1、完全版概率论与数理统计习题答案第四版盛骤(浙江大学 )浙大第四版（高等教育出版社）第一章概率论的基本概念1. 一 写出下列随机试验的样本空间（1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（充以百分制记分）（ 一 1 ）So , 1n 100 ， n 表小班人数n nn（3）生产产品直到得到10 件正品，记录生产产品的总件数。（ 一 2）S=10 ， 11， 12， n， （4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4 个产品就停止检查，记录检查的结果。查出合格品记为“ 1”，查出次品记为“ 0”，连续出现两个“ 0”就停止检查，或查
2、满 4 次才停止检查。 （ 一 (3) ）S=00 ，100， 0100， 0101， 1010 ， 0110， 1100， 0111， 1011， 1101，1110，1111， 2.二 设 A， B， C 为三事件，用A， B， C 的运算关系表示下列事件。（1） A 发生， B 与 C 不发生。表示为：AB C 或 A (AB+AC ) 或 A (B C)（2） A，B 都发生，而C 不发生。表示为：ABC 或 ABABC 或 ABC（3） A，B， C 中至少有一个发生表示为：A+B+C（4） A，B， C 都发生，表示为：ABC（5） A，B， C 都不发生，表示为：A BC或S(A
3、+B+C)或 ABC（6） A，B， C 中不多于一个发生，即A， B， C 中至少有两个同时不发生相当于AB , BC , A C 中至少有一个发生。故表示为：A BBCAC。（7） A，B， C 中不多于二个发生。相当于： A, B, C 中至少有一个发生。故表示为：ABC或 ABC（8） A，B， C中至少有二个发生。相当于：AB， BC， AC中至少有一个发生。故表示为：AB+BC+AC6.三 设 A， B 是两事件且P (A)=0.6， P (B)=0.7. 问(1) 在什么条件下P (AB)取到最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下P (AB )取到最小值，最小值是多少？解：由P
4、 (A) = 0.6 ， P (B) = 0.7即知AB，（否则AB =依互斥事件加法定理，P(AB)=P (A)+ P (B)=0.6+0.7=1.31与 P (A B) 1 矛盾） .从而由加法定理得P (AB)=P (A)+P (B) P (A B)(*)（ 1）从 0 P(AB) P(A)知，当 AB =A，即 A B 时 P(AB )取到最大值，最大值为P(AB)=P(A)=0.6，（ 2）从 (*) 式知，当 A B=S 时， P(AB)取最小值，最小值为P(AB)=0.6+0.7 1=0.3 。7.四 设 A ， B ， C 是三事件，且 P( A) P( B) P(C )1 ,
5、 P( AB) P( BC ) 0，14P( AC). 求 A， B，C 至少有一个发生的概率。8解： P (A， B， C 至少有一个发生 )=P (A+B+C)= P(A)+ P(B)+ P (C) P(AB)P(BC)P(AC)+ P(ABC)=31054888.五 在一标准英语字典中具有55 个由二个不相同的字母新组成的单词，若从26个英语字母中任取两个字母予以排列，问能排成上述单词的概率是多少？记 A 表“能排成上述单词”从 26 个任选两个来排列，排法有A262 种。每种排法等可能。字典中的二个不同字母组成的单词：55 个P( A)5511A2621309.在电话号码薄中任取一个电
6、话号码，求后面四个数全不相同的概率。（设后面 4个数中的每一个数都是等可能性地取自0， 1，2 9）记 A 表“后四个数全不同” 后四个数的排法有 104 种，每种排法等可能。后四个数全不同的排法有 A104P( A)A1040.50410410.六 在房间里有 10人。分别佩代着从1 号到 10 号的纪念章，任意选3 人记录其纪念章的号码。（ 1）求最小的号码为 5 的概率。记“三人纪念章的最小号码为5”为事件 A10 人中任选3 人为一组：选法有10种，且每种选法等可能。3又事件 A 相当于：有一人号码为5，其余2 人号码大于 5。这种组合的种数有1521521P(A)10123（2）求最
