1、八个有趣模型一一搞定空间几何体的外接球与内切球类型一、墙角模型(三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径)图1图2图3方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式图4222(2R)2 a2 b2c2,即 2R J a2 b2 c2 ,求出 R例1 (1)已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为A. 16 B . 20 C . 244,体积为16,则这个球的表面积是(D . 32(2)若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为3 ,则其外接球的表面积是解：(1) V a2h 16, a 2, 4R2 a2 a2 h24 4 16 24, S 24 ，选 C； 4R2 3 3 3 9, S4 R2 9(
2、3)在正三棱锥SABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且 AMMN,若侧棱SA 2J3,则正三棱锥S ABC外接球的表面积是。 36解：引理：正三棱锥的对棱互垂直 。证明如下：如图(3) -1 ,取AB,BC的中点D,E ,连接AE,CD ,AE,CD交于H ,连接SH ,则H是底面正三角形ABC的中心， SH 平面ABC , SH AB ,AC BC , AD BD ,CD AB, AB 平面 SCD,AB SC,同理：BC SA, AC SB,即正三棱锥的对棱互垂直,本题图如图(3)-2, AM MN , SB/MN ,AM SB, AC SB, SB 平面 SAC,SB SA, SB
3、 SC, SB SA, BC SA,SA 平面 SBC,SA SC,故三棱锥S ABC的三棱条侧棱两两互相垂直，(2R)2 (2.3)2 (2.3)2(2.3)236 ,即 4R2 36 ,正三棱锥S ABC外接球的表面积是36(3)题-25球的表面积为（D ） A.11B.7（5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为10 C.36、4、40 D. 33,那么它的外接球的表面积是（6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为 何体外接球的体积为1的等腰直角三角形和边长为 1的正方形，则该几解析:(4)在 ABC 中，BC2 AC22AB 2ABBC cos120 7BC,7ABC
4、的外接球直径为2rsinBCBAC2(2R)24一 22)2 SA2)240万（5）三条侧棱两两生直,设三条侧棱长分别为a,b,c ( a,b,cR ),则ab12bcabc24, a 3c 2, (2R)22.2a b29, S 4 R2 29 ,ac(6) (2R)b2,32V 4 R33类型二、垂面模型1.题设：如图5 解题步骤：（一条直线垂直于一个平面）PA平面ABC第一步：将 ABC画在小圆面上， A为小圆直径的一个端点，作小圆的直 径AD，连接PD ,则PD必过球心O ;第二步：O1为ABC的外心，所以OO1平面ABC,算出小圆Q的半径ODr （三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理
5、，得asin Absin B- 2r), OO1 IpA； sinC2第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：(2R)2 PA2 (2r)2 2R P PA2 (2r)2 ； R2r2 OO12R ,r2 OO122.题设：如图6, 7, 8, P的射影是 ABC的外心 三棱锥P ABC的三条侧棱相等 三棱锥P ABC的底面 ABC在圆锥的底上，顶点 P点也是圆锥的顶点P图8-3解题步骤:第一步：确定球心 O的位置，取ABC的外心Oi,则P,O,Oi三点共线;第二步：先算出小圆 O1的半径AO1 r ,再算出棱锥的高 PO1 h （也是圆锥的高）第三步：勾股定理：OA2 O1A2 O1O2R
6、2 （h R）2 r2 ,解出R方法二：小圆直径参与构造大圆。例2 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为（）CA. 3 B. 2C. 16D ,以上都不对3解：选 C, ( 3 R)2 1 R2, 3 2 3R R2 1 R2, 4 2.3R 0,23,S4 R2163类型三、切瓜模型（两个平面互相垂直）图9-1图9-2P图9-3图9-43#1.题设：如图9-1 ,平面PAC 平面ABC，且AB BC （即AC为小圆的直径）第一步：易知球心 。必是 PAC的外心，即 PAC的外接圆是大圆，先求出小圆的直径AC 2r ;第二步：在 PAC中，可根据正弦定理 一c 2R,求出R
7、sin A sin B sin C2 .如图9-2 ,平面PACOC2 O1C2 O1O23 .如图9-3 ,平面PAC平面ABC ,且ABR2 r2 O1O2平面ABC ,且ABBC （即AC为小圆的直径）AC 2R2O1O2BC （即AC为小圆的直径），且P的射影是ABC的外心 三棱锥P ABC的三条侧棱相等三棱P ABC的底面 ABC在圆锥的底上，顶点 P点也是圆锥的顶点 解题步骤: 第一步：确定球心 O的位置，取 ABC的外心O1,则P,O,O1三点共线;第二步：先算出小圆 O1的半径AO1 r ,再算出棱锥的高 PO1 h （也是圆锥的高）；第三步：勾股定理： OA2 O1A2 O1
