1、1,第五节 曲线的凹凸和函数作图,1.凹凸性的定义,3,若在某一区间内，函数图像总在曲线上任一点切线的上方， 则称曲线在这区间内是凹的；,直观观察,在有些教材中，凹的（曲线）又叫“上凹”，凸的又叫“下凹”。,4,2.判定定理:,证明,则,上面两式相减，得,5,3、判定函数曲线凹凸的步骤:,（1）确定函数 y = f (x)的定义域； （2）求 f ”(x),找出使 f ”(x)=0 和 f ”(x) 不存在的点xi ； （3）用xi把定义域划分成为小区间，在每个小区间上判定曲线 的凹凸。,例1.,解,由假设,因此,即,6,例2.,解,拐点：曲线由凸变凹（或由凹变凸）的分界点。,7,例3.,解,
2、8,例4.,因此，（0，0）不是这曲线的拐点。,即,解,9,例5,解,下面的点可能对应着曲线的拐点： （1） （2）,10,解,则,不妨设,由保号性定理，,11,二、曲线的渐近线,(1)、水平渐近线,(2)、垂直渐近线,12,(3)、斜渐近线,13,三、函数作图,14,（4）第四行曲线 y =f (x)，用适当凹向的带箭头的曲线，表明 函数 在相应区间的大体形态；注意，箭头方向是：箭尾在左，箭头在右；,2、关于函数形态表的说明,（1）第一行x ，由左至右按照从小到大列出小区间和它们的 分界点；,（3）第三行y”，在相应的区间判断正、负；在分界点写出相 应的导数值；,（2）第二行y，在相应的区间判断正、负；在分界点写出相 应的导数值；,15,解,例1.,4、应用举例：,16,得到函数图形上三个点:,辅助点:,17,例2.,解,18,得到曲线上的两个点:,加辅助点,19,例3,解,20,得曲线上的点:,辅助点:,+,+,0,0,极大,拐点,
