1、第一讲极限与连续一、单调数列的极限在学习数列极限过程中， 有一类数列是由递推式xn 1f (xn )，(n1,2， ) 确定的，对这类数列常用“单调有界的数列，必有极限”的数列极限存在准则来判断极限的存在性，并求出它的极限值。1. 递推数列 xn 1 f (xn )，(n 1,2， ) 单调性的判断：(i) 若 f ( x)0 ,则数列 xn ( n 1,2， ) 是单调的，当 x1 x2,数列 xn单调不减，当 x1x2,数列 xn 单调不增；()若 f (x)0 ,则数列 xn( n1,2， ) 不是单调的，但它的两个子列：奇子列 x2 n -1( n1,2， ) 和偶子列 x2 n (
2、n 1,2， ) 却是单调的，并具有相反的单调性，即当 x1x3 时 ,数列 x2 n-1 就单调不减， x2n 单调不增，反之当x1 x3 时 ,数列 x2n -1 单调不增， x2n 就单调不减。. 递推数列 xn1，) 有界性的证明常借助于均值不等式f ( xn ) (n1,2x1x2xnx1 x2xnn和数学归纳法，或利用函数极值的求法，求出f (x) 的最大值或最小值。此最值就是数列的上界和下界。. 求极限。() 由数列的单调有界性，利用极限运算法则，在递推式的两端取极限A lim xn 1lim f ( xn ) ，解方程 Af ( A) ，即可求得极限。nn()若两子列的极限 l
3、im x2 n-1 ， lim x2 n-1 存在且相等，则数列lim xn 存在。nnn1 / 11例1设 x 1 0，xn 1a1xn ，) ，其中 a 是不超过的常数，求使1xn(n1,2数列 xn 收敛的 a 值，并计算此时的lim xn 。n解：假设lim xnA , 则令 n对递推式两边取极限得Aa1 A , 即n1AA2a1，所以当 a 1时， lim xn 才能存在。下面考虑1 a2的情况。n显然对任意的正整数 n 有 0xna1xna21,即数列 xn 有界。11xn1xn1令 f (x)a1x (0 x1) , 由于 f( x)2a0 ，所以 xn 单调且有界，故(1x)2
4、1xlim xn 存在，其极限 Aa1 .即当1a2 时， xn 收敛，且 lim xna1 .nn例设二元函数 F (x, y)1( yx) ，且F (1, y)y2y 5。又设 x 1，2x20xn1 F (xn ,2xn ) (n 1,2， ) 。()证明：数列 xn 收敛； ()求 lim xn 。n解： ()由(y 1)y2y5得( y)y29 ，所以 F (x, y)( y x)29F (1, y)2222x因此数列 xn 的递推式为x 1 0，xn1xn29(n1,2， ) 。2xn显然 xn0 ，由均值不等式知 xn1xn29xn293 ，即有 xn 下界。2xnxn令 f (
5、 x)x29 (x 3) ,由于 f(x)x2290 ，所以 xn 单调。又因为2x2xx3x2x2299x2202x2x22x2知 xn 单调不增，因此 xn 收敛。()记 lim xn A 3 ,令 n对递推式两边取极限得AA29 ,即 A3 ，所n2 A以 lim xn3 .n2 / 11例.设x，0，xn1x(2ax )，(n1,2， )，证明数列 xn 收敛且a 0， 10 x 2且nnlim xn1。an解：记 f (x)x(2ax) ,这是一条抛物线，它的最大值为1a ，由数学归纳法知 0 xn1xn (2axn )1 ，(n2,3， ) ，即 xn 有界。又因为 f(x)2a(
6、 1x)0 ，aa0x1，A 0 ,令 n对递推式两边取极限得得数列 xn 收敛。记 lim xnanAA(2aA) ,即 A11，所以 limxn.ana例设 x1a (0a 1), xn 1axn2，(n1,2， ) ，求 lim xn .222n解：易知 0xna (n1,2， ), 即数列 xn 有界。又因为f ( x)( ax2) ,且222f ( x) ( a x2 )x 0,知数列 x 不是单调的，但x3x1x220,所以奇子22n2列 x2n -1 是单调不增的，偶子列 x2n，都存在。是单调不减的。故 lim x2 n lim x2n -1nnalim x22naA2aB2分
7、别记其极限为 A,B ，令 lim x2n 1n得 B,同时又成立 A，n222所以 AB ,故 nlim xn 存在 .且满足 AaA2，则 nlim xnA1 a -1 .2举一反三练习：.设 0x13, xn 1xn (3xn )，(n1,2， ) ,()证明 :数列 xn 收敛；()求 lim xn 。n3)(2x2xn121 ，)lim xn(12 ).设,(n1,2,求。1xnn3 / 11二、利用等价无穷小代换求极限.常见的等价无穷小：x0 时， sinx x , tanx x , arcsinx x , arctanx x ,ex - 1 x , ln (1x) x , (1x
