1、Thursday, October 14, 2021,微积分导数,微积分主要与四类问题的处理相关:,一、已知物体运动的路程作为时间 的函数,求物体在任意时刻的 速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。,导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大 （小）值等问题最一般、最有效的工具。,微积分创始人 莱布尼茨,微积分创始人 莱布尼茨,Thursday, October 14, 2021,变 化 率 问 题,变化率是研究什么问题？,研究某个变量相对于另一个变量变化,的快慢程度,问题1 气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹
2、气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?,（1）气球体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是,（2）如果将半径r表示为体积V的函数,那么：,我们来分析一下:,当V从0增加到1时,气球半径增加了 气球的平均膨胀率为,当V从1增加到2时,气球半径增加了 气球的平均膨胀率为,显然0.620.16,思考?,当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?,问题2 高台跳水,在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10.,问题2
3、高台跳水,请计算,如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?,探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知， ，所以：,虽然运动员在 这段时间里的平均速度为 ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态,平均变化率定义:,上述中的变化率： 的表示，,称 为函数f(x)从x1到x2 的平均变化率,平均变化率定义:,若设x=x2-x1, y=f(x2)-f(x1) 则平均变化率为,这里x看作是对于x1的一个“增量”可用x1+x代替x2 同样f=y=f(x2)-f(x1),直线AB的斜率,A,B,例1 求 在x=x0 附近的平均 变化率,思考： 如何求函数的平均变化率，步骤如何？,总结：,1. 函数的平均变化率,2.求函数的平均变化率的步骤: (1)求函数的增量：y=f(x2)-f(x1); (2)计算平均变化率：,变式： 函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及 临近一点B(-1+x,-2+y),则y/x=( ) A 3 B 3x-(x)2 C 3-(x)2 D 3-x,答案：D,例2：,过曲线f(x)=x3上两点P（1，1）和 Q (1+x,1+y)作曲线的割线。 求：（1）y/x （2）当x=0.1时割线的斜率.,答案：A,
