1、行程一图示解法(柳卡图)周艳丽行程问题中的图示解法、S-T 图竖轴表示路程，一般为出发后的每一时刻离出发的距离，出发时此距离为0。横轴表示时间，一般从出发开始计时，出发点处时间为0。图形中的每个点均表示在某一时刻时的位置。如下图，小明从家出发去上学，家和学校的距离为2千米。规定竖轴为离家的距离，横轴为出发的时间。其中 A点表示出发5分钟后小明在离家1千米的位置，B点表示出发10分钟后小明在 离家2千米的位置，即到达学校。可以看到 B点之后，随着时间的改变小明的位置并未发生改变，即这个阶段小明均在学校里，距离家都是2千米。籍理$（干米）-.时间15 时钟）在S-T图中，每个点的路程数值和时间数值
2、的比值即为速度。图中 OB为一条直线，由三角形相似的知识我们可以知道，此直线上的任意一点的路程与时间的比值都相等，即由。到B这个阶段速度是不变的。我们可以用 OB上任意一点的数据求出速度，如看 A点，路程为1千米，时间为 5分钟，速度为1寸=0.2千米/分钟。二、柳卡图法国数学家柳卡 施斗姆生于瑞士，因数学上的成就，于1836年当选为法国科学院院士。在十九世纪的一次国际数学会议期间，有一天，正当来自世界各国的许多著名数学家晨宴快要结束的时 候，法国数学家柳卡向在场的数学家提出困扰他很久、自认最困难”的题目：某轮船公司每天中午都有一艘轮船从哈佛开往纽约，并且每天的同一时刻也有一艘轮船从纽 约开往
3、哈佛。轮船在途中所花的时间来去都是七昼夜，而且都是匀速航行在同一条航线上。问今天 中午从哈佛开出的轮船，在开往纽约的航行过程中，将会遇到几艘同一公司的轮船从对面开 来？”此即著名的柳卡趣题”）【分析】法一：推理从哈佛开出的轮船遇到的纽约开来的轮船有两类，一类是该船出发前已从纽约发出且尚未到达哈佛的轮船，即该船出发前7天内纽约发出的轮船，除出发时纽约刚到达伦敦的一艘船外途中共遇到6艘。另一类是该船出发后从纽约发出的轮船，即该船出发后7天内纽约发出的轮船，除到达伦敦时刚发出的船外途中共遇到7艘。即从哈佛开出的轮船在到达纽约前，途中能遇上6+7=13艘从纽约开来的轮船。法二：柳卡图哈佛出发的轮船行全
4、程的时间：7天，纽约出发的轮船行全程的时间：7天。横轴：时间(单位：1天) 纵轴：路程红线：哈佛出发的船 蓝线：纽约发出的船交点：相遇点9 10 11 11 13 14S 9 10 11 12 13 14由图可知：从哈佛开出的轮船在到达纽约前，途中能遇上13艘从纽约开来的轮船.柳卡图，不用基本公式解决，用数形结合的思想，结合时间-距离图快速解题。画图步骤如下:第一步：确定两个方向行驶全程的时间，从而确定时间单位，即时间轴上最小的一格所代表的 时间。第二步：根据往返时间确定每次往返两地的时刻，画上往返两地的线段。其中交点表示同一时间出现在同一位置，即相遇”了，那么相遇的次数”，相遇的地点”均可求
5、出。若结合几何相似模型，还可以求出相遇点距离起点和终点等的实际距离。三、柳卡图应用(1)适用题目类型：多次往返相遇问题、固定点(端点等)变速问题(2)快速化柳卡图方法：先确定来和回的时间或时间份数(3)用柳卡图求路程：结合沙漏、燕尾等四、柳卡图解决多次往返相遇问题【例题】如图，甲、乙两人在相距70米的甲乙两端同时出发来回步行，甲的速度和乙的速度之比为3:4,他们相遇的地点分别用A、B、G表示，问：(1) A点到甲地的距离为 米；(2) B点到甲地的距离为 米，到乙地的距离为 米；(3) C点到乙地的距离为 米；(4) F点到G点的距离为 米(提示：F点到甲地距离减去 G点到甲地的距离)。【答案
