23(5,)XN:，则（ ）2(1,23)i iPXA. B. C. D13P32P132P8.设随机变量 , ，给定 ，常数 c 满足 ，
3、则()tn:(,)YF(0.5)aXca( )2PYc9.设函数 y=f(x)由方程 y-x=ex(1-y) 确定，则 。01lim()nf10.已知 y1=e3x xe2x，y 2=ex xe2x， y3= xe2x 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的 3 个解，则该方程的通解 y= 。11.设 。24sin()cott dt为 参 数 ， 则12. 。21l()xd13.设 A=(aij)是 3 阶非零矩阵， 为 A 的行列式，A ij 为 aij 的代数余子式.若 aij+Aij=0(i，j=1,2,3） ，则A 。14.设随机变量 Y 服从参数为 1 的指数分布，a 为常数且大于零，则
4、 PYa+1|Ya=三解答题：（15 ） （本题满分 10 分）计算 ，其中 f(x)dxf)(10 .)ln(1dtx(16)(本题 10 分 )设数列a n满足条件： S（x）是幂级数0123,(1)0(2).nnaaa ， 0.nx的 和 函 数（1 ）证明： ()0;Sx（2 ）求 .x的 表 达 式（17 ） （本题满分 10 分）求函数 .的 极 值yxeyxf)3(),(18)(本题满分 10 分)设奇函数 f(x)在 上具有二阶导数，且 f(1)=1，证明：1,（I）存在 .1)(0f） ， 使 得（）存在 , .f（ ） ， 使 得 （ ）19.(本题满分 10 分)设直线
5、L 过 A（1,0,0） ，B（0,1,1）两点将 L 绕 z 轴旋转一周得到曲面 ， 与平面所围成的立体为 。0,2z（1 ） 求曲面 的方程；（2 ） 求 的形心坐标。20.（本题满分 11 分）设 ，当 a,b 为何值时，存在矩阵 C 使得 AC-CA=B,并求所有矩阵 C。01,1aABb21.（本题满分 11 分）设二次型 ，记 ，22123123123(,)()()fxaxxbx123a。123b（1 ） 证明二次型 f 对应的矩阵为 ；2T（2 ） 若 正交且均为单位向量，证明 f 在正交变换下的标准形为 。, 21y22.（本题满分 11 分）设随机变量 X 的概率密度为 令随
6、机变量21,03,()xfa其 他 2,1,xY（1 ） 求 Y 的分布函数；（2 ） 求概率 .PX23.(本题满分 11 分)设总体 X 的概率密度为 其中 为未知参数且大于零，23,0,(;)xefx其 他 为来自总体 X 的简单随机样本。12,n，（1 ） 求 的矩估计量；（2 ） 求 的最大似然估计量。2012 年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题一、选择题：第 18 小题，每小题 4 分，共 32 分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前面的字母填在答题纸指定位置上。（1 ）曲线 渐近线的条数 ( )21xy（A）0 （B）1 （C ）2 （D）3
7、（2 ）设函数 ，其中 n 为正整数，则 = ( )()()xxnxee0)y（A） （B） （C） （D）1!n1!n1(!(!n（3 ）如果函数 在（0,0 ）处连续，那么下列命题正确的是 ( )(,)fxy（A）若极限 存在，则 在（0,0）处可微0limxy(,)fxy（B）若极限 存在，则 在（0,0）处可微20(,)lixyf(,)f（C ）若 在（0,0）处可微，则极限 存在(,)f 0(,)limxyf（D）若 在（0,0）处可微，则极限 存在(,)fxy20(,)lixyf（4 ）设 （ k=1,2,3）则有 ( )20sinkxIed（A） （B ） （C） （D）1233
8、21II231II213I（5 ）设 ， ， ， ，其中 为任意常数，则下10c2c3c4c1234,c列向量组线性相关的为 ( )（A） （B ） （C） （D）123,124,134,234,（6 ）设 A 为 3 阶矩阵，P 为 3 阶可逆矩阵，且 ,若 ，102PA123(,)P则 = ( )123(,)Q1QA（A） （B ） （C） （D）002012021（7 ）设随机变量 X 与 Y 相互独立，且分别服从参数为 1 与参数为 4 的指数分布，则= ( )P（A） （B ） （C） （D）1513255（8 ）将长为 1m 的木棒随机的截成两段，则两段长度的相关系数为( )（A）