8、O2R2 （h R）2 r2 ,解出R4.如图9-3 ,平面PAC 平面ABC，且AB BC （即AC为小圆的直径），且PA AC ,则利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：（2R）2 PA2 （2r）22R VPA2 （2r）2 ； R2 r2 OOi2R 、r2 OQ2例3 （1）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为1,底面边长为2J3,则该球的表面积为 （2）正四棱锥S ABCD的底面边长和各侧棱长都为 J2 ,各顶点都在同一个球面上，则此球的体积为解：（1）由正弦定理或找球心都可得 2R 7, S 4 R2 49 ,4（2）万法一：找球心的位置，易知r 1 , h 1, h r ,
9、故球心在正万形的中心 ABCD处，R 1, V 一3方法二：大圆是轴截面所的外接圆，即大圆是SAC的外接圆，此处特殊， Rt SAC的斜边是球半径，42R 2, R 1 , V (2)直三棱柱 ABC A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB AC AA 2 , BAC 120 ,则此(3)在三麴t P ABC 中，PA PB PCj3,侧棱PA与底面ABC所成的角为60 ,则该三棱锥外接球的体积为（A.B.C. 4D.解：选D,圆锥A, B,C在以r3八J的圆上,2（4）已知三棱锥S ABC的所有顶点都在球径，且SC 2 ,则此棱锥的体积为（O的求面上,AABC是边长为1的正三角形，SC为
10、球。的直B.D.解：OO1 ,R2 r21（；）232.633 sh1招2 6工类型四、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）10-3,直三棱柱内接于球图 10-2 ,图题设：如图10-1 , 是任意三角形）（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以第一步：确定球心O的位置，O1是 ABC的外心，则OOi平面ABC ;第二步：算出小圆1。1 的半径 AO1 r , OO1-AAi21h2(AAlh也是圆柱的高）；9r2 g)2 ,解出 R第三步：勾股定理:_ 2 _ 22 _ 2hOA O1A O1OR (-)2例4 （1） 一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶
11、点都在同一个球面上， 9且该六棱柱的体积为 -，底面周长为3,则这个球的体积为 81解：设正六边形边长为 a ,正六棱柱的高为 h,底面外接圆的关径为 r ,则a ,23123.33.39- c 2.321、2.底面积为 S 6 （一） , V柱 Sh h 一， h v3 , R （） （） 1 ,4288822R 1,球的体积为V球的表面积等于解：BC 2 3 , 2r 234, r 2, R 5 s 20sin120(3)已知 EAB所在的平面与矩形 ABCD所在的平面互相垂直，EA EB 3, AD 2, AEB 60 ,则多面体E ABCD的外接球的表面积为。 16DR 1 3 2 ；
12、法二：01M.302D.132R2汴 4, R 2, S 16(4)在直三棱柱ABCABQ 中,AB4,AC6,A9AAi4则直三棱柱ABC A1B1cl的外接球的表面积为160解析:BC2 163628BC 2 72r2,7,324 . 7hr2. 7石，R228403160S -3解析：折叠型，法一：EAB的外接圆半径为r1 J3, OO1 1,类型五、折叠模型题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠 (如图11)图11第一步：先画出如图所示的图形，将BCD画在小圆上，找出 BCD和 ABD的外心H1和H2;第二步：过Hi和H 2分别作平面BCD和平面ABD的垂线，两垂线的交点
13、即为球心 O,连接OE,OC ；222第二步：解 OEHi,算出OHi,在Rt OCHi中，勾股定理： OH1 CHi oc例5三棱锥P ABC中，平面PAC 平面ABC , PAC和 ABC均为边长为2的正三角形，则三棱 锥P ABC外接球的半径为.解析:2ri2r2sin 60，02HR2 02H2法二：02H21,3O1H,3AHOAHPR2AO2AH2 01H2O1O2,15类型六、对棱相等模型（补形为长方体）题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等， 第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱;求外接球半径(AB CD , AD BC , AC BD )第二步：设出长
14、方体的长宽高分别为a,b,c,ADBC x, ABCDy, AC BD z ,列方程组,b2b222(2R) ab2补充:VaBCDabc1abc61 .4 abc3 222第三步：根据墙角模型，2R . a2 b2 c2 . x丫zR2222x y z,求出R,8例如,正四面体的外接球半径可用此法O例6 （1）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形 （正四面体的截面）的面积是（2） 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是1的球面上，其中底面的三个顶点A. 3-4-3 C3,34. 312解：（1）截面为PCOi