6、】(1) 30； (2) 50, 20； (3) 60； (4) 20【分析】甲乙速度比 3:4,则二人走一个全程需时间比为4:3,设甲走1个全程的时间为4t,乙走1个全程的时间为3to横轴：时间(单位:t)纵轴：路程(单位:m)红线：甲 蓝线：乙 交点：相遇点()0 1 2 3 4 5 6 7 8 ? 10 11 B U H 15 16 17 18 19 ：0 11 2Z 24结合几何相似模型 沙漏”中相似三角形对应边成比例，如图:4 / 161.2.0)0 1 2 3 4 5 6 7 3 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2： 2J ：4可分别求出
7、：(1)A点距甲地30米(2) B点距甲地50米，距乙地20米(3)F点距甲地50米，G点距甲地30米，F点到G点的距离为50-30=20米。、S-T 图复习题一个人开车从甲地到乙地，到乙地立即返回。甲乙相距来的时候用了 60分钟，在下面的图中画出他的行程过程。15千米，他去的时候用了 40分钟，回1*时间聪聪在乙地休息了 60分钟后又返回了甲地，根据图中信息，求聪聪去时的速度和回来时候的 速度，看看他什么时候开得快。3.一个人步行从 A地到B地，再从B地返回A地。根据下图所示信息，求出他的平均速度。行程一图示解法（柳卡图）周艳丽4.一个人步行返于 AB之间。根据下图所示信息，求出他的平均速度
8、。14 / 165.龟兔从同一起点进行 200米赛跑，兔子在途中睡觉休息，直到乌龟从身边跑过一段时间后，兔米的速度子醒来再起身向前跑去。根据图中的信息可知，则兔子醒来再起身以每分钟 才能和乌龟同时到达终点.6.龟兔从同一起点起跑，快跑的兔子在途中睡觉休息，直到乌龟从身边跑过一段时间后，兔子醒 来再起身向前跑去。根据图中的信息可知，若兔子能在到达终点之前赶上乌龟，则比赛的路程至少应为米。7.甲乙两人都从 A地去往B地，甲先出发 地，问：乙在什么地方追上甲？、发车向隔问题8 . 一条电车线路的起点站和终点站分别是甲站和乙站，每隔5分钟有一辆电车从甲站发出开往乙站，全程要走15分钟.有一个人从乙站出
9、发沿电车线路骑车前往甲站.他出发的时候，恰好有一辆电车到达乙站.在路上他又遇到了10辆迎面开来的电车.到达甲站时，恰好又有一辆电车从甲站开出.问他从乙站到甲站用了多少分钟？9 . AB是公共汽车的两个车站，从A站到B站是上坡路。每天上午 8点到11点从A, B两站每隔30分同时相向发出一辆公共汽车。已知从 A站到B站单程需105分，从B站到A站单程需80 分。问：（1） 8:30、9:00从A站发车的司机分别能看到几辆从B站开来的7车？ （ 2）从A站发车的司机最少能看到几辆从B站开来的汽车？10 .每天中午有一条轮船从哈佛开往纽约，且每天同一时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛.轮船在 途中均要航
10、行七天七夜.试问：某条从哈佛开出的轮船在到达纽约前（途中）能遇上几艘从纽 约开来的轮船？11 .甲乙两站从上午6时开始每隔8分同时相向发出一辆公共汽车，汽车单程运行需45分。有名乘客乘坐6点16分从甲站开出的汽车，途中他能遇到几辆从乙站开往甲站的公共汽车？12 .一辆公共汽车12:00开始从A车站出发，往返于 AB两个公交车站之间，若从 A-B用3个小时，从B-A用4个小时。有一个行人 13:00时从B车站步行去A车站，已知他花了 8个小时 到达A车站，问，途中，他遇到几次这辆公共汽车？三、多次往返相遇问题13 .两名游泳运动员在长 30米的游泳池里来回游泳，甲的速度是每秒1米，乙的速度是每秒
11、 0.6米，他们同时从游泳池的一端出发，来回一共游了21分钟，他们一共遇上（迎面或同向）几次？14 .甲、乙二人同时从 A地出发同向而行去往 B地，甲的速度是每小时 30千米，乙的速度是每小 时20千米，甲、乙到 B地后立即返回A地.已知二人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点 20千米（两人相遇指迎面相遇），那么，A、B两地相距 干米.15 . A、B两地相距950米，甲、乙两人同时由 A地出发，在A、B两地往返锻炼。甲步行每分钟40米，乙跑步每分钟 150米，40分钟后停止运动。甲、乙两人第几次迎面相遇相距B地最近？最近距离是多少米？16 . 一条大河，水由 A港流向B港，流速4千米/时，甲
