1、随机变量X的概率分布, 那么X的全部概率特征O第四章随机变量的数字特征p(x)在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了 一也就知道了.但在实际问题中，概率分布一般是较难确定的.而且在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道 它的某些数字特征就够了.评定一批灯泡的质量，主要应看这批灯泡的平均寿命和灯 泡寿命相对于平均寿命的偏差，平均寿命越长,灯泡的质量就越好,灯泡寿命相对于平均寿命的偏差越小,灯泡的质量就越稳定因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征是重要的.在这些数字特征中，最常用的是抽象自平均值的期望和抽象自与平 均值的偏差程度的方差.我们先介绍随机
2、变量的数学期望.4随机变量的数学期望随机变量的数学期望是概率论中最重要的概念之一.它的定义来自习惯上的平均值概念.我们从离散型随机变量的数学期望开始.、离散型随机变量的数学期望1、概念的引入:成绩1234555/30251082/30 5/30 10/30 8/30如右表所示，则该班的平均成绩 W =(1x2 + 2x5 + 3x10 + 4x8 + 5x5)例1甲班有30名学生，他们 人数 的数学考试成绩(按五级记分)频率定义l（P.98定义4.1）设离散型随机变量X的分布列是P（Xf）=Q, i=l,2,00如果X i I Pi收敛,则称fXkPk为X的数学期望（期望）或均值,1=1oo
3、k=l88E(X,Y)=YYxi-yj-pij,记为即八k=li=l j=l离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛级数的和它是随机变量所有取值的以概率为权的加权平均例2从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗,设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,试求途中遇到红灯次数的数学期望.解设X为遇到的红灯数，则X的分布列为P(X=A) = C1(针层产(A = 0,l,2,3), 叫 0123EX= Ox_7_i_i *54 36 3义 8 _ 6125 1 125 2 125 3 125 5 其概率为2/5,Pk 7/125 54/125 36/125 8/125二、连续型随机变量的数学期望设X是连
4、续型随机变量，其密度为了(X),在数轴上任取很密的分 点X!X2X3 ,则X落在小区间xk,4内的概率是k+AXkf(x)dx f(xk )Axk.由于人与Xk+Nk很接近,所以区间4,xk+/ck)中的值可以用xk来近似代替./(x)I小面积近似为 / f(Xk)Axk yXPkf (x2)Ax2 f (xk) Xk 的积分和式它的数学期望是普;因此X弋 取值4、概率为/(“女的离散型随机变量,这启发我们引进如下连续型随机变量的数学期望定义： 定义2(P.100定义4.2)设X是连续型随机变量，其密度函数为了(X),若加收敛，则称X =:x/(xRx为X的数学期望,一。J00-qQ 4 -x
5、yf(xy)dxdy连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分简称期望或均值.(x,y)=例4（p00例5）设随机变量X密财）= 试证E （X）不存在._1_0X+00 , 柯西分布CO!解 Ljx（x）x= LGOIxl oo%（1+炉）%不绝对收敛7T（1 + X2）=-ln（l+x2）+80=耳蛔加（1+一）*. （X）不存在.若X(4),则EX =1/2 ，这意味着,若从该地区抽查很多个成年男子,分别测量,这些身高平均值的近似是1.68.己学过的重要分布的数学期望：由期望的定义不难算得 若%3 (%p)，则 EX = np. 若又尸(刀，则EX=A.若XU(a,)，贝!I若XN(JL
6、I, (T2),则 EX = JLI.例 已知某地区成年男子身高XN (1.68, a2),EX = 11.68三、随机变量函数的数学期望 设已知随机变量X的分布如何计算X的某个函数g(X)的期望?一种方法是：g(X)也是随机变量，它的分布可以由已知的X的分布求出来. 一旦知道了即的分布，就可以按照期望定义把计算出来.比较复杂是否可以不先求g(X)的分布而只根据X的分布求得 g(x)呢?F面的定理指出答案是肯定的.类似的推理，可建立如下的定理:定理i(p.ioi to. 1)设随机变量y是随机变量x的连续函数y=g(x),(1)以x为离散型随机变量其允也列为,k=l如果*g(xi)1 Pi 收
