1、第一讲图形的变化规律在这一讲内容中，我们主要向同学们介绍如何观察图形的变化规律。观察图形的变化， 可以从图形的形状、 位置、方向、颜色、数量、大小等方面入手，从中找出规律。例 1. 顺序观察给出图形的变化， 按照这种变化规律，在空格中填上应有的图形。分析与解：本题目所给出的八个图，其形状都是箭。所以可以肯定空格处的图形也是箭；在方向上，每行图从左至右都顺时针旋转90变为下一个图形的方向。依照这样的规律，第三行第三个图中的箭头应朝上；图形的数量变化反映在箭尾处，在同一行中，每旋转 90，箭尾上的“羽毛”将减少一对，依照这个规律，空格中的箭，其尾部的“羽毛”没有了，成了光秃秃的一支箭。例 2 依照
2、下面图 3 中所给图形的变化规律，在空格中填图。分析与解：我们按花盆、花茎、花叶、花朵四部分逐步观察。 花盆花盆的形状每一行都是由三种形状组成。练习与作业1. 先观察下图中前三个图形是怎样变化的，再画出第四个图形。2. 观察下图中前三个图形的变化规律，再画出第四个图形_。3. 观察下图中每一个图形的变化规律，然后在空白处画出图形。4. 在图下中，按变化规律填图：5. 观察下图中前三个图形的变化规律，然后画出第四个图形。第二讲数字的变化规律（一）要学好数学， 必须善于观察， 勤于思考，不会观察的人就不会思考。对于一些“数”或“形” ，怎样从观察入手进行思考，迅速、准确地找出它们的特点或规律呢？问
3、题：观察分析下面各列数的变化规律，并填上合适的数。（ 1）7，11，15，19，（ ），；（ 2）1，4，3，6，5，（ ），（ ），；（ 3）1，4，9，16，（ ），；分析观察分析一列数的变化规律，找出带有规律的东西。在（1）中，11-7=15-11=19-15= =4即在这一列数中，从第二个数起，每个数与它前一个数的差都等于 4根据这一规律，可以确定括号里应填 23。在（2）中，第一、三、五、位置上的数满足 3-1=5-3= =2，第二、四、六、位置上的数满足 6-4=8-6= =2根据这一规律，可以确定括号里的数应该填 7、10。在（3）中，第一个数 1=11=12，第二个数 4=22
4、=22，第三个数 9=33=32，第四个数 16=44=42，。根据这一规律，可以确定括号里应该填 52=25。练习与作业1. 根据前八个数的排列规律，填出横线上所缺的数（1）1，2，3，4，5，_。（2）2，4，6，8，10，_。（3）3，5，7，9，11，_。2. 找出下列数的变化规律后填空。（ 1）10，13，16.19 ，_，25。（ 2）30，25，20，15，_，5。3. 分析下面两列数的变化规律，然后填空。（1）4，6，10，16，24，_。（ 2）1，4，9，16，_，_。 4. 观察下列数的变化规律后填空。（ l ）2，4，8，16，_，64。（ 2）1，4，16，64，_，
5、1024。5. 仔细分析下列数之间的规律，然后填空。（1）2，3，5，9，17，_。（2）5，6，8，12，_，36。6. 找出规律后填空。27，22，18，15，_，12。第三讲数字的变化规律（二）问题：找规律填空。（ 1）11，3，8，3，5，3，（ ），（ ）；（ 2）15，6，13，7，11，8，（ ），（ ）；（ 3）2，5，14，41，（ ）；（ 4）1，1，2，3，5，8，13，21，（ ）。分析在（ 1）中，第一个数减去第三个数的差是 3，第三个数减去第五个数的差也是 3，而第二、四、六个数都是 3。根据这一规律，可以确定括号里应该填 2、3。在（ 2）中，第一个数减去 2 的
6、差是第三个数，第三个数减去 2 的差是第五个数；第二个数加上 1 的和是第四个数，第四个数加上 1的和是第六个数。根据这一规律，可以确定括号里应该填9、9。在（3）中，23-1=5，53-1=14，143-1=41。也就是说，前一个数的 3 倍与 1 的差等于相邻的后面的数。 根据这一规律。 可以确定括号里应该填 122（即 122=413-1 ）。在（ 4）中， 1+1=2，1+2=3，2+3=5，3+5=8，即前面两个数之和等于相邻后面的数。根据这一规律，可以确定括号里应该填34（即 34=13+21）。解略。练习与作业1. 根据前八个数的排列规律，填出横线上所缺的数（1）5，6，7，8，
