1、等差数列【知识梳理】1 .等差数列的定义如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差第用字母d表示.2 .等差中项如果三个数a, A, b成等差数列，那么 A叫做a与b的等差中项.这三个数满足的关系式 曰 a a+ b 是 A=.3 .等差数列的通项公式已知等差数列an的首项为ai,公差为d递推公式通项公式an_ an二1 = d(n 2)an= aj+ (n 1)d(nC N*)【常考题型】题型一、等差数列的判定与证明【例1】判断下列数列是否为等差数列.(1)在数列an中 an=3n+2;(2)在数列an中 an=n2
2、 + n.解(1)an + i an=3(n+1) + 2(3n+2)=3(n玳*).由n的任意性知，这个数列为等差数列.(2)an+1 an=(n+1)2+(n+1)(n2+n)=2n+2,不是常数，所以这个数列不是等差数列.【类题通法】定义法是判定(或证明)数列an是等差数列的基本方法，其步骤为：(1)作差 an+1 an；(2)对差式进行变形；(3)当an+1 an是一个与n无关的常数时，数列an是等差数列；当an+1 -an不是常数，是 与n有关的代数式时，数列an不是等差数列.【对点训练】1 .已知等差数列an的首项为a1,公差为d,数列bn中，bn=3an + 4,问：数列bn是否
3、为等差数列？并说明理由.解：数列bn是等差数列.理由：数列an是首项为ai,公差为d的等差数列， an+i an = d(nN ). bn+1 bn = (3an +1 + 4) (3an+ 4) = 3(an+1 an)= 3d.，根据等差数列的定义，数列bn是等差数列.题型二、等差数列的通项公式【例2】(1)在等差数列an中，已知a5=10, ai2 = 31,求通项公式an. 57(2)已知数列 an为等差数列a3=4，a7= 4,求ai5的值.解(1)冶5=10, ai2=31,ai +4d=10,a1 = - 2,则？a1+11d=31, d= 3. an= 2+ (n 1)x 3
4、= 3n 5 ,通项公式 an=3n- 5.(nCN*)5 a3=.(2)法一：由7a7= - 4，5 a1+ 2d = 4, 得a1 + 6d = 一 二. 4解得 a1 = T-, d = -3. 44 a15= a1+ (15 1)d11331=7 +14*(-4)=；法二：由 a7=a3+ (7- 3)d,7 53即一7= 4+4d,解得 d=-3.5. . 331- ai5= a3 + (153)d = 4+ 12X( 4)= .【类题通法】1 .应用等差数列的通项公式求ai和d,运用了方程的思想.一般地，可由 am= a, an = b,ai + m 1 d = a,得求出a1和d
5、,从而确定通项公式.a1 + n 1 d= b,2 .若已知等差数列中的任意两项am, an,求通项公式或其他项时，则运用am=an + (m n)d则较为简捷.【对点训练】3 . (1)求等差数列8,5,2,的第20项;(2) 401是不是等差数列5, 9, 13,的项？如果是，是第几项？解：(1)由 a1=8, d=5-8=- 3, n=20,得 a20=8+(20- 1)X(-3)=- 49.(2)由 a1=5, d=- 9-(-5) = - 4,得这个数列的通项公式为an= - 5 4(n 1) = 4n 1,由题意知，401 = 4n 1.得n= 100,即一401是这个数列的第10
6、0项.题型三、等差中项【例3】 已知等差数列an,满足a2 + a3 + a4 = 18, a2a3a4= 66.求数列an的通项公式.解在等差数列an中，- a2 + a3 + a4 = 18,3a3=18, a3= 6.a2+ a4= 12a2= 11a2= 1,解得或a4= 1a4= 11.a2= 11当时，a = 16, d = - 5.a4= 1an= a1+ (n 1)d=16+ (n 1) ( 5)=-5n+21.a2= 1当时，a1 = 4, d= 5.a4= 11an= a1+ (n 1)d= 4+ (n 1) 5= 5n 9.【类题通法】_ a+ c二数a, b, c成等差
7、数列的条件是 b= -2一(或2b= a+c),可用来进行等差数列的判定或有关等差中项的计算问题.如若证an为等差数列，可证 2an+1=an+an+2(nC N*).【对点训练】4 . (1)已知数列8, a,2, b, c是等差数列，则 a, b, c的值分别为 , .(2)已知数列an满足 an 1+an+1=2an(n2),且 a2=5, a5=13,则 a8=.解析：(1)因为8, a,2, b, c是等差数列，8+2=2a,a=5,所以 a+b=2X2,b=- 1,2+ c= 2b.c= 一 4.(2)由an-1+an+1 = 2an (n-2)知,数列an是等差数列，a2, a5
8、, a8成等差数列.a+ a8= 2a5, .a8= 2a5 a2= 2X 13-5=21.答案：(1)5 -1-4 (2)21【练习反馈】1 .已知等差数列an的首项a1 = 2,公差d=3,则数列an的通项公式为()A. an= 3n 1B. an=2n+1C. an=2n+3D. an=3n+2解析：选 Aa=ai+(n1)d = 2+ (n1) 3=3n 1.2.等差数列的前3项依次是x-1, x+1,2x+ 3,则其通项公式为()A. an=2n 5B.an = 2n3C. an=2n1D. an=2n+ 1解析：选B X- 1, x+1,2x+3是等差数列的前 3项，2(x+1)
9、= x 1 + 2x+ 3,解得 x=0. a1 = x1 = 1, a2= 1, a3= 3,. d = 2, .an = 1 + 2(n 1) = 2n 3.3 .等差数列的第3项是7,第11项是一1,则它的第7项是.解析：设首项为a1，公差为d,由 a3= 7, a11 = 1 得，a1+ 2d = 7, a1+ 10d = 1,所以 a1 = 9, d= - 1,则 a7 = 3.答案：34 .已知：1, x, y,10构成等差数列，则 x, y的值分别为 .解析：由已知，x是1和y的等差中项，即2x=1 + y，y是x和10的等差中项，即 2y=x+ 10，由，可解得x= 4, y= 7.答案：4,75 .在等差数列an中，(1)已知 a5=- 1, a8=2,求 a1 与 d;(2)已知 a1+a6=12, a4=7,求 a9.a1 + 5-1 d= - 1,解：(1)由题意，知a1+ 81 d=2.a1 = 5, 解得ai+ai+ 6- 1 d=12,ai=1,(2)由题意，知解得ai+ 4- 1 d=7.d = 2. an=1+2(n- 1)=2n1. ag=2X9- 1=17. d= 1.