7、敛，则 EY = Eg(X) = sg(Xk)Pk ； l-lk=(2)设X是连续型随机变量,其密度函数为/(X),如果Llg(x)l/aMx收敛，贝生y=Eg(x)=芳/面耳X离散型002以左)Pa，EY=Eg(X) = l HX 连续型J-oo由此公式求g(X)时，甚至不必知道g(X)的分布，直接利用X的分布就可以了.这给求随机变量函数的期望带来很大方便.推广 设随机变量Z是随机变量的连续函数y招(X,y),y)离散型OO OO加XZg(招，如外oOCO则 EZ = g(X,y) = 1-LLg(*，4/(x，y)驷“(“，y)连续型将g(x)特殊化，可得到多心他的数1特征卜蠢怒下二腑E(
8、Xk) 一 %阶原点距，卜氏警E(Xk)上阶绝对原点距，EX-E(X)lk左阶中心距，E(lX-EXlk)左阶绝对中心距,例5设随机变量X的分布列为求(2X 1), E(X2).X-1012Pk0.10.20.40.3解 E(2X1) =2x(1) lx0l+ (2x0-l)x0.2+ (2xl-l)x0.4+ (2x3-l)x0.3 =1.4;EX2 =(-l)2x0.1 +02x0.2 + l2x0.4 + 22x0.3 =1.9.例6设二维随机变量(x,y)的联合密度函数为f(x,y) =2-x-y, 0x2? 0j X/独立若X1W,则 ex1ex2；6 . EX V ER对值性质/对
9、值的f分 扇奉7 .若EX2, 丫2都存在,则(xy)存在,且E(XV) 220 ,. A = 4(jy)2 4X2.Ey2 0= E(XY)YEX2 EY2五、期望及其性质的应用例&P.105例12）对某一目标连续射击,直到命中次为止.设每次命中率 为P,求消耗子弹数X的数学期望.解 设乂表示从第次命中后至第i次命中时所消耗的子弹数， 则x=x1+x2+.+x,且&的分布列为尸（乂 =幻=（1加1-1双=才（）1。正号心川，.EX = EXi = t i=l这种将X分解为有限多个随机变量之和,再利用期望性质求得X的期望的方法是较常见的基本方法.P.120请自读举例例7某种商品每周的需求量XU
10、10, 30,而商场每销售一单位商品可获利500元，若供大于求，则削价处理，每单位 商品亏损100元；若供不应求,则可从外部调剂供应,此时每单位商 品可获利300元.要使商场获得最大的收益，问应进货多少？解 设应进货量为。（1至30间的某一整数），利润为匕则、4, 10 X 30,/、y(x)= j zuY=g(X) =0, 其他，4一连续:.EY=Eg(X) =；：+ g)4x 500a+300(X-a), aX30, l500X-100(a-X), 10cf300X+200”，a X 30, 1600X-100a, 10Xq,p+q=l.为了补偿 乙的不利地位,另行规定两人下的赌注不相等,
11、甲为生乙为仇ab.EX = EY现在的问题是：a究竟应比b大多少,才能做到公正?解 设甲赢的钱数为X,乙赢的钱数为匕 依题意EX =b p+Ca)q EY = a q+ (-b)p .= bp_ q -为对双方公正，应有 bp_(iq=aq_bp, = a期望与风险并存数学家可以从期望值来观察风险，分析风例如，一个体户有资金一笔，想经营西瓜,险，以便作出正确的决策来规避风险.风险大但利润高（成功的概率为0.7,获利2000元）,如经营工艺品,风险小但获利少（95%会赚,但利润为1000元）.该如何决策?于是计算期望值:若经营西瓜的期望值 昂=0.7 X2000 = 1400元,而经营工艺品的期
12、望值 & = 0.95X1000 = 950元.所以权衡下来情愿“搏一记”去经营西瓜，因它的期望值高.小结我们介绍了随机变量的数学期望，它反映了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征.EX=jXkPk， X 离散型 k=lX=二 x/(x)dx, X 连续型岂g(Xk)pX离散型EY = Eg(X) = IrgMf(x)dx, x连续型七条性质：保线性运算独立性与积保序性绝对值性质柯西一许瓦兹不等式田(XF)2X2y24.2随机变量的方差与标准差我们已经介绍了随机变量的数学期望,它体现的是随机变量取值的平均水平,是随机变量的一个重要数字特征. 但很多场合，仅仅知道平均值是不够的
13、.成绩12345人数251085上节的例1甲班有30名学生， 他们的数学考试成绩（按五级 记分）如右表所示，成绩12345人数001460则该班的平均成绩可=3.3乙班有20名学生，他们 的数学考试成绩如右表所示，你认为两个班的成绩一样吗?为此需要引进另一个数字特征,用它来度量随机变量取值在其中心附近的离散程度.这个数字特征就是我们要介绍的一、方差的定义定义 设X是一个随机变量，若e(x-ex)2DYf A两人技术水平相当,但乙的技术比甲稳定.计算方苦的一个简化公式 DX = EX2-(EX)2DX = E(X-EX)2= E_X2-2XEX + (EX)2 T= EX2-2(EX)2+ (E
