2-4三角测量.doc.doc

1、241A CBcba()(F)()K24 三 角 測 量(甲 )測 量 的 基 礎 概 念 與 名 詞(1) 基 本 測 量 知 識(a)手 拿 著 細 繩 的 一 端 ， 懸 錘 於 另 一 端 ， 即 得 一 鉛 直 線 ， 垂 直 於 鉛 直 線 的 線 ， 稱之 為 水 平 線 。(b)觀 測 目 的 物 時 ， 設 想 過 目 的 物 有 一 鉛 直 線 。 從 觀 察 者 之 目 作 直 線垂 直 於 鉛 直 線 ， 乃 得 一 水 平 線 。(c)從 觀 察 者 之 目 至 目 的 物 ， 作 一 射 線 (即 表 視 線 )。 設 視 線 與 水 平 線 所 成 的角 為 ，

2、若 為 仰 視 (視 線 在 水 平 線 之 上 )， 則 稱 為 仰 角 ； 若 為 俯 視 (視 線 在 水 平線 之 下 )則 稱 為 俯 角 。(2)名 詞 解 釋 ： 鉛 直 線 ： 通 過 地 球 球 心 的 直 線 。 水 平 線 ： 垂 直 鉛 直 線 的 直 線 。 測 物 線 ： 眼 睛 與 觀 測 物 所 成 之 直 線 。 仰 角 ： 測 物 線 與 水 平 線 之 夾 角 ， 此 時 觀 測 物 在 水 平 線 之 上 方 。 俯 角 ： 測 物 線 與 水 平 線 之 夾 角 ， 此 時 觀 測 物 在 水 平 線 之 下 方 。(3)用 量 角 器 作 粗 略 測

3、 量量 角 器 可 作 為 粗 略 測 量 仰 角 及 俯 角 的 工 具 ， 其 方 法 為 在 中 心 處 挖 一 個 小 孔 並 繫上 一 細 繩 ， 在 繩 子 的 另 一 端 繫 上 一 個 重 物 。 測 量 時 ， 將 量 角 器 0這 一 端 靠 近 眼睛 ， 另 一 端 對 準 目 標 物 觀 測 點 。 俯 視 目 標 物 時 ， 若 細 繩 所 示 的 角 度 為 ， 則 俯角 為 (90)。 仰 視 物 體 時 ， 若 細 繩 所 示 的 角 度 為 ， 可 知 仰 角 為 (90)。(3)解 題 原 則 ：(a)一 遇 直 角 三 角 形 ， 最 大 要 訣 以 三

4、角 函 數 值 表 示 幾 何 量對 邊 (a)=斜 邊 (c)對 角 的 正 弦 值 (sinA)=鄰 邊 (b)對 角 的 正 切 值 (tanA)鄰 邊 (b)=斜 邊 (c)對 角 的 餘 弦 值 (cosA)=對 邊 (a)對 角 的 餘 切 值 (cotA)俯 角 仰 角 242(b)若 為 任 意 三 角 形已 知 一 邊 二 角 (角 比 邊 多 )用 正 弦 定 理已 知 二 邊 一 角 (邊 比 角 多 )用 餘 弦 定 理(c)立 體 測 量 ： 處 理 立 體 測 量 的 問 題 時 ， 通 常 將 要 求 出 的 量 (塔 高 、 山 高 、 距 離 .)與 題 目

5、所 給 的 條 件 (方 位 、 距 離 、 仰 角 、 俯 角 )， 通 通 轉 化 成 一 個三 角 形 的 邊 長 或 內 角 ， 然 後 就 可 將 立 體 的 問 題 化 成 平 面 三 角 形 的問 題 ， 此 時 正 餘 弦 等 在 三 角 形 上 解 決 邊 角 問 題 的 技 巧 就 可 以 派 上用 場 。例題 1 設有一湖，欲測湖岸兩點 長，CD但湖岸築有鐵絲網不能靠近，在鐵絲網外取 A，B 兩點間距離為 30 公尺，分別自 A，B 可看到其餘三點 C，D ，B 或 C，D，A ，因而測得如圖，CAB 120，DBA135，DAB30，CBA=45，則 長為_公尺。Ans

6、：30( + )6 2例題 2 如圖，A，B 兩點分別位於一河口的兩岸邊。某人在通往 A 點的筆直公路上，距離 A 點 50 公尺的 C 點與距離 A 點 200 公尺的 D 點，分別測得ACB60，ADB30，則 A 與 B 的距離為_公尺。 Ans：50 公尺724326 1 5 A B P Q 3 4 (練 習 1) 如 圖 所 示 ， 設 =30， 1=60， 2=45，AB3=30， 4=60， 求 。PQAns： 15 6(練 習 2) 如 下 圖 ， 地 面 上 兩 點 B， C 被 一 池 塘 隔 開 ，在 地 面 上 找 一 點 A， 量 得 80 公 尺 ，AB 50 公