12、、乙两船同时由 A向B行驶，各自不停的在A、B之间往返航行，甲船在静水中的速度是 28千米/时，乙船在静水中的速度是 20千米/ 时，已知两船第二次迎面相遇的地点与两船第五次相遇的地点相距50千米，那么A、B两港相距 千米.17 .兔、龟在甲、乙两地之间做往返跑，兔的速度是龟的3倍，它们分别在甲、乙两地同时相对起跑，当它们在途中相遇了 12次时，龟正在跑第 个单程.（2006年小学数学 ABC 精选题）18 .甲乙二人在相距180米的直路两端同时出发来回散步，甲每秒走2米，乙每秒走2.5米。每人都走了 6.5分钟，那么在这段时间内他们共相遇了 次。19 .甲乙二人同时从 A地出发同向而行去往
13、B地，甲的速度是每小时 30千米，乙的速度是每小时20千米，二人相遇后继续行进，甲、乙到 B地后立即返回A地。已知两个人第四次相遇的地点距离第三次相遇的地点 20千米，那么A、B两地相距多少千米？2.时间1分钟）1.【解析】如图，以 20分钟为基本单位画时间轴。从出发开始离出地（甲地）越来越远，直到到达 15千米的位置（乙地），用时40分钟，这一阶段为一条向上的直线。从乙地返回时，始离出地（甲地）越来越近，直到到达 0千米的 位置（甲地），用时60分钟，这一阶段为一条向下的直 线。【解析】如图可知去时从。点到A点，路程为45千米，用时30分 钟，速度为45+30=1.5千米/分钟回时从B点到C
14、点，路程为45千米，用时140- 90=50分钟，速度为45与0=0.9千米/分钟。可知去时 开得快。3.【解析】如图可知，从 。点到C点表示这个人步行从 A地 出发到达B地的过程，此时离出发点 （A地）越来越远直到达 到80千米，此时到达 B地。CD段地点没有变化，即停留在 B地。从D到E点表示这个人步行从 B地出发到达A地的 过程，此时离出发点（A地）越来越近直到达到 0千米，此时 返回A地。总路程：80X2=160千米 总时间：160分钟 平均速 度：160+160=1千米/分钟。4.【解析】如图可知，从。到C:由A地到B地；从C至ij D：由B地到A地；从D到E：由A地到B 地；从E到
15、F:停留在B地；从F到G:由B地到A 地。总路程：90X4=360千米 总时间：360分钟 平均速度：360与60=1千米/分钟。5 .【解析】由图可知，乌龟 30分钟行程150米，速度为150+30=5米/分钟，到达终点需 200+5 = 40分钟.兔子醒来时已过了39分钟，距离终点200-150=50米.故兔子的速度为50寸40-39）=50米/分钟时才能和乌龟同时到达终点.6 .【解析】由图可知，乌龟30分钟行程150米，速度为15030=5米/分钟。兔子5分钟跑了 150米，兔子的速度时 150芍=30米/分钟。兔子睡觉的时间乌龟跑了540-30）=50米，到达终点需200+5 = 4
16、0分钟.兔子要想赶上乌龟至少需要5030-5）=2分钟，即兔子醒后至少要跑30X2=60米才能追上乌龟。比赛路程至少为 150+60=210米。7 .【解析】法一：画行程图iij BTK也?-Itjl知乙追上甲之前与追上甲之后，乙所多走的路程均为甲一小时的路程，即路程差相等。则乙追上甲之前和之后所行时间相等，可知乙在全程中点处追上甲。法二：S-T图8 .【解析】法一：推理骑车人一共看到12辆车，他出发时看到的是 15分钟前发的车，此时第 4辆车正从甲发 出。骑车过程中，甲站发出第 4到第12辆车，共9辆，有8个5分钟的间隔，所以骑车从乙 站到甲站的时间是 5 X8=40分钟法二：柳卡图汽车行全
