1、绝密启用前2019 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题卷(银川一中第二次模拟考试)注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，满分 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1如果复数 1ai (a R , i 为虚数单位 ) 的实部与虚部相等，则a 的值为2iA1B -1C 3D -32若 A0,1,2 , Bx | x 2a , aA ，则 A U BA 0,1,2B. 0,1,2 ，3C. 0,1,
2、2 ，4D. 1,2，43. 向量 a(2, t),b( 1,3) ，若 a,b 的夹角为钝角，则t 的范围是A t 2C t 2 且 t -6D tx1的概率 . 参考数据： (0.7257) 0.6, (0.6554) 0.4)19 (12 分 )如图， PA矩形ABCD所在平面， PA=AD， M、 N 分别是 AB、PC的中点 .（ 1）求证： MN 平面 PCD;（ 2）若直线 PB与平面 PCD所成角的正弦值为10 ,10求二面角N-MD-C的正弦值 .20 (12 分 )PNDCAMB动点 M(x,y) 满足 ( x 2 2 )2y2( x 2 2 )2y26(1) 求动点 M轨
3、迹 C 的标准方程；(2) 已知 D( 22 ,0), 直线 l ： ykx22k ，直线 l 交 C 于 A,B 两点， 设 AD =DB且 1 2，求 k 的取值范围 . 21 (12 分 )已知函数 f ( x)ln x1g( x) x ln x1ax2a ， ( a R ) .x，22(1) 讨论函数 f (x) 的单调性；(2) 若函数 g( x) 有两个极值点，试判断函数g( x) 的零点个数 .( 二 ) 选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 两题中任选一题做答，如果多做则按所做的第一题记分。22 选修 4 4：坐标系与参数方程(10 分 )以直角坐标系原点 O 为极点，
4、 x 轴正方向为极轴建立极坐标系，已知曲线 C1 的方程为( x1)2y21， C2 的方程为 xy 3 ， C3 是一条经过原点且斜率大于零的直线.（ 1）求 C1 与 C2 的极坐标方程；（ 2 ）若 C1 与 C3 的一个公共点为A （异于点 O ）， C2 与 C3的一个公共点为B ，求OA3的取值范围 .OB23 选修 4-5 ：不等式选讲 (10 分 )（ 1）已知 a ,b ,c R , 且a b c1, 证明 1 1 19；abc（ 2）已知 a ,b ,cR , 且 abc1, 证明111abcb.ac银川一中 2019 届高三第二次模拟数学( 理科 ) 参考答案一、选择题：
5、( 每小题 5分，共60 分 )题号123456789101112答案DCCACBBDCBCD二、填空题： ( 每小题 5分，共20 分 )13. 4014.515.2n116.92三、解答题：17：解：（ 1）an12 ， a1 41an3an 131(an3) ，故 an3 是首项为1，公比为1 的等比数列，33（ 2）由（ 1）知nn 101n 11-1=3n+ 3nan 31n111=3n+31（）1-3故 T=3n+331231-3318. 解：19. 解：如图，取 PD 中点 E，连接 EN,AE.(1) 证明： Q M,N,E 为中点，ENPAM, EN=AM= 1 AB,2AM
6、NE是平行四边形，MNPAE又Q CDAD,CDPACD面 PAD,面 P CD面 PADQ PA=AD,E 为中点， AE面 P CDMN面 PCD,（ 2）建立如图所示坐标系，设PA=AD=2， AB=2t,则A(0,0,0),B(2t,0,0),C(2t,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),M(t,0,0),N(t,1,1).由（ 1）知 MN面 PCD,uuuruuuur(0,1,1)PB (2t,0,2), MNQ 直线 PB与平面 PCD所成角的正弦值为10 ,yPNEDCxAMB10uuuruuuur10PB ?MN得 t=2.由 uuuruuuur10PB MNuru
7、r设 m(x, y, z), m平面 NMD，则uuuuruuuur(0,1,1)DM(2,2,0), MNuuuurur0ururDM ?m(1,1,由 uuuurur0得 m1), m3,MN ?muuurQ AP面 CMD, AP(0,0,2) , 设二面角 N-MD-C为，为锐角则uuur ur3cosAPmuuurur3,AP msin6.320. 解（ 1）解 :M 点的轨迹是以 ( 22 ,0),(-22 ,0)为焦点，长轴长为6 的椭圆，其标准方程为x2y 2192解：设 A(x 1 ,y1 ),B(x 2 ,y2 ) ，由 AD =DB 得 y 1 =y 2.由 10 恒成立
8、由根与系数的关系得y1+y2=42k .19k 2y 1 y 2 =k 2.19k2由得 y142k，y242k代入 整理得(1)(1(1 )(19k2 )9k 2 )19k23232(1) 212设 f()=12, 则利用导数可以证明f() 在（ 1,2）上为增函数故得10 f()64 即 k 的取值范围是k7 或 k721 解：（ 1）：由题意可知函数 f ( x) 的定义域为 (0,ln x) ， f ( x)2，当 x( 0,1)时： f (x)0 ，所以 f (x) 单调递增；x当 x(1,) 时： f (x)0 ，所以 f ( x) 单调递减；（ 2）：由题意得： g ( x)ln
9、 x1 ax 0 有两个不同的零点， 即 ln x 1a 有两个不同x的根设为 x1x2 ；由 (1)得 f ( x)ln x 1 ，当 x(0,1) 时 f ( x) 单调递增；当 x (1,) 时 f (x) 单调递减；x有 f ( 1 ) eln x11x1增，现只需比较0 ， f (1)1 当 x (1,) 时 f ( x) 0 ，所以 a(0, 1) 时有 0x11x2 使ln x21g( x)(0，x1 ), ( x2， )(x1, x2 )aa且函数在单调递减，在单调递，x2g(x1 )g( x2 )，的正负进而确定零点个数。g ( x1 ) x1 ln x11 ax12aaln
10、 x1 1g( x2 ) x2 ln x21 ax22a有22且x1；22且aln x21x2令： h(t)1 t ln t1 t22所以函数 h(t ) 在 (0,x21时 g (x2 ) h(x2 )又x0 时 g( x)a2ln t1ln t (t2）12th (t )20则2t) 上单调增，所以 0 x11时 g( x1 ) h( x1 ) h(1) 0h(1)00 x时 g(x)，所以函数有三个零点。，22. 解：（ 1）曲线 C1 的方程为 ( x 1)2y21， C1 的极坐标方程为2 cosC2 的方程为 x y3 ，其极坐标方程为3cos sin（ 2） C3 是一条过原点且
11、斜率为正值的直线，C3 的极坐标方程为，0，2联立 C1 与 C3 的极坐标方程2 cos，得2 cos，即 OA2 cos联立 C1 与 C 2 的极坐标方程333cossin，得，即 OBsincossincos所以 OA32 coscossin2 cosOB4又0，所以 OA3( 1,1 )2OB23.证明： （ 1）因为 111ab cababcabbc1acabaabb11ccbabcac，当 abc时等号成立abcbc39a（ 2）因为 111 11 111111a b c 2 a b a c b c2cabcc111222abacbc又因为 abc1,111111所以 abc， acb ， bcaabccba当 abc 时等号成立，即原不等式成立
