1、线性代数期末复习提纲第一部分：基本要求（计算方面）1 四阶行列式的计算；2 N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）；3 矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）4 求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程；5 含参数的线性方程组解的情况的讨论；6 齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）；7 讨论一个向量能否用和向量组线性表示；8 讨论或证明向量组的相关性；9 求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示；10 将无关组正交化、单位化；11 求方阵的特征值和特征向量；12 讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵；13 通过正交相似变换（
2、正交矩阵）将对称矩阵对角化；14 写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵；15 判定二次型或对称矩阵的正定性。第二部分：基本知识一、行列式1行列式的定义用个元素组成的记号称为 n 阶行列式。（ 1）它表示所有可能的取自不同行不同列的（ 2）展开式共有 n! 项，其中符号正负各半；n 个元素乘积的代数和；2行列式的计算1 一阶行列式，二、三阶行列式有对角线法则；2 N阶（ n3）行列式的计算：降阶法定理： n 阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。3 特特情况（ 1）
3、 上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；（ 2）行列式值为 0 的几种情况：行列式某行（列）元素全为0；行列式某行（列）的对应元素相同；行列式某行（列）的元素对应成比例；奇数阶的反对称行列式。二矩阵1矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵如单位矩阵、对角、对称矩阵等）；2矩阵的运算（ 1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果；（ 2）关于乘法的几个结论：矩阵乘法一般不满足交换律（若AB BA，称 A、B 是可交换矩阵） ；矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在； 若 A、B 为同阶方阵， 则3矩阵的秩（ 1）定义非零子式的最大阶数称为矩阵的秩；（ 2）秩的求法一般不用定义求
4、，而用下面结论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0 的矩阵称为行阶梯阵） 。求秩：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。4逆矩阵；（ 1）定义： A、 B 为 n 阶方阵，若 AB BA I ，称 A 可逆， B 是 A 的逆矩阵（满足半边也成立）；（ 2）性质：，；（ 3）可逆的条件：；r(A)=n;（ 4）逆的求解伴随矩阵法；初等变换法5用逆矩阵求解矩阵方程：，则；，则；，则三、线性方程组1线性方程组解的判定定理：特别地：对齐次线性方程组，；再特别，若为方阵，2齐次线性方程组（ 1）解的情况：r(A)=n ，（或系数行列
5、式）只有零解；r(A)n ，（或系数行列式D 0）有无穷多组非零解。（ 2）解的结构：。（ 3）求解的方法和步骤：将增广矩阵通过行初等变换化为最简阶梯阵；写出对应同解方程组；移项，利用自由未知数表示所有未知数；表示出基础解系；写出通解。3非齐次线性方程组（ 1）解的情况：利用判定定理。（ 2）解的结构：。（ 3）无穷多组解的求解方法和步骤：与齐次线性方程组相同。（ 4）唯一解的解法：有克莱姆法则、逆矩阵法、消元法（初等变换法）。四、向量组1 N 维向量的定义注：向量实际上就是特殊的矩阵（行矩阵和列矩阵）。2向量的运算：（ 1）加减、数乘运算（与矩阵运算相同）；（ 2）向量内积；（ 3）向量长度
6、（ 4）向量单位化；（ 5）向量组的正交化（施密特方法）设线性无关，则，。3线性组合（ 1）定义若，则称是向量组或称可以用向量组的一个线性表示。（ 2）判别方法将向量组合成矩阵，记A () ， B=(,)的一个线性组合，若r (A)=r (B)，则可以用向量组的一个线性表示；若r (A)r (B)，则不可以用向量组的一个线性表示。（ 3）求线性表示表达式的方法：将矩阵 B施行行初等变换化为最简阶梯阵，则最后一列元素就是表示的系数。4向量组的线性相关性（ 1）线性相关与线性无关的定义设，若不全为 0，称线性相关；若全为 0，称线性无关。（ 2）判别方法：r(r()n ，线性相关；)=n ，线性无
7、关。若有 n 个 n 维向量，可用行列式判别： 0，线性相关（0 无关）5极大无关组与向量组的秩（ 1）定义极大无关组所含向量个数称为向量组的秩（ 2）求法设 A () ，将 A 化为阶梯阵，则的第一个非零元所在列的向量就构成了极大无关组。五、矩阵的特征值和特征向量1定义对方阵 A，若存在非零向量X 和数使AXX，则称是矩阵 A 的特征值， 向量 X 称为矩阵A 的秩即为向量组的秩，而每行A 的对应于特征值的特征向量。2特征值和特征向量的求解：求出特征方程的根即为特征值，将特征值(I-A)X 0 中求出方程组的所有非零解即为特征向量。代入对应齐次线性方程组3重要结论：（ 1） A 可逆的充要条
8、件是A 的特征值不等于0；（ 2） A 与 A 的转置矩阵有有相同的特征值；（ 3）不同特征值对应的特征向量线性无关。六、矩阵的相似1定义对同阶方阵A、 B，若存在可逆矩阵P，使，则称 A 与 B 相似。2求 A 与对角矩阵相似的方法与步骤（求P 和）： 求出所有特征值； 求出所有特征向量； 若所得线性无关特征向量个数与矩阵阶数相同，则A 可对角化（否则不能对角化），将这 n 个线性无关特征向量组成矩阵即为相似变换的矩阵P，依次将对应特征值构成对角阵即为。3求通过正交变换Q与实对称矩阵A 相似的对角阵：方法与步骤和一般矩阵相同，只是第三歩要将所得特征向量正交化且单位化。七、二次型1定义n 元二次多项式称为二次型，若，则称为二交型的标准型。2二次型标准化：配方法和正交变换法。 正交变换法步骤与上面对角化完全相同， 这是由于对正交矩阵 Q，即正交变换既是相似变换又是合同变换。3二次型或对称矩阵的正定性：（ 1）定义（略） ；（ 2）正定的充要条件： A 为正定的充要条件是 A 的所有特征值都大于 0； A 为正定的充要条件是A 的所有顺序主子式都大于0；