17、程的时间为 15分钟，每5分钟发一辆车。横轴：时间（单位：5分钟），纵轴：路程，黑线：车，红线：人 交点：相遇点n 14 q 4 葭 k 7 a a in n n it n i =骑车人一共看到12辆车，他从乙站出发时看到的是 15分钟前发的车，此时第 4辆车正从 甲发出。到达甲站时看到的是第 12辆车。由图可知，这个人用了 8个间隔，即5X8=40分钟的 时间，从甲站到达了乙站。9 .【解析】法一：推理(1)从A站发车的司机看到的车辆包括两类，一类是该司机发车前已从B站出发且尚未到达A站的所有车辆，即该司机发车前80分钟内B站发出的车辆。第二类是该司机发车后到达B站这段时间内从 B站发出的所
18、有车辆，即该司机发车后105分钟内从B站发出的车辆.两个车站都是每个半小时同时发一辆车，即只有该司机发车前60分、发车前30分、发车当时、发车后30分、发车后60分、发车后90分，能看见B站开出的车，最多 6辆。8:30出发的司机在其发车前 60分钟B站没有发车，发车前 30分、发车当时、发车后 30 分、发车后60分、发车后90分，均能看见B站开出的车，共 5辆。9:00出发的司机在其发车前 60分钟、发车前30分、发车当时、发车后 30分、发车后60 分、发车后90分，均能看见B站开出的车，共6辆。(2) 11点从A发车的司机只能看到在其发车前60分钟、发车前30分、发车当时从 B站开出的
19、3辆车.该司机看到的车辆最少。法二：柳卡图A站出发的汽车行全程的时间：105分钟，B站出发的汽车行全程的时间：80分钟。横轴：时间(单位：30分钟)纵轴：路程 红线：A站发除的车 蓝线：B站发出的车 交点:相遇点由图可知:(1) 8:30从A站发车的司机能看到8:00到10:00从B站发出的5辆车。9:00从B站发车的司机能看到 8： 00到10： 30从B站发出的6辆车.(2) 11:00从A发车的司机看到从 B站发出的车最少，只有从 10:00到11:00发出的3辆 车.10 .【解析】法一：推理从哈佛开出的轮船遇到的纽约开来的轮船有两类，一类是该船出发前已从纽约发出且尚未到达哈佛的轮船，
20、即该船出发前7天内纽约发出的轮船，除出发时纽约刚到达伦敦的一艘船外途中共遇到6艘。另一类是该船出发后从纽约发出的轮船，即该船出发后7天内纽约发出的轮船，除到达伦敦时刚发出的船外途中共遇到7艘。即从哈佛开出的轮船在到达纽约前，途中能遇上6+7=13艘从纽约开来的轮船。法二：柳卡图哈佛出发的轮船行全程的时间：7天，纽约出发的轮船行全程的时间：7天。横轴：时间(单位：1天)纵轴：路程；红线：哈佛出发的船；蓝线：纽约发出的船；交点：相遇点由图可知：从哈佛开出的轮船在到达纽约前，途中能遇上13艘从纽约开来的轮船.11 .【解析】法一：推理从甲站出发的车遇到的乙站的车有两类，一类是该发车前已从乙站出发且尚
21、未到达甲站的 所有车辆，即该车发车前 45分钟内乙站发出的车辆。第二类是该车发车后到达乙站这段时间 内从乙站发出的车，即该司机发车后45分钟内从乙站发出的车辆.6:16甲站发出的车在其发车前45分钟内乙站在6:00、6:08发出两辆车。7:01分到达乙站，在其发车当时、发车后 8分、发车后16分、发车后24分，发车后32分，发车后40分, 均能看见乙站开出的车。即途中他能遇到2+6=8辆从乙站开出的共公共汽车。法二：柳卡图甲站出发的汽车行全程的时间：45分钟，乙站出发的汽车行全程的时间：45分钟。横轴：时间（单位：8分钟）纵轴：路程 红线：甲站出发的车 蓝线：乙站出发的车交点：相遇点6:00
