1、第三章 导数与微分,第一节 导数的概念 第二节 函数和、差、积、商的求导法则 第三节 反函数的导数、复合函数的求导法则 第四节 高阶导数 第五节 隐函数、参数方程确定的函数的导数 第六节 函数的微分 第七节 导数在经济分析中的应用,第一节 导数的概念,一、问题的提出 二、导数的定义 三、由定义求导数 四、导数的几何意义与物理意义 五、可导与连续的关系,一、问题的提出,1.自由落体运动的瞬时速度问题,取极限得,第一节 导数的概念,如图,如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.,极限位置即,2.切线问题,割线的极限位置切线位置,第一节 导数的概念,二、导数的定
2、义,定义,第一节 导数的概念,其它形式,即,第一节 导数的概念,关于导数的说明：,第一节 导数的概念,第一节 导数的概念,步骤:,例1,解,第一节 导数的概念,例2,解,更一般地,例如,第一节 导数的概念,例3,解,第一节 导数的概念,例4,解,第一节 导数的概念,例5,解,第一节 导数的概念,2.右导数:,单侧导数,1.左导数:,第一节 导数的概念,第一节 导数的概念,例6,解,第一节 导数的概念,三、导数的几何意义,第一节 导数的概念,切线方程为,法线方程为,切线方程为,法线方程为,例7,解,根据导数的几何意义知, 所求切线的斜率为,所求切线方程为,法线方程为,第一节 导数的概念,第一节
3、导数的概念,四、函数可导性与连续性的关系,另一方面，一个函数在某点连续却不一定在该点可导。,例如,第一节 导数的概念,第二节 函数和、差、积、商的求导法则,一、和、差、积、商的求导法则 三、复合函数的求导法则 四、基本求导法则与导数公式,一、和、差、积、商的求导法则,定理,第二节 函数和、差、积、商的求导法则,证(3),证(1)、(2)略.,第二节 函数和、差、积、商的求导法则,第二节 函数和、差、积、商的求导法则,第二节 函数和、差、积、商的求导法则,例1,解,例2,解,第二节 函数和、差、积、商的求导法则,例3,解,同理可得,例4,解,同理可得,例5,解,同理可得,第二节 函数和、差、积、
4、商的求导法则,第三节 反函数的导数、复合函数的求导法则,一、反函数的导数 二、复合函数的求导法则,第三节 反函数的导数、复合函数的 求导法则,一、反函数的导数,定理,即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.,第三节 反函数的导数、复合函数的 求导法则,证,于是有,第三节 反函数的导数、复合函数的 求导法则,例7,解,同理可得,例8,解,特别地,第三节 反函数的导数、复合函数的 求导法则,二、复合函数的求导法则,定理,即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则),第三节 反函数的导数、复合函数的 求导法则,证,第三节 反函数的导数、复合函数的 求导法则
5、,第三节 反函数的导数、复合函数的 求导法则,推广,例9,解,第三节 反函数的导数、复合函数的 求导法则,例10,解,例11,解,第三节 反函数的导数、复合函数的 求导法则,例12,解,例13,解,第三节 反函数的导数、复合函数的 求导法则,四、基本求导法则与导数公式,第三节 反函数的导数、复合函数的 求导法则,第四节 高阶导数,一、高阶导数的定义 二、高阶导数求导举例 三、高阶导数的运算法则:,第四节 高阶导数,一、高阶导数的定义,引例 变速直线运动的加速度.,定义,记作,三阶导数的导数称为四阶导数,二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.,二阶导数的导数称为三阶导数,第四节 高阶导数,二、高阶
6、导数求法举例,例1,解,第四节 高阶导数,例2,解,第四节 高阶导数,例3,解,第四节 高阶导数,例4,解,同理可得,第四节 高阶导数,莱布尼兹公式,三、高阶导数的运算法则:,第四节 高阶导数,例6,解,第四节 高阶导数,第五节 隐函数、参数方程确定的函数的导数,一、隐函数的导数 二、对数求导法 三、由参数方程所确定的函数的导数,一、隐函数的导数,隐函数求导法则:,用复合函数求导法则直接对方程两边求导.,第五节 隐函数、参数方程确定的函数 的导数,第五节 隐函数、参数方程确定的函数 的导数,例1,解,解得,第五节 隐函数、参数方程确定的函数 的导数,例2,解,所求切线方程为,第五节 隐函数、参
7、数方程确定的函数 的导数,例3,解,第五节 隐函数、参数方程确定的函数 的导数,二、对数求导法,观察函数,方法:,先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导方法求出导数.,-对数求导法,适用范围:,第五节 隐函数、参数方程确定的函数 的导数,一般地,第五节 隐函数、参数方程确定的函数 的导数,例4,解,等式两边取对数得,例5,解,等式两边取对数得,第五节 隐函数、参数方程确定的函数 的导数,第五节 隐函数、参数方程确定的函数 的导数,三、由参数方程所确定的函数的导数,由复合函数及反函数的求导法则得,第五节 隐函数、参数方程确定的函数 的导数,例6,解,第五节 隐函数、参数方程确定的函数 的导数
8、,所求切线方程为,第五节 隐函数、参数方程确定的函数 的导数,例7,解,例8,解,第六节 函数的微分,一、微分的定义 二、微分的几何意义 三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则 四、微分形式不变性 五、微分在近似计算中的应用 六、小结,一、微分的定义,实例:正方形均匀金属薄片受热后面积的改变量.,第六节 函数的微分,定义,第六节 函数的微分,定理,证,(1) 必要性,第六节 函数的微分,(2) 充分性,第六节 函数的微分,例1,解,第六节 函数的微分,第六节 函数的微分,二、微分的几何意义,几何意义:(如图),M,N,T,）,Q,三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则,求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分.,1.基本初等函数的微分公式,第六节 函数的微分,3. 复合函数的微分法则,2. 函数和、差、积、商的微分法则,第六节 函数的微分,例2,解,例3,解,第六节 函数的微分,四、微分形式的不变性,第六节 函数的微分,例5,解,例4,解,第六节 函数的微分,五、微分在近似计算中的应用1.计算函数增量的近似值,例6,解,第六节 函数的微分,1.函数的近似计算,例7,解,第六节 函数的微分,第六节 函数的微分,常用近似公式,证明,第六节 函数的微分,例8,解,第六节 函数的微分,