7、9，_。（2）1，3，5，7，9，_。（3）4，6，8，10，_。2. 找出下列数的变化规律后填空。（ 1）9，12，15，18，_，24。（ 2）29，24，19，14，_，4。3. 分析下面两列数的变化规律，然后填空。（1）3，5，9，15，23，_。（ 2）1，4，9，16，_，_。4. 观察下列数的变化规律后填空。2 ，4，8，16，_，64。5. 仔细分析下列数之间的规律，然后填空。（1）1，2，4，8，16，_。（2）6，7，9，11，_，35。6. 找出规律后填空。26，21，17，14，_，11。第四讲加减法填空格（一）填空格是有一定方法的：第一步：审题和解其他数学题一样， 填
8、空格也要审题， 即通过对题目的分析，找出算式中数量之间的关系与特征， 它们是确定各个空格应填什么数字的主要依据。第二步：选择突破口在审题的基础上， 认真思考找出算式中容易填出的或关键性的空格， 作为解题的突破口。 这一步骤是填空格的关键。第三步：确定各空格所填数字从突破口开始， 依据算式的已知条件，逐个填出各个空格中的数字。有了以上三个步骤，我们才能正确迅速地填出算式。例：在右面算式的空格中， 各填入一个合适的数字， 使算式成立。分析与解：（1）审题这是一个加法算式，两个加数均是三位数，两个加数与和的十位数字均已给出。（ 2）选择解题突破口由算式中十位上的三个数字 8、5、4 可以分析出，个位
9、向十位进了 1，十位向百位进了 1。根据这个关系，我们可以先从第二个加数的个位空格开始填。（ 3）确定各个空格中应填的数字填个位因为个位上数字相加的和必须向十位上进 1，而 1 与 9 相加才能向十位进 1，所以第二个加数的个位只能填 9，而和的个位应填 0。此时的算式为：填千位因为和是一个四位数， 所以百位上的数字相加之后必须向千位进 1，因此这个算式中和的千位数字应为 1。填百位百位上的两个数字之和，加上由十位进上的 1，和应该是 19。所以百位上的两个空格只能都填 9。这样，所有的空格就都填出来了。此题的答案是：练习与作业1.2.3.4.5. 满足下面竖式的填法共有 _种。6.第五讲加减
10、法填空格（二）例 2. 在右面算式的空格内，各填入一个合适的数字，使算式成立。分析与解我们仍按前面所说的三个步骤进行分析。（ 1）审题这是一个两位数加三位数，和为四位数的加法算式。在算式中，个位上已经给出了两个数字， 并且个位上的数字相加后向十位进了 1，百位上数字之和又向千位进了 1。（ 2）选择解题突破口由上面的分析，显然选择个位上的空格作为突破口。（ 3）确定各空格中的数字填个位因为312，所以个位上的空格应填9。填千位千位数字只能是百位上数字之和向前进的数，因此只能是 1。填百位第二个加数的百位上的数字最大是 9，而和是四位数，因此算式中十位上数字之和必须向百位进 1，所以第二个加数的
11、百位上填 9，和的百位上填 0。填十位由于算式中个位上数字之和向十位进了 1，十位上的数字相加后又向百位进 1，所以第二个加数的十位上的空格，可以填 8或 9。此题有两个解：练习与作业1.2.3.4.5.6.第六讲加减法数字谜（一）数字谜与我们前面学习的填竖式一样， 也是一种锻炼我们思维的体操，它对于我们学习数学、 提高分析问题的能力是非常有益的。 数字谜的分析思考方法和填竖式的分析思考方法基本相同， 即审题、选择解题突破口、 确定各汉字或字母所代表的数字这三个步骤。 在第三个步骤中也需要根据已知数字的关系与特征， 确定要填数字的大致范围，然后进行适当的试验，确定各汉字或字母所代表的数字。例