7、大的号码为5 的概率。记“三人中最大的号码为5”为事件B，同上 10 人中任选3 人，选法有103 种，且每种选法等可能， 又事件 B 相当于：有一人号码为5，其余 2 人号码小于 5，选法有 142种14P(B)211020311.七 某油漆公司发出17 桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4 桶，红漆3 桶。在搬运中所标笺脱落，交货人随意将这些标笺重新贴，问一个定货4桶白漆， 3桶黑漆和 2桶红漆顾客，按所定的颜色如数得到定货的概率是多少？记所求事件为 A。在 17 桶中任取 9 桶的取法有 C9种，且每种取法等可能。17取得 4 白 3 黑 2 红的取法有 C104C43 C32故C104C43
8、C32252P( A)C176243112.八 在 1500 个产品中有 400个次品， 1100 个正品，任意取 200 个。（ 1）求恰有 90 个次品的概率。记“恰有 90 个次品”为事件 A在 1500 个产品中任取200 个，取法有1500200 种，每种取法等可能。200 个产品恰有90 个次品，取法有4001100种90110400 110090 110P( A)1500200（2）至少有2 个次品的概率。记： A 表“至少有2 个次品”B 表“不含有次品” ， B表“只含有一个次品” ，同上， 200 个产品不含次品，取法01有1100种， 200 个产品含一个次品，取法有40
9、01100种2001199A B0B且0，B1 互不相容。1B11004001100P( A) 1 P( A) 1 P(B0 ) P( B1 ) 120011991500150020020013.九 从 5 双不同鞋子中任取4 只，4 只鞋子中至少有2 只配成一双的概率是多少？记 A 表“ 4 只全中至少有两支配成一对”则 A 表“ 4 只人不配对”从 10只中任取 4 只，取法有 10种，每种取法等可能。4要 4只都不配对，可在5 双中任取 4双，再在4 双中的每一双里任取一只。取法有5244P( A)C54 248C10421P( A)1 P( A)1813212115.十一 将三个球随机
10、地放入4 个杯子中去， 问杯子中球的最大个数分别是1，2，3，的概率各为多少？记 Ai 表“杯中球的最大个数为i 个” i= 1,2,3,三只球放入四只杯中，放法有43 种，每种放法等可能对 A1：必须三球放入三杯中，每杯只放一球。放法4 3 2 种。(选排列：好比3 个球在4 个位置做排列 )P( A1 )43264316对 A2：必须三球放入两杯，一杯装一球，一杯装两球。放法有C324 3 种。(从 3 个球中选 2个球，选法有 C32 ，再将此两个球放入一个杯中，选法有4种，最后将剩余的1 球放入其余的一个杯中，选法有3 种。C324 39P( A2 )4316对 A3：必须三球都放入一
11、杯中。放法有4 种。 (只需从 4 个杯中选 1 个杯子，放入此 3 个球，选法有 4 种 )P( A3 )41431616.十二 50 个铆钉随机地取来用在10 个部件， 其中有三个铆钉强度太弱，每个部件用 3 只铆钉，若将三只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱，问发生一个部件强度太弱的概率是多少？记 A 表“ 10 个部件中有一个部件强度太弱”。法一：用古典概率作：把随机试验 E 看作是用三个钉一组， 三个钉一组去铆完 10 个部件（在三个钉的一组中不分先后次序。但 10 组钉铆完 10 个部件要分先后次序）对 E：铆法有 C503C473C443C233 种，每种装法等
12、可能对 A：三个次钉必须铆在一个部件上。这种铆法有C33C473C 443C233 10种C33C473C443C233 1010.00051P( A)C503C473C 2331960法二：用古典概率作把试验 E 看作是在50 个钉中任选30 个钉排成一列，顺次钉下去， 直到把部件铆完。（铆钉要计先后次序）对 E：铆法有 A503 种，每种铆法等可能对 A：三支次钉必须铆在“ 1， 2， 3”位置上或“ 4， 5，6”位置上，或“ 28， 29，30”位置上。这种铆法有A3A27A3A27A3A2710A3A27种347347347347P( A)10 A33A472710.00051A50