7、尺 ， 並 測 得 CAB 60，AC則 =_公 尺 。 Ans： 70BC(練 習 3) 如 下 圖 所 示 ， 某 人 欲 測 A 和 B 兩 點 的 距 離 ，得 到 資 料 如 下 ： =2 公 里 ， CAB 60，AC CBA 45， 則 =_公 里 。ABAns： +1 公 里 。3(練 習 4) 海 岸 上 有 A， B 兩 座 燈 塔 ， B 在 A 之 正 北 2 公 里 處 ， 一 船 見 A 在 北60。 西 ， B 在 北 45。 西 ， 若 此 船 依 北 30。 東 方 向 行 20 分 鐘 後 ， 見 B 在正 西 ， 求 船 速 。 Ans： 6( 1)公 里

8、 小 時例題 3 自塔之東一點 A，測得塔頂之仰角為 45；在塔之南 60東一點 B，測得塔頂之仰角為 30。設 A、B 兩點相距 1000 公尺，則塔高為 公尺。Ans：1000 公尺例題 4 從相距 100 公尺的 A、B 兩點，測量氣球 C 之高度，設氣球正下方為 D 點，在 A 點測得氣球仰角為 30， BAD=75，在 B 點測得 ABD=60，試求氣球的高度為 公尺。 Ans：50 2ABA B C D 244例題 5 設一颱風中心為 O，下午 3 時被測出在 A 地南 60西，距 A 地 100 公里的海上，正朝東以每小時 公里速度侵襲，且其暴風半徑為 公里。假定這50310颱風

9、半徑及行進方向與速度均不變，試預測何時 A 地會進入暴風圈，何時可望脫離？Ans ：下午 5 時進入暴風圈，下午 7 時脫離例題 6 一直線上三點 C、D、E 測得山頂之仰角分別為 30、45 、60 (但 C、D 、E三點與山頂之垂足不共線)，若 =600 公尺， =400 公尺，則山高為多少CD DE公尺？ Ans：200 15(練 習 5) 一 塔 高 25 公 尺 ， 某 人 由 塔 頂 A 測 得 海 面 上 二 點 B,C 俯 角 分 別 為 30及 ， 若 sin = ， 且 BAC=120， 則 B,C 二 點 之 距 離 為 公 尺 。56A B C E D 245圖(2)A

10、 B 甲 (練 習 6) 某 人 在 燈 塔 的 頂 端 A 測 得 一 船 在 正 西 方 C 點 ， 俯 角 為 45。 ， 5 分 鐘B後 再 測 得 該 船 在 西 30。 南 的 D 點 ， 其 俯 角 為 60。 ， 已 知 200 公 尺 ，AB求 船 的 時 速 。 Ans： 800 公 尺 小 時(練 習 7) 從 一 直 線 上 之 三 點 A,B,C 測 得 一 山 之 仰 角 各 為 30， 45， 60， 已 知A,B,C 與 山 腳 不 共 線 ， =300 公 尺 ， =200 公 尺 ， 求 山 高 。AB BCAns： 100 公 尺15(練 習 8) 一 人

11、 立 於 山 頂 俯 視 地 上 一 石 得 其 俯 角 為 45，若 向 左 轉 30， 再 俯 視 地 面 一 石 得 其 俯 角 為 30，令 兩 石 之 距 離 為 d， 則 山 高 為(A) d (B) (C) (D) 2d(E) 3d Ans： (A)(練 習 9) 設 有 甲 、 乙 兩 山 ， 一 人 從 平 地 A 點 爬 上 乙 山 ， 想 藉 此 求 得 甲 山 高 度 ，如 圖 所 示 ： 設 M,N 分 別 為 甲 、 乙 兩 山 的 山 頂 ， 此 人 從 A 沿 直 線 斜 坡爬 上 乙 山 ， =800 公 尺 ， 若 MAN=15， 的 傾 斜 角 為 30，