15、 ,面积是2 ；高h R1 ,底面外接圆的半径为2R2,设底面边长为a ,则2Ra 2sin 60,3一 a423 34AxDycyzxbABBPO2图12题（1）题解答图C1.3三棱锥的体积为V 1Sh 341529设长宽高分别为a,b,c,则a2 b2 9,.22,22b c 4, c a 16_222_ _2222(ab c )94 1629, 2(abc )9 4 1629,b2294R22929(4)如图所示三棱锥 A BCD ,其中AB CD 5, AC BD6,ADBC 7,则该三棱锥外接球的表面积为.解析：同上，设补形为长方体,三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为a,b,
16、c,2(a2 b2 c2) 25 36 49 110, a2 b2 c2 55,【55 ;对称几何体；放到长方体中】(5)正四面体的各条棱长都为贬,则该正面体外接球的体积为解析：这是特殊情况，但也是对棱相等的模式，放入长方体中，r吏 43 2型23824R2 55, S 55类型七、两直角三角形拼接在一起(斜边相同，也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥)模型P题设： APB ACB 90 ,OP,OC ,则 OA OB OCCO图13求三棱锥PABC外接球半径(分析：取公共的斜边的中点O,连接-1OP - AB 2。为三棱锥P ABC外接球球心，然后在 OCP中求出(3)在三棱锥 A BCD中，
17、AB CD 2,AD BC 3,AC BD 4,则三棱锥 A BCD外接球的表面积为 解析：如图12,设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长,半径)，当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球半径都为定值。例7 (1)在矩形ABCD中，AB 4, 则四面体ABCD的外接球的体积为(BC3,沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角 B AC D ,A.建12125解：(1) 2R AC 5(2)在矩形ABCD中,的外接球的表面积为9R 52AB 2BCR3)1256 41251253383,沿BD将矩形125,选C6ABCD折叠，连接AC,所得三棱锥A BCD解析
18、：(2) BD的中点是球心O, 2R BD 43 , S 4 R2 13 ;类型八、锥体的内切球问题1.题设：如图14,三棱锥P ABC上正三棱锥，求其外接球的半径。第一步：先现出内切球的截面图，E,H分别是两个三角形的外心；1 一 _第二步：求DH BD, PO PH r, PD是侧面 ABP的高； 3第三步：由 POE相似于 PDH ,建立等式： 店 PO,解出rDH PD2.题设：如图15,四棱锥ABC上正四棱锥，求其外接球的半径第一步:先现出内切球的截面图,P,O,H三点共线;第二步:1 人求 FH BC PO2，PH rPF是侧面PCD的高;第三步:由 POG相似于 PFH ,建立等
19、式：OGHFPO，解出PF图153.题设：三棱锥 P ABC是任意三棱锥，求其的内切球半径方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等 第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；第二步：设内切球的半径为 r ,建立等式VP ABCVO ABCVOPABPACVO PBCVP ABC1sS ABC311_ SPAB r. SPAC33一(S ABC3S PABSPACS PBC ) r第三步:解出3VP ABCSo abcSo pabSo pacSo pbc习题：1 .若三棱锥A. 3解：【A (2R)2ABC的三条侧棱两两垂直， 且SA 2：B. 6C. 36D.94
20、16 16 6, R 3SB SC4,则该三棱锥的外接球半径为（【三棱锥有一侧棱垂直于底面，且底面是直角三角形】【共两种】2.三棱锥S ABC中，侧棱SA 平面ABC ,底面ABC是边长为 J3的正三角形,棱锥的外接球体积等于3231,3-2_2_4解析：2r 2, (2R)4 12 16, R4, R2,外接球体积一sin 6033283【外心法（加中垂线）找球心；正弦定理求球小圆半径】3 .正三棱锥S ABC中，底面ABC是边长为 J3的正三角形，侧棱长为2 ,则该三棱锥的外接球体积等2解析： ABC外接圆的半径为 ，三棱锥S ABC的直径为2R sin 604 2工 ,外接球半径 R 了
21、,或 R2 (R J3)2 1, R外接球体积 V 4 R3 4 _L 32亘，. 3333、327BC ,则三棱锥4.三棱锥P ABC中，平面PAC 平面ABC, PAC边长为2的正三角形， ABP ABC外接球的半径为解析： PAC的外接圆是大圆，2Rsin 605.三棱锥P ABC中，平面PAC平面AC.3,2 ,PA PC 3, ABBC ,则三棱锥ABC外接球的半径为解析:cos_2 2_2 _ _PA PC AC9 9P 2PA PC2 sin7 2(9)16 24、. 2,sin P 8192R4 .296.三棱锥P9、2ABC中，平面PAC 平面ABCPAPC, AB BC ,则三棱锥P ABC外接球的半径为 解：AC是公共的斜边， AC的中点是球心。，球半径为R 1