13、30196017.十三 已知 P( A) 0.3, P( B)0.4, P( AB )0.5, 求P(B | AB ) 。解一：P( A) 1P( A)0.7, P(B )1P(B) 0.6, AASA( BB )AB AB注意 ( AB)( AB ). 故有P (AB)=P (A) P (A B )=0.7 0.5=0.2 。再由加法定理，P (A B )= P (A)+ P ( B ) P (A B )=0.7+0.6 0.5=0.8于是 P(B | AB )P B( A B )P( AB)0.20.25P( A B )P( A B)0.8解二 : P( AB )P( A) P(B | A
14、)由已知0507 P( B | A)P(B | A)0.552故10.7P(B | A)7P( AB) P( A)P(B | A)75定义 P( BABB )P( BA)1P( B | A50.25B )P(AB )P( A)P( B ) P( AB )0.7 0.6 0.518.十四 P( A)1 ,P( B | A)1 , P( A| B)1 , 求P( AB) 。432定义 P( AB)P( A) P( B | A)1111解：由由已知条件43P( B)P(B)P( B)有 2P(B)6P( A | B)由乘法公式，得P( AB )P( A) P( B | A)112由加法公式，得 P(
15、 A B) P( A) P( B) P( AB )11114612319.十五 掷两颗骰子， 已知两颗骰子点数之和为7，求其中有一颗为1 点的概率（用两种方法）。解：（方法一）（在缩小的样本空间SB 中求 P(A|B) ，即将事件B 作为样本空间，求事件 A 发生的概率） 。掷两颗骰子的试验结果为一有序数组（x, y）（ x, y=1,2,3,4,5,6 ）并且满足x,+y=7，则样本空间为S=( x, y)| (1, 6 ), (6, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 4), (4, 3)每种结果（ x, y）等可能。A= 掷二骰子，点数和为7 时，其中有一颗为1 点。故 P(
16、A)21 63方法二：（用公式 P( A | B)P( AB)P(B)S=( x, y)| x =1,2,3,4,5,6; y = 1,2,3,4,5,6 每种结果均可能A= “掷两颗骰子，x,y中有一个为“1”点” ， B= “掷两颗骰子， x,+y=7 ”。则P( B)61, P( AB)2，6 2662P( AB)2故 P( A | B)6221P( B)163620.十六 据以往资料表明，某一3 口之家，患某种传染病的概率有以下规律：P(A)=P 孩子得病 =0.6 ， P (B|A)= P 母亲得病 |孩子得病 =0.5 ， P (C|AB)=P 父亲得病 |母亲及孩子得病 =0.4
17、 。求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率。解：所求概率为 P (AB C )（注意：由于“母病” ，“孩病”，“父病”都是随机事件，这里不是求 P ( C |AB )P (AB)= P(A)=P(B|A)=0.6 0.5=0.3, P ( C |AB)=1 P (C |AB)=1 0.4=0.6.从而 P (AB C )= P (AB) P( C |AB )=0.3 0.6=0.18.21.十七 已知 10 只晶体管中有2 只次品，在其中取二次，每次随机地取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率。（1）二只都是正品（记为事件A ）法一：用组合做 在 10 只中任取两只来组合，每一个组合看作一个基本
18、结果，每种取法等可能。P( A)C82280.62C10245法二：用排列做 在 10 只中任取两个来排列，每一个排列看作一个基本结果，每个排列等可能。A8228P( A)A10245法三：用事件的运算和概率计算法则来作。记 A1， A2 分别表第一、二次取得正品。P( A)P(A1 A2 )P( A)P( A2 | A1 )872810945（2）二只都是次品（记为事件B ）法一：P( B)C221C10245法二：P( B)A221A10245法三：P( B)P( A1 A2 )P( A1 ) P( A2| A1 )21110945（3）一只是正品，一只是次品（记为事件C）法一：C81C2