8、)- 1 x (0) ,1cosx 1 x2 。2推广：当 x 在某种趋近方式下，有( x)0时，将上面八个式子中的x 全部替换成 ( x) ,等价式子仍然全部成立。(2cosx )x1例求极限 lim3。x0 sin(1x31)解：当 x 0 时，( 2cosx ) x1e11 xln 11 (1cosx) x (1cosx) 33(1 cosx)x ;xln 13336sin( 1x31) 1x31 1 x3 ，2( 2cosx )x1x31故 lim3lim6.1x31)x33x 0 sin(x026n2 n2n2 (sin1arccotn)例.求极限 limn1。nlnnln (1)n
9、lnn111解：利用等价无穷小， lnnln (1) lnn(n) ，而 lim n 2n21，所以nlnnnlnnnn16(sinxarccot 1)原式 lim 6n3 (sinarccotn) 令 1 n x lim3x(利用洛比达法则 )nnx0x1(cosx1x2 )(1x 2 )cosx1lim2xcosx(1 x 2 )sinx1 .2 limx22 limx2(1 x2)xx 0x0x0将数列极限转化为函数极限，然后利用洛比达法则这是求数列极限的常用方法。.在等价无穷小代换求极限过程中，乘积的因子可以任意代换,加减的因子代换要慎用 .但在下列情况时，加减的因子就可以整体代换.若
10、 ( x) 1 ( x)， ( x) 1 ( x) .且 lim1(x),则 ( x) (x) 1 ( x)1 ( x) 。11 (x)4 / 11例求极限 lim6 1xsinx46cosx .x03cosxcosx解：当 x0时， 6 1xsinx6cosx 6 1xsinx1 6 1(cosx1)1而 6 1xsinx161(cosx1)1 1 xsinx1 (cosx1) 1 x21x21 x2 ;6661243 cosx4 cosx31(cosx1)14 1(cosx1)1 ( 11)(cosx1)1x2 ,34241 x26 .故 原式 lim4x2x0124若 (x) ( x)，
11、 1 ( x) 是较 (x) 高阶的无穷小，则( x)1 ( x) (x) ( x).2sin2 xcosx) .例求极限limln(e12x0arcsin(1x1)解： ln2sin 2 x1cosx)ln21sin2 x1cosxsin2 x1 cosx1)2(e(e1) (e( esin 2x1)1cosx 2 ( 1cosx) 2 1 x22其中是由于 ( esin 2 x1)是 1cosx 的高阶无穷小ln2sin 2 x1cosx)1 x 21 x2所以 lim(elim2lim21.x0arcsin(1x21)x01x 21x 01 x22举一反三练习：1. lim1tan x1
12、sin x2. 求 limsin 2 x1cos x3. lim(1x) xcos2x2sin xsin x32(tan 2xsin x)(sin 2xx)x 0ex01cosxtan xx0e三、 利用拉格朗日中值定理求极限命题：若 lim (x)lim(x)c ， f (u) 在 uc 的邻域内连续可导，且 f (c)0 ，x x0xx0则 f ( x)f (x) f(c) ( x)( x)( xx0 ) 。例求 lim cosx cos2x 3cos3x 1x 0lncosx解：原式lim lncos xcos2x 3cos3x ln1lim lncosx ln cos2x ln 3 c
13、os3xx 0lncosxx 0lncosx5 / 11lim lncosx1 lim lncos2x1 lim lncos3xx 0lncosx2 x0lncosx3 x0lncosx11 lim cos2x11 lim cos3x12 x0cosx13 x0cosx111 (2x)211 (3x) 21lim2lim212362 x01x23 x0122x2例设 limtan xlncosx .x2x2x 023解：原式limtan xlncosxtan0limxlncosxlimx(cosx1)ln(3 x2)ln ( 2 x2)x2 ln3x 2ln 2x2 (ln3ln 2)x0x0
14、x 011x1 .lim2ln6 x0x2ln6(11 ) xe例求 limxx.xarctan41xeln(11 )xlneln(11 )xlne解：原式limxxe limxxxtan(arctan)x1411xx1x1xelim ln(11 )x1(2x1)上式利用 (tan()tantan)xx1 tan tanelim 2x xln(11 )1elim ln(11 )x1e lim 2x xln(11)1xxxxxx1 )1 t1 x 2elim ln(1t)t112elim x2ln(12elim 1 te 。t2xxxt0t02t举一反三练习：. lim sin( xex2)sin( x2 e x ) ； .lim (1 tanx)5(1 sinx) 5.x0tan(sin2x)tan(sinx)x 0 sin(tanx)sin(sinx). limln(11x2 )ln(11 x2 )ln(1x)ln(1x)2x06 / 11四、利用带皮亚诺余项的麦克劳林公式求极限xx2xno( xnx2( 1)n 1xno( xn)e 1xn！
