1、一 解析函数,函数 在D内解析的充要条件：,b: 及 在D内处处满足C-R条件,二 柯西 定理 公式,定理,单通,复通,解析函数,公式,第一类情形：沿非闭合曲线的积分 a :若 不解析 b : 若 在闭单通区域上解析，求原函数来计算积分,求路径积分,第二类情形：沿闭合围道的积分,（ 在闭单通区域上解析）,（ 在闭单通区域上解析且 为该区域上的内点）,留数定理，单极点,留数定理，n阶极点,三 解析函数的级数展开,1. 泰勒级数展开(研究的区域无奇点，圆域内的展开),2. 洛朗展开(所研究的区域有奇点，除去奇点的环域内的展开),利用初等函数的泰勒展开 有理分式分解为最简分式,常用初等函数的Tayl
2、er展开式,3. 孤立奇点的分类： （根据孤立奇点的去心领域内洛朗级数的性质）,可去奇点： 内的洛朗级数不含有 的负幂项,极点：,内的洛朗级数仅含有有限个 的负幂项,M阶极点,本性奇点,内的洛朗级数含有无限个 的负幂项,不存在,如何判断极点的阶,四 留数定理,次方项的系数,留数,1. 有限远点的留数,2. 留数定理,全平面的留数定理： 函数 在全平面上所有各点的留数之和为零,3 留数的计算（注意判断奇点的类型）,（1）可去奇点,奇点邻域内的洛朗展开无负幂项，有限远点,（2）极点,单极点,m阶极点,如何判断极点的阶：,非零有限值,（3）本性奇点：将 在 的去心邻域上作洛朗展开，求1次方的系数，或用全平面留数定理,4 利用留数定理计算实变定积分,第一类：,第二类：,特点：被积函数的积分区间（ ， ）， 在实轴上无奇点，在上半平面除有限个奇点外是解析的。当 在 上半平面 和实轴上 时， 一致地,第三类：,被积函数的积分区间 ， ,偶函数 和奇函数,在实轴上没有奇点，在上半平面除有限个奇点外是解析的；当 在上半平面或实轴上 时， 和,一致地趋于零,