19、116P(C )45C102法二：(C81C21 ) A2216P(C )A10245法三：P(C ) P( A1 A2A1 A2 )且 A1 A2 与 A1 A2互斥P( A1 ) P( A2| A1 ) P( A1 )P( A2| A1 )822 81610910 945（ 4）第二次取出的是次品（记为事件D）法一：因为要注意第一、第二次的顺序。不能用组合作，法二：A91A211P( D )A1025法三：P( D ) P( A1 A2A1 A2 )且 A1 A2 与 A1 A2互斥P( A1 )P( A2| A1 ) P( A1 ) P( A2| A1 )82211109109522.十
20、八 某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随机的拨号，求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率是多少？如果已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？记 H 表拨号不超过三次而能接通。Ai 表第 i 次拨号能接通。注意：第一次拨号不通，第二拨号就不再拨这个号码。H A1 A1 A2A1 A2 A3三种情况互斥P( H ) P(A1 ) P( A1 )P( A2 | A1 ) P( A1 ) P(A2 | A1 )P( A3 | A1 A2 )191981310109109810如果已知最后一个数字是奇数（记为事件B）问题变为在B 已发生的条件下，求 H再发生的概率。P( H | B)PA1 |
21、BA1 A2 | BA1 A2 A3 | B)P( A1 | B)P( A1 | B) P( A2 | BA1 )P( A1 | B) P( A2 | BA1 )P( A3 | BA1 A2 )1414313554543524.十九 设有甲、乙二袋，甲袋中装有n 只白球 m 只红球，乙袋中装有N 只白球M 只红球，今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，问取到（即从乙袋中取到）白球的概率是多少？（此为第三版19 题 (1)）记 A1， A2 分别表“从甲袋中取得白球，红球放入乙袋”再记 B 表“再从乙袋中取得白球” 。 B=A1B+A2B 且 A1 ，A2 互斥 P (B)=P (A
22、1)P(B| A1)+ P (A2)P (B| A2)=nnmN 1 N M1mnmNNM1十九 (2)第一只盒子装有5 只红球， 4 只白球；第二只盒子装有4 只红球， 5 只白球。先从第一盒子中任取2 只球放入第二盒中去，然后从第二盒子中任取一只球，求取到白球的概率。记 C1 为“从第一盒子中取得2 只红球”。C2 为“从第一盒子中取得2 只白球”。C3 为“从第一盒子中取得1 只红球， 1 只白球”，D 为“从第二盒子中取得白球” ，显然 C1， C2， C3 两两互斥， C1 C2 C3=S，由全概率公式，有P (D )=P (C1)P (D|C 1)+P (C2)P (D|C 2)+
23、P (C3)P (D| C 3)C525C427C51 C416 53C9211C9211C9211 9926.二十一 已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者。今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？解： A121212= 男人 ，A = 女人 ，B= 色盲 ，显然 AA =S， AA =由已知条件知 P( A1 )P( A2 )1P(B | A1 ) 5%, P( B | A2 )0.25%2由贝叶斯公式，有P( A1 B)P( A1 )P( B | A1 )1520P(A12100| B)P( A1 ) P(B | A1 ) P(
24、A2 ) P(B | A2 ) 1512521P(B)2100210000二十二 一学生接连参加同一课程的两次考试。第一次及格的概率为P，若第一次及格则第二次及格的概率也为P；若第一次不及格则第二次及格的概率为P （ 1）若至少2有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概率。（ 2）若已知他第二次已经及格，求他第一次及格的概率。解： Ai= 他第 i 次及格 ， i=1,2已知 P (A1 )=P (A2|A1)= P， P( A2 | A1 )P2（1） B= 至少有一次及格 所以 B 两次均不及格 A1 A2 P( B) 1P(B ) 1P( A1 A2 ) 1P( A1 ) P(