12、. 下边加法算式中的每一个汉字都代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字。当它们各代表什么数字时，算式成立？分析与解 在这个加法算式中，加数个位上的数字均相同，并且它们和的个位为 0，所以选择个位作为解题的突破口。（ 1）填个位在算式的个位上克 +克+克+克的个位为 0，所以克的取值为 0 或 5。如果克 =0，那么在算式的十位上匹 +匹+匹的个位也是 0，这样匹只能取 0，而不同的汉字应代表不同的数字，所以克 =5。此时算式中和的个位向十位进 2（见下式）。（ 2）填十位在上面算式的十位上，匹 +匹+匹的个位应是 8，而只有 666=18，所以匹 =6，并且十位上数字之和向百位进 2。（ 3）
13、填百位在算式的百位上，林 +林的个位应为 8，而 44=8，99=18，所以林取 4 或 9。如果林 =4，百位相加后向千位进 1，这样奥 =1。如果林 =9，百位相加后向千位进 2，这样奥 =0，但是一个数的首位数字不能为 0，于是林 9。因此，得到本题的一个解为：练习与作业1. 如下竖式， 当 A_，B_，C_时，此竖式上确。2. 在加法算式中， A_，B_此竖式正确。3. xyz 是一个三位数，请你根据竖式求出 xyz 。4. 请把字母换成相应的数字，使竖式成立。5. 如下竖式，如果竖式成立，则 ABC_。第七讲加减法数字谜（二）例 2. 下面算式中的每个汉字都代表一个数字，不同的汉字代
14、表不同的数字。当它们各代表什么数字时算式成立？分析与解 这是一个三位数减三位数差为两位数的减法竖式。十位数字不够减，需向百位借 1，这样好比学大 1，这就成为解题的突破口。（ 1）如果个位不向十位借 1，那么由十位可求出生的值为 9，而个位上 9-5=4，5 与 4 相邻，且 5 比 4 大 1。得到一个解为：（ 2）如果个位向十位借 1，那么由十位可求出生 =8，而 18 不能拆成两个相邻自然数的和，因此，这种情况不可能。于是，此题只有唯一解：练习与作业1. 请把下面竖式中字母代表的数字“翻译”出来。2.A_，B_，C_，D_。3. 在加法竖式中， x_，y_，z_时此竖式成立。4. 下面的
15、算式，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，请你把这些字母“翻译”成数字。第八讲三阶幻方关于幻方，我国史书上记载着不少神话故事。传说在夏禹时代，洛水中出现过一只神龟， 背上有图有文， 图中的黑白圈四十五个， 用直线连成九个数，后人称它为“洛书” （见图 101）。如果把“洛书”上的九个数，填在图102 中的九个小方格内，则发现图中的每行、每列、两条对角线上的三个数的和都等于 15，所以引起了人们的极大兴趣。许多人提出，对图 102 中九个方格，还有没有别的填法？ 4 4 的十六个方格， 是否也可以进行这样的填数游戏？“洛书”就是世界上最早出现的幻方，因为它有 33 个方格，并按要
16、求填 19 九个数，我们称它为三阶幻方。一般地，在 nn 个方格内，填上 nn 个连续自然数，并且每行、每列、两条对角线的n 个自然数的和都相等，则称它为n 阶幻方，图 103 就是一个四阶幻方。下面只介绍三阶幻方的一些解法。例 . 将 19 这九个数，填入图 104 中的方格内，使每行、 每列、及两条对角线上三个数字的和都相等。（本题给出的是一个三阶幻方）分析与解：杨辉在续古摘奇算法中，总结“洛书”幻方构造方法时写道： “九子排列，上下对易，左右相更，四维挺出。 ”这四句话，对本题给出了一种解法， 如图 107 所示。练习与作业1. 把三个“”、三个“”、三个“”摆进图 1 中的方格里，使每
17、行、每列中各种小图形都有一个（只写一种摆法） 。2. 用 l 9 这九个数组成一个三阶幻方，已知右上角为2（如图 2），请填出其他数字。3. 用 1018 这九个数在图 3 中组成一个三阶幻方，已知中心数为 14，请填出其他数。4. 用 2、4、6、8、10、12、14、16、18 这九个数构成一个三阶幻方填入图 4 中的方格里。5. 用 1、3、5、7、9、11、13、15、17 这九个数构成一个三阶幻方填入图 5 中的方格里。第九讲逻辑推理在有些问题中， 条件和结论中不出现任何数和数字， 也不出现任何图形，因而，它既不是一个算术问题，也不是一个几何问题。也有这样的题目， 表面看来是一个算术