9、1 （B） （C） （D）211二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分。请将答案写在答题纸指定位置上（9 ）若函数 满足方程 及 ，则 = ()fx()2()0fxffx()2fxfe()fx（10 ） = 220d（11 ） = (2,1)(zgraxy（12 ）设 ，则 = ,0,yzxyz2yds（13 ）设 为三维单位向量， 为三阶单位矩阵，则矩阵 的秩为 ETE（14 ）设 , , 是随机文件， 与 互不相容， , , ABCAC1()2PAB()3C()PAB三、解答题：1523 小题，共 94 分。请将答案写在答题纸指定位置上。解答应写出文字说明、证明过程或演算步
10、骤（15 ） （本题满分 10 分）证明 ，21lncos1xx(1)（16 ） （本题满分 10 分）求函数 的极值2(,)xyfe（17 ） （本题满分 10 分）求幂级数 的收敛域及和函数220431nnx（18 ） （本题满分 10 分）已知曲线 ， 其中函数 具有连续导数，且 ,():cosftLy02t()ft (0),()0fft若曲线 的切线与 轴的交点到切点的距离恒为 1，求函数 的表达式，并求此曲02tx ft线 与 轴与 轴无边界的区域的面积。x（19 ） （本题满分 10 分）已知 是第一象限中从点（0,0）沿圆周 到点（2,0） ，再沿圆周 到点L2xy24xy（0,
11、2）的曲线段，计算曲线积分 3(2)LJdxyd（20 ） （本题满分 11 分）设 ，10aA10（）计算行列式 A.（）当实数 为何值时，方程组 有无穷多解，并求其通解.aAx（21 ） （本题满分 11 分）已知 ，二次型 的秩为 210Aa123(,)()TfxAx（）求实数 的值；（）求正交变换 将 化为标准形xQyf（22 ） （本题满分 11 分）设二维随机变量 、 的概率分布为XYX Y 0 1 20 140 141 0 1302 120 12（）求 PXY（）求 (,)Cov（23 ） （本题满分 11 分）设随机变量 与 相互独立分别服从正态分布 与 ，其中 是未知参数且X
12、Y2(,)N2(,)0。设Z（）求 的概率密度 2(,)fz（）设 为来自总体 的简单随机样本，求 的最大似然估计量12,nzZ2:2（）证明 为 的无偏估计量:2011 年全国硕士研究生入学统一考试数学( 一)试卷一、选择题(1-8 小题,每小题 4 分, 共 32 分,下列每小题给出的四个选项中 ,只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内.)1、 曲线 的拐点是（ ）432)()(1xxyA （1，0 ） B （2，0） C （3 ，0） D （4，0）2、设数列 单调减少，且 。 无界，则幂级数 的收敛域nalimnaniaS1 nnxa)1(1为（ ）A B C D 1
13、（ )1)2020(3、 设函数 具有二阶连续的导数，且 . 。则函数 在点)(xf (xf)f )(lnyfxz处取得极小值的一个充分条件是（ ）0,A B 0)(1)(ff 0)(1)0(ffC D 4、设 ，则 的大小关40sinlxdI40cotlnxdJ40coslnxdKKJI系是（ ）A B C D KJIIJ5、设 A 为 3 阶矩阵，把 A 的第二列加到第一列得到矩阵 B ，再交换 B 的第二行与第 3 行得到单位阵 E，记 ， ，则 A=（ ）101P012PA B C D 2122 12P6、设 是 4 阶矩阵， 为 A 的伴随矩阵。若 是 的一个基)(32* T)0,(
14、Ax础解系，则 的基础解系可为（ ）0*xAA B C D 31213214327、设 为两个分布函数，且连续函数 为相应的概率密度，则必为概)(2xF)(xff率密度的是（ ）A B C D +)(21f )(12xf )(21Fxf )(21Ff)(1xf8、设随机变量 相互独立，且 都存在，记 ，则YX, EYX, YXU,maYV,in（ ）EUVA B C D E二、填空题：9 14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定的位置上。9、曲线 的弧长为_)0(tan0xdyx10、微分方程 满足条件 的解为 _ecos 0(y11、设函数 ，则dtyxFx021i),( _|20yxF12、设 是柱面方程 与平面 的交线，从 轴正向往 轴负向看去为逆时Lzzz针方向，则曲线积分 _2dyxzdL13、若二次曲面的方程 ，经正交变换化为 ，4232 yzxa 421y则 _a14、设二维随机变量 ，则)0,(),(2NYX _)(2XYE三、解答题：15 23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15、 （本题满分 10 分） 求极限 10)ln(imxex16、 （本题满分 9 分）设函数 ，其中 具有二阶连续的偏导数，函数 可导且在 处取得极)(,ygxfzf )(xg1