25、A2 | A1 )11P( A1 ) 1P( A2 | A1 )1(1P)(1P)3P1P 2222（2） P( A A)定义 P( A1 A2 )（ * ）12P( A2 )由乘法公式，有P (A1 A2)= P (A1) P (A2| A1) = P2由全概率公式，有 P( A2 ) P(A1 )P( A2 | A1 )P( A1 )P( A2 | A1 )PP(1 P)P2P 2P22将以上两个结果代入（* ）得 P( A | A)P22P12P2PP 12228.二十五 某人下午5:00 下班，他所积累的资料表明：到家时间5:355:395:405:445:455:495:505:54
26、迟于 5:54乘地铁到0.100.250.450.150.05家的概率乘汽车到0.300.350.200.100.05家的概率某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车，结果他是5:47 到家的，试求他是乘地铁回家的概率。解：设 A= “乘地铁”， B=“乘汽车” ，C=“ 5:455:49 到家”，由题意 ,AB= ,A B=S已知： P (A)=0.5,P (C|A )=0.45,P (C|B )=0.2,P (B)=0.5由贝叶斯公式有P( A | C)P(C | A) P( A)0.50.450.4590.6923P(C)P(C | A) 1P(C | B) 10.65132229.二十四
27、有两箱同种类型的零件。第一箱装5只，其中 10 只一等品；第二箱 30只，其中18 只一等品。今从两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任取一只，作不放回抽样。试求（1）第一次取到的零件是一等品的概率。（ 2）第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率。解：设 B i 表示“第 i 次取到一等品”i=1 ，2Aj 表示“第 j 箱产品” j=1,2 ，显然 A1 A2=SA1A2=11011820.4 （ B1= A1B +A 2B 由全概率公式解） 。（ 1） P( B1 )5023052P( B1 B2 )1 10 91 18 17212 50 492 30 2
28、90.4857（ 2）| B )P( BP(B1 )25（先用条件概率定义，再求P (B1B2)时，由全概率公式解）32. 二十六（ 2） 如图1， 2， 3，4， 5表示继电器接点，假设每一继电器接点闭合的概率为 p，且设各继电器闭合与否相互独立，求 L 和 R 是通路的概率。12L3R记 Ai 表第 i 个接点接通45记 A 表从 L 到 R 是构成通路的。 A=A 1A2+ A1 A3 A5+A4A5+A4A3A2 四种情况不互斥 P (A)= P (A1A2)+ P (A1A3A5) +P (A4A5)+P (A4A3A2) P (A1 A2A3A5)+ P (A1A2 A4A5)+
29、P (A1A2 A3 A4) +P (A1A3 A4 A5 )+ P (A1A2 A3A4A5) P (A2 A3 A4 A5 )+ P (A1A2A3 A4A5)+ P (A1 A2 A3 A4 A5 )+ (A1A2 A3 A4A5) + P (A1A2 A3 A4A5) P (A1A2 A3 A 4A5)又由于 A1， A2， A3， A4， A5 互相独立。故 P (A)=p2+ p3+ p2+ p3 p4 +p4 +p4 +p4 +p5 +p4+ p5 + p5+ p5+ p5 p5=2 p2+ 3p3 5p4 +2 p5二十六（ 1） 设有 4 个独立工作的元件 1， 2，3， 4。它们的可靠性分别为P1， P2，P3， P4，将它们按图（1）的方式联接，求系统的可靠性。记 Ai 表示第 i 个元件正常工作，i= 1， 2， 3，4，231A 表示系统正常。4 A=A 1A2A3 + A1A4 两种情况不互斥 P (A)= P (A1A2A3)+P (A1A4) P (A1A2A3 A4 )(加法公式 )= P (A1) P (A2)P (A3)+ P (A1) P (A4) P (A1) P (A2)P (A3)P (A4)= P P P + P P P P P P4(A , A , A , A