12、 此NA人 爬 到 N 後 ， 又 測 得 對 M 之 仰 角 為 60， ANM=120， 試 求 甲 山 的 山高 。 Ans： 200(5 )公 尺3綜 合 練 習(1) 氣象局測出在 20 小時期間，颱風中心的位置由恆春東南方 400 公里直線移動到恆春南 15西的 200 公里處，試求颱風移動的平均速度。 (整數以下，四捨五入) (89 學科 )(2) 在坐標平面的 x 軸上有 A(2,0),B(4,0)兩觀測站，同時觀察在 x 軸上方的一目標 C 點，測得 BAC 及 ABC 之值後，通知在 D( ,8)的砲台此兩個角的正切52值分別為 及 。那麼砲台 D 至目標 C 的距離為 。

13、 (90 學科)89 83(3) 如下圖所示，有一船位於甲港口的東方 27 公里北方 8 公里 A 處，直朝位於港口的東方 2 公里北方 3 公里 B 處的航標駛去，到達航標後即修正航向以便直線駛入港口。試問船在航標處的航向修正應該向左轉多少度？(整數以下，四捨五入) (89 學科)A NM246圖(1)(4) 小山頂有一砲台，台頂上有高為 60 尺之瞭望塔，今在平地上一點，側得山頂、台頂、塔頂之仰角依次為 45，60 ，75 ，則山高為 尺，砲台高為 尺。 sin15= 426(5) A,B,C 三地兩兩相距 14 公里。甲從 A 地出發走向 B 地，在同一時間乙從 B地出發走向 C 地，已

14、知甲速為乙速的 2 倍，試求甲、乙兩人間的最短距離。(6) 淡水河岸 A，B 兩點距離為 400 公尺， 為新光三越大樓，D 為樓頂，C 為C基底。若BAC105 。 ，由 A 測得 D 的仰角為 14。 ，又ABC45 。 ，求高度。(但 sin14。 ，cos14 。 ，tan14 。 )D8125441(7) 如圖(1)，自停泊中一船測兩燈塔均在北 15東之 方 向 ，此 船 向 北 西 方 向 前 進 5 浬 後 再 看 燈 塔 ，則一在正東，另一在北東，則兩塔距離為(A)155 3(B) 156 (C) 154 (D) 152 (E) 15 浬333(8) 某人在岸邊小土墩上 A 點

15、看一漁船在海岸附近慢行，已知土墩高出水面 20 公尺，當他第一眼看到漁船在 C 點時，俯角 30，過 5 分鐘後，船行至 D 點，再測得俯角為 45，且DAC=45 ，則船速為何？ (9) 從平地上三點 A,B,C 測得某山頂之仰角均為 15，設BAC=30 ，BC=250 公尺，求山高。(註：cot15 =2+ ) 3(10) 自地面上共線的相異三點 A，B，C 測得一山頂的仰角分別為30。 ，45 。 ，60 。 。若點 B 介 A，C 之間且 200 公尺， 100 公尺，並BBC且山腳與三點 A，B ，C 不共線，試求山高。(11) 某甲觀測一飛行中之熱氣球，發現其方向一直維持在正前方

16、，而仰角則以等速遞減。已知此氣球的高度維持不變，則氣球正以(A)等速飛行 (B)加速向某甲飛來 (C) 減速向某甲飛來 (D) 加速離某甲飛去 (E)減速離某甲飛去。(12) 一直線上三點 A、B、C，測一山之仰角各為 30、45 、60 (但 A、B、C 三點與山頂之垂足不共線 )，若 = =800 公尺ABBC，求山高。 (13) 某人測得一山峰之仰角為 ，當他向山峰前進距離 a 後，再測得山峰之仰角增大為 ，則山峰的高度為 ，證明之。） （ sina綜 合 練 習 解 答247(1)17 公 里 /時(2)13(3)45 度(4)30， 30( )31(5) 21(6)100 2(7)(

17、A)(8) 公 尺 /分4(9)250(2 )公 尺 (Hint： A,B,C 三 點 共 圓 Why？ )3(10)300 公 尺(11)(D)(詳 解 )： 如 上 圖 ， 令 熱 氣 球 由 A 沿 水 平 線 飛 至 B 與 由 B 飛 至 C 所 需 時間 均 為 t 秒 ， 又 因 為 仰 角 以 等 速 遞 減 故 AOB BOC 故 由 幾 何 性 質 得知 ： 因 為 ， 所 以 。 再 令 V1 及 V2 分 別 表 熱 氣 球BCAO由 A 至 B 及 由 B 至 C 的 速 度 ， 則 V1 ， V2 因 為 ， 顯 然ttA可 得 V2 V1 故 熱 氣 球 加 速 離 某 甲 飛 去 ， 故 應 選 (D)(12)400 6(13)如 右 下 圖 ， CAB=， 由 正 弦 定 理可 得 =sin ， 而 高 h= sinACasin() AC所 以 高 = 。） （ a h AB C D