14、X)2- = EX2-(EX)2常见分布的方差：若X5(,p),则 DX = np (lp).若*P(4),贝| DX=A.若XU (,5)，则。X =.若X(丸)，则DX = 1/22若XN(4，/),则 ux = b2.展开 上利用期望性质若X的取值比较集中则方差较小例2 （p.109例3）设随机变量X服从几何分布,概率函数为求和与求导交换次无穷递缩等比级数求和公式记夕=1-p EX= Nkpq k=lp(x=k) =pQ-p)k-1 左=1,2,其中 ovpvl, 求OX.1 =pAqk) =p(qk)，=p(Fy =，EXJ=$；k 2pqkl =pk(k-l)qkl +YJkqkx
15、k 2=k(k -1+1) k=lk=lk=l=)+(*) =qp(2-P1 =组+上= p p2 p pk=lqp +(1-夕尸：.DX = EX2-（EX）2 =上乌一占=上？/?2 p2 p2例3 （P.108例2） y连续型随机变量的例子 请自读二、切比雪夫不等式定理（P-124）设随机变量X有期望和方差，贝估计尸鱼川2JP（IXXlN）W器， 或尸（IXXI0,（.X）2 1P（ IX 一.2 =1% /公I.卢公息四尸一加尸）公工普由切比雪夫不等式可看出：OX越小,则事件|x-X|ve的概率越大，即随机变量X集中在期望附近的可能性越大.由此可体会方差的概率意义：它刻划了随机变量取值
16、的离散程度X取值偏离EX超过3CT的概率切比雪夫不等式尸(IX-EXI*)察在未知分布的情形下估计P(IX-EX3cr) 犹 x 0.111Vo zcr = l/41一小于0.111.1=1/2U0L = l/8可见，对任给的分布，只要 期望和方差存在，则随机变量例4（P.124例1）已知某厂的周产量是均值为50的随机变量,若已知周产量的方差为25,则一周产量在40 60之间的概率至少有多大?解 设X为周产量，尸(40X60) o P(IX 50110). P(IX-501l-1 = 1.则一周产量在40 60之间的概率至少有3/4 .例5在每次试验中，事件A发生的概率为0.75,利用切比雪夫
17、 不等式求：多大时,才能使得在次独立重复试验中,事件A出现 的频率在0.74 0.76之间的概率至少为0.90?解 设X为次试验中事件A出现的次数，贝!I X5 (% 0.75), EX = 0.75 n, DX = 0.75 X 0.25 n = 0.1875 n, 所求为满足尸(0.740.90的最小的.P(0774令 v0.76) =P(-0.01 vX-0.75 v0.01 )=P(IX-EXP(0.74fl-?=_ 01875一 - 0.0001 2依题意取1-之0.9,解得n 59 = 18750即取18750时,可以使得在n次独立重套试验中,事件A出现的 频率在0.74 0.76
18、之间的概率至少为0.90 .三、方差的性质定理(P.10也二j常值的方差为0(1)若C是常数，则0(。)= 0厂施立时。(x+y)=? 一(2)若C是常数，则D(CX) =。岁邑系:和要求独立性I 若x 与y 独立,贝。(X y )=dx+dy ；可推广为：若Xi*,园相互独立，则DlCiXi=ic?DXi证。(xy) = z)x+zy 2后(xex) (yT) ex=c“=：若。X=0,由切比雪夫不等式：对任意的 N1,V = = P(X-EX)0) = 0, = P(XEX) = 1.“U”：若存在常数c,使得P(x=c)=l =EX = C P(x=x) = DX = E(X-EX)2
19、= E(C-C)2 =0.1下面举例说明方差性质的应用-0| C例0 设随机变量的期望和方差都存在，且ox o令丫 =X-EX证明：y=o, oy=i .标准化随机变量-U的数字特征JP(X-EX) DX 1-DX DXDXD (X-EX) = DX +D(EX) - 2E (X-X) (EX-E(EX) II=0 =DX称X为X的标准化随机变量.万无量纲薇）-f=EX-EX1 =0, 4dx测量时,常以多次重复测量所得值的平均值作为该指标的真值例7设为工,国相互独立，EX =%DX尸d (i=l,取多次测量均值的理论依据若被测物的真值为, 在对误差要求较高的精密测量中 次重复测量可认为是互不影响的，且每次测量的结果X,都在真值/的附近波动(1)表明n次测量的算术平均值仍在真值/附近取值,(2)则表明更加接近真值外 且越大,接近程度就越好.在一定的精度的概率要求下,如何确定试验的重复次数n ?在下章中给出回答.