18、或几何问题， 但在解决它们的过程中却很少用到算术或几何知识。所有这些问题的解决， 需要我们深入地理解条件和结论， 分析关键所在，找到突破口，由此入手，进行有根有据的推理，做出正确的判断，最终找到问题的答案。这类问题我们称它为逻辑推理。例 1 在一桩谋杀案中，有两个嫌疑犯甲和乙。另有四个证人正在受到讯问。第一个证人说：“我只知道甲是无罪的。 ” 第二个证人说：“我只知道乙是无罪的。 ”第三个证人说：“前面两个证词中至少有一个是真的。 ” 第四个证人说：“我可以肯定第三个证人的证词是假的。 ”通过调查研究， 已证实第四个证人说了实话， 请你分析一下， 凶手是谁？分析与解 题目中条件较多，且四个人的
19、证词有真有假，在这种情况下，要善于抓住关键， 由此入手进行有根有据的逐步推理。 本题的关键是：第四个人说了实话。因为第四个人说了实话， 所以第三个人的证词是伪证， 也就是说“前两个证词中至少有一个是真的” 是句假话。由此可以断定， 第一个和第二个证人都说了假话。从而判断出甲和乙都是凶手。注意：像上面的例题， 从众多的条件中抽取关键的条件， 往往是进行分析和推理的突破口。练习与作业1. 小明、小刚、小强三个同学赛跑，比赛后有人问他们的名次。小明说：“我不是第一名”；小刚说：“我不是第一名，也不是最后一名”；小强没说话；那么，请你判断；第一名是 _，第二名是 _，第三名是 _。2. 小王、小张和小
20、李原来是邻居，后来当了医生、教师和战士。只知道：小李比战士年纪大， 小王和教师不同岁， 教师比小张年龄小。请同学们想一想：谁是医生，谁是教师，谁是战士？3. 一位法官在审理一起盗窃案中，对涉及到的四名嫌疑犯甲、乙、丙、丁进行了审问。四人分别供述如下：甲说： “罪犯在乙、丙、丁三人之中。”乙说：“我没有做案，是丙偷的。 ”丙说：“在甲和丁中间有一人是罪犯。”丁说：“乙说的是事实。” 经过充分的调查，证实这四人中有两人说了真话， 另外两人说的是假话。 同学们，请你做一名公正的法官，对此案进行裁决，确认谁是罪犯？4. 数学竞赛后，小明、小华和小强各获得一枚奖牌，其中一人得金牌，一人得银牌，一人得铜牌
21、。老师猜测： “小明得金牌，小华不得金牌，小强不得铜牌。”结果老师只猜对了一个， 那么谁得金牌，谁得银牌，谁得铜牌？第十讲火柴棍游戏用火柴棍可以摆成一些数字和运算符号，如 、 、 、 ；还可以摆出几何图形如正三角形、 正方形、菱形、正多边形和一些物品的形状 . 通过移动火柴棍，可进行算式的变化，可以用它来做有趣的图形变化游戏 . 这一讲将就这些问题进行讨论。在用火柴棍摆数学算式时， 可以通过添加、 去掉和移动几根火柴来使一些原来不正确的算式成立， 在思考由火柴棍组成的算式的变换时，应注意以下两点：在考虑使等式成立的数时，注意数字只限于、.这就缩小了可讨论的数的范围，而运算符号也只限于、。要使算
22、式成立， 经常要添加、 去掉和移动几根火柴， 从而达到目的，而“添”、“去”、“移”的一般规律是：添，添加一根火柴，可变为，变为，变为，还可以在数前、数后添上，另外，可以把“”号变为“”号，把“”变为“”号，在两个数之间增加“”号等。去，“去”是“添”的反面，要去掉一根火柴棍，常可以变“”为“ ”，变“ ”为“ ”，变“ ”为“ ”，变“ ”为“ ”，变“ ”为“ ”。还可以去掉数字前面或后面的“ ”，以及数字之间的“ ”号等。移，“移”是“去”和“添”的结合，移动火柴棍时，要保证火柴的根数没有变化 . 如“ ”与“ ”之间，“ ”与“ ”之间，“ ” 与“ ”之间，“ ”与“ ”之间，“ ”
