1、3 格林公式曲线积分 与路线的无关性,在计算定积分时, -莱布尼茨公式反映了区间上的定积分与其端点上的原函数值之间的联系; 本节中的格林公式则反映了平面区域上的二重积分与其边界上的第二型曲线积分之间的联系.,一、格林公式,二、曲线积分与路线的无关性,返回,一、格林公式,边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边.,定理1,证明(1),同理可证,证明(2),两式相加得,G,F,证明(3),由(2)知,L,1. 简化曲线积分,应用,解,3. 计算平面面积,解,二、曲线积分与路径无关性,B,A,如果在区域G内有,区域连通性的分类,设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围成的部分都属
2、于D, 则称D为平面单连通区域, 否则称为复连通区域.,复连通区域,单连通区域,(i) 沿 D 内任一按段光滑封闭曲线 L, 有,(iv) 在 D 内处处成立,两条件缺一不可,有关定理的说明：,(i) 沿 D 内任一按段光滑封闭曲线 L, 有,按段光滑曲线,由 (i) 可推得,与 为联结点A, B 的任意两条,所以,D 内任意一点. 由 (ii), 曲线积分,因为在 D 内曲线积分与路线无关, 所以,对于 x 的偏增量(图21-20),值定理可得,(iv) 在 D 内处处成立,一点处都有,以及 P, Q 具有一阶连续偏导数, 便可知道在 D 内每,(iv) 在 D 内处处成立,条件, 就得到,(iv) 在 D 内处处成立,(i) 沿 D 内任一按段光滑封闭曲线 L, 有,解,解,由上述证明可看到二元函数,具有性质,解 这里,在整个平面上成立,由定理21.12, 曲线积分,只与起点 A 和终点 B 有关, 而与路线的选择无关.,只与起点 A 和终点 B 有关, 而与路线的选择无关.,由定理21.12, 曲线积分,练 习 题,练习题答案,四、小结,1.连通区域的概念;,2.二重积分与曲线积分的关系,3. 格林公式的应用.,格林公式;,若区域 如图为复连通域，试描述格林公式中曲线积分中L的方向。,思考题,思考题解答,由两部分组成,外边界：,内边界：,