22、&08 杷L6 6:24 6:32 6:40646 7:047:20 7:285:08 6:16 6:24 6:32 巨孤 6 48 6:56 7:04 Fl二 7:20 7:28由图可知：6:16甲站发出的车途中遇到 8辆从乙站开出的共公共汽车。12 .【解析】法一：推理人晚上21:00到达，车从12:00到21:00行驶了共9小时。车先由 A至ij B,人车相遇一次。接着，车由B到A,车先到达A,人车相遇第二次。最后车由A到B的方向上行驶了两个小时，人车相遇第三次。法二：柳卡图公共汽车行全程的时间：3天，人全程的时间：8天。横轴：时间（单位：1小时） 纵轴：路程红线：车蓝线：人交点：相遇点
23、12:00 13:M 1*00 11:00 14:00 17:00 18:00 11:0012:00 13,00 14riX) 15:00 16:00 17:00 18:00 1 耽DO 20:00 21:00 12:00由图可知：行人遇到 3次公共汽车13.【解析】柳卡图甲游全程用时:甲往返全程需同时回起点一次。21分钟=1260秒。即二人的遇上情况以300秒为1个周期。下面画出出发起300秒内的柳卡图。横轴：时间（单位：10秒） 纵轴：路程 红线：甲蓝线：乙 交点：相遇点（迎面或同向）30+1=30秒，乙游全程用时：30刃.6=50秒30X2=60秒，乙往返全程需 50X2=100秒，二人
24、每隔60, 100=300秒重新1260 + 300=460由图可知：300秒内二人遇上 8次，60秒内二人相遇一次 所以 二人21分钟内一共遇上 8x4+1=33次。14.【解析】法一：多次相遇画行程图可知，每次相遇二人路程和均为两个全程。甲乙速度比30:20=3:2,设第一次相遇时甲的路程为6份，乙的路程为 4份，则全程为（6+4）=5份。则每次相遇乙走的路程都是4份。第二次相遇，乙的路程是 4X2=8份，相遇点在Do可知，DF=20千米，则一份：20妥=10千米，全程10X5=50千米。法二：柳卡图甲乙速度比30:20=3:2 ,甲行全程的时间是 2t,乙行全程的时间是 3to横轴：时间
25、（单位:t） 纵轴：路程红线：甲蓝线：乙反向交点：迎面相遇点由图可知，若 AB的距离为1,则第一次相遇点 C和A地的距离为-,第二次相遇点 D 52 一.42一一和A地的距离为-o两次相遇点的距离为 20km,可知AB的距离为20- -j= 50km行程一图示解法(柳卡图)周艳丽15.【解析】法一：多次相遇每次相遇二人路程和均为两个全程。每次相遇用时:_ , t 分钟950M2+(40 +150)=10 为计两人运动了 40分钟，即相遇40+10=4次。第一次相遇，甲的路程：40x10 =400米，距B地：950-400=550米第二次相遇，甲的路程：40 M20 =800米，距B地：950-
26、800=150米第三次相遇，甲的路程：40 M30 =1200米，距B地：1200-950=350米第四次相遇，甲的路程：40M40 =1600米，距B地：1600-950=650米可知甲乙第二次相遇距 B地最近，最近距离是 150米。法二：柳卡图1甲行全程的时间是 950+40 =23.75分钟，乙行全程的时间是 950150 =6-分钟。3横轴：时间(单位：2分钟) 纵轴：路程红线：甲蓝线：乙 反向交点：迎面相遇点0 3。 9 11 IS 18cHi 21 27 30G5339 42由图可知，第二次相遇和第三次相遇距离B地更近一些。16 / 16 _ 一 _ _ 11_11其中用DE 和4GFE 相似，CE =23.753 父6鼻二4.75 , EG = 54=16份，16+10=16,相遇点在F。可知，DF=20千米，则一份：20妥=10千米，全程10X5=50千米。法二：柳卡图甲乙速度比30:20=3:2,甲行全程的时间是 2t,乙行全程的时间是 3to横轴：时间（单位:t）纵轴：路程红线：甲蓝线：乙反向交点：迎面相遇点由图可知，第三次相遇点C和B地的距离占全程的 3 ,第四次相遇点 D和B地的距离占51 3 1全程的。两次相遇点的距离为 20km,可知AB的距离为20 =50km。55 518 / 16