23、与“ ”之间都可以互相转化。例 1 在下面由火柴棍摆成的算式中，添加或去掉一根火柴，使等式成立。分析题中，只有一个四位数 1244，且它是减数，其余的数都是三位数，所以，我们首先想到，要把 1244 千位上的 1 去掉，使它变成三位数 . 这时，等式左边是： 772-244-417 ，计算的结果恰好就是111. 等式成立 . 题中，由于减数是四位数 1244，我们又可以想到在被减数的前面添加一根火柴，使它变成 1772. 这样。练习与作业1. 请在下面各式中去掉或添加 1 根火柴使等式成立。2. 只移动根火柴使等式成立。3. 只移动根火柴使等式成立。第十一讲和差问题（一）和差问题是已知大小两个
24、数的和与两个数的差， 求大小两个数各是多少的应用题。为了解答这种应用题，首先要弄清两个数相差多少的不同叙述方式 . 有些题目明确给了两个数的差，而有些应用题把两个数的差“暗藏”起来，我们管暗藏的差叫“暗差”。例：“把姐姐的铅笔拿出 3 支后，姐姐、弟弟的铅笔支数就同样多. ”这说明姐姐的铅笔比弟弟多 3 支，也说明姐姐和弟弟铅笔相差 3 支。再例：“把姐姐的铅笔给弟弟 3 支后，两人铅笔支数就同样多 . ” 如果认为姐姐的铅笔比弟弟多 3 支（差是 3），那就错了 . 实际上姐姐比弟弟多 2 个 3 支. 姐姐给弟弟 3 支后，自己留下 3 支，再加上他们原有的铅笔数， 他们的铅笔支数才可能一
25、样多 . 这里 32=6 支，就是暗差。“把姐姐的铅笔给弟弟 3 支后还比弟弟多 1 支”，这就说明姐姐的铅笔支数比弟弟多 32 17（支）。例 1. 两筐水果共重 150 千克，第一筐比第二筐多 8 千克，两筐水果各多少千克？分析 这样想：假设第二筐和第一筐重量相等时，两筐共重 150 8158（千克）；假设第一筐重量和第二筐相等时， 两筐共重 150-8 142（千克） .解法 1：第二筐重多少千克？（ 150-8 ） 2=71（千克）第一筐重多少千克？ 718=79（千克）或 150-71=79（千克）解法 2：第一筐重多少千克？（ 150+8） 279（千克）第二筐重多少千克？ 79-
26、8=71（千克）或 150-79=71（千克）答：第一筐重 79 千克，第二筐重 71 千克。练习与作业1. 竹篮里共有鸡蛋和鸭蛋 147 个，其中鸡蛋比鸭蛋多 23 个。鸡蛋、鸭蛋各是多少个？2. 李芳和张红年龄的和是 29 岁，张红比李劳小 3 岁。两人各几岁？3. 两人进行跳绳比赛，共跳 536 次，第一名比第二名多跳 16 次，第一名跳了多少次？4. 将一条 104 米长的绳子剪成两段，长的一段比短的一段多16 米.问：剪成的两段绳子各是多少米？5. 某工厂一、二两个月份共生产零件 2860 个，一月份比二月份多生产 250 个，两个月份各生产多少个？6. 桥南小学四年一班有学生 54
27、 人，其中男学生比女学生多 2 人。这个班有男、女学生各多少人？第十二讲和差问题（二）例 2：今年小强 7 岁，爸爸 35 岁，当两人年龄和是 58 岁时，两人年龄各多少岁？分析：题中没有给出小强和爸爸年龄之差， 但是已知两人今年的年龄，那么今年两人的年龄差是 35-7=28（岁）。不论过多少年，两人的年龄差是保持不变的。所以，当两人年龄和为 58 岁时他们年龄差仍是 28 岁。根据和差问题的解题思路就能解此题。解：爸爸的年龄：58 （ 35-7 ） 2=58 28 2=862=43（岁）小强的年龄：58-43 15（岁）答：当父子两人的年龄和是58 岁时，小强 15 岁，他爸爸 43 岁。练
28、习与作业1. A、B二数的平均数为 80，A 比 B 多 20，求这两个数各是多少？2. 甲、乙两人比赛跳远，他们的平均成绩是 320 厘米，己知甲比乙多跳 30 厘米，他们两人各跳多少厘米 ?3. 一块长方形土地的长比宽多 4 米，周长为 48 米。求这块土地的长与宽。4. 一部书分上、下册， 5 套书的售价是 55 元，上册每本比下册每本贵 1 元。上、下册的单价各是多少元？5. 一个书架上、下两层共有书 248 本，如果从下层取出 12 本到上层去，两层书的本数就相等。问：上、下层各有书多少本？第十三讲和倍问题（一）和倍问题是已知大小两个数的和与它们的倍数关系， 求大小两个数的应用题 .
