1、第十四讲 Penrose 广义逆（ ）一、 -逆与 -逆1,2定理 1： 设 Y , Z A , 则 YAZ A .11,2证 ：已知 AYA = AZA = A 故(i) A(YAZ)A = AZA = A ; (ii) (YAZ)A(YAZ)=YAYAZ=YAZ .定理 2：给定矩阵 A 及 Z A ，则 Z A 的充要条件是 11,2rank证 ：必要性. Z A 则 (i) AZA=A; (ii) ZAZ=Z ,2A Z1,而由 rankA rankA 可知 rankZ rankA , rankA rankZ()rankZ=rankA充分性. 已知 rankZ=rankA , Z A1
2、即 AZA=A， rank(ZA) rank(A)，而 rank（Z ） rank(ZA)即：rank（ Z） rank(ZA) rank(A)。再由已知条件，得：rank(ZA)=rank(A)=rank(Z)另一方面，R(ZA) R(Z) ,结合 rank(ZA)=rank(Z) R(ZA)=R(Z)C , C ,使 ZA =Z emuneZA Z 12 12m令 =I , =U ( =n 维， m 维) 12 12 iujeU 使 Z=ZAU故 ZAZ=ZA(ZAU)=ZAU=Z Z 满足 Penrose 方程(ii)可见 , Z A .1,2二、 -逆与 -逆、 -逆1234引理：对任
3、意矩阵 A 均有 rank(A A) = rankA = rank(AA )HH证： N(A) , 即 A =0 , 则 A A =0 N(A) N(A A)xxx另一方面 ，则N()=0 HH0HN()A，又 与 A 的列数均为 n ,N()dimN(A)=nrankA , dim nrank()()rank rankA .H(A)A , 则 rank =rank =rankA.()H定理 3： 给定矩阵 A , 则 Y= A(1),23Z= A()4证：显然 R R( ) , 又由引理可知 R R( ) ，H()H)即存在 U 使 U A=HAYA=( ) A =A 满足(i) Y AA(
4、1)(i)1可见 rankY rankA但 rankY rank rank =rankA.(1)HHA即 rankY rankA. Y A,2AY=( ) = AUHUA(1)HUH(1)= =()Y A 综合之，即 Y A3,23同理可证另式。三、关于 A定理 4：给定矩阵 A , =(1,4)(,3)证：(1) 由定理 1 知 ， X A(,)(,)1,2(2) AX= ( ) =(,4)(1,3)i(1,3)i,3H(3) XA= (1,)(,)i(,4)iv1,4X A =2定理 5： 给定矩阵 A，则(1) rank =rankA(2) =A()(3) =( , HTT(4) ,AH
5、HA(5) =(6) R( )=R( ) ,N( )=N( )证：(1) A rank =rankA1,2(2) Penrose 方程中 (i) (ii), (iii) (iv) 互为对称 故 =A.()(3) 直接采用四个方程验证即可。(4) 同上。(5) 证 X= , 由定理 3 知 X A ,且HA123XA= = H当然是 HA(4)HAX A1,23另式同理可证。(6) R( ) R( ) R( )(5HHN( )=N N( ) ,而 rank =rankArankAHAR( )=R( ) ,N( )=N( )AHH推论 1：若 (列满秩矩阵) ，则 mnC1H(行满秩矩阵) ，则 推论 2： 对非零列向量 ， ；1H对非零行向量 ， ； 均为数。H,A,B 可逆，则 ,但一般11(AB)AB如 , , , BA=101 0=1 , , , ()122作业 ：P 306-307 6、8、11、12