29、 为了帮助我们理解题意，弄清两种量彼此间的关系，常采用画线段图的方法来表示两种量间的这种关系， 以便于找到解题的途径。例 1. 甲班和乙班共有图书 160 本。甲班的图书本数是乙班的 3 倍，甲班和乙班各有图书多少本？分析 设乙班的图书本数为 1 份，则甲班图书为乙班的 3 倍，那么甲班和乙班图书本数的和相当于乙班图书本数的 4 倍。还可以理解为 4 份的数量是 160本，求出 1 份的数量也就求出了乙班的图书本数，然后再求甲班的图书本数 . 用下图表示它们的关系：解：乙班： 160（ 3+1）=40（本）甲班： 403=120（本）或 160-40=120（本）答：甲班有图书120 本，乙班
30、有图书40 本。练习与作业1. 三年级学生参加文艺小组和科技小组的共有 108 人，参加文艺小组的人数是参加科技小组人数的 2 倍，参加两个小组的各有多少人？2. 师徒俩共加工零件 42 件，师傅加工数是徒弟的 5 倍，师徒各加工多少件？3. 两个小队少先队员共采集药材 160 千克，第一小队采集的是第二小队的 3 倍。两个小队各采集药材多少千克？4. 少先队员在操场东西两侧种向日葵 165 棵，东侧种的是西侧种的 4 倍，东西两侧各种向日葵多少棵？5. 机床厂有男女职工 2400 人，男职工是女职工的 3 倍，男、女职工各是多少人？第十四讲和倍问题（二）例 2：甲班有图书 120 本，乙班有
31、图书 30 本，甲班给乙班多少本，甲班的图书是乙班图书的 2 倍？分析：解这题的关键是找出哪个量是变量， 哪个量是不变量。 从已知条件中得出， 不管甲班给乙班多少本书， 还是乙班从甲班得到多少本书，甲、乙两班图书总和是不变的量 . 最后要求甲班图书是乙班图书的 2 倍，那么甲、乙两班图书总和相当于乙班现有图书的 3 倍。依据解和倍问题的方法， 先求出乙班现有图书多少本， 再与原有图书本数相比较，可以求出甲班给乙班多少本书（见上图） 。解：甲、乙两班共有图书的本数是：30120=150（本）甲班给乙班若干本图书后，甲、乙两班共有的倍数是： 213（倍）乙班现有的图书本数是：1503=50（本）甲
32、班给乙班图书本数是：50-30=20（本）综合算式：（30120）（ 2+1）=50（本） 50-30=20（本）答：甲班给乙班 20 本图书后，甲班图书是乙班图书的 2 倍。练习与作业1. 乙两班共采集树种 240 千克，甲班采集树种量是乙班的 3 倍，两个班各采集树种多少千克？2. 乙两个数之和为 72，甲数除乙数商是 2，甲、乙两个数各是多少？3. 弟弟有 17 元，哥哥有 25 元，哥哥给弟弟多少元后，弟弟的钱是哥哥的 2 倍？4. 某大队原有水田 77 公亩，旱田 147 公亩，现在计划将一部分旱田改为水田，使水团是旱田的 3 倍，需要将多少公亩旱田改为水田？5. 甲仓库存粮 108 吨，乙仓库存粮 140 吨，要使甲仓库的存粮是乙仓库的 3 倍，那么必须从乙仓库运出多少吨放入甲仓库？
