1、微积分基本定理（一）临潼铁中吴军利一：教学目标知识与技能目标通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，会用牛顿 -莱布尼兹公式 求简单的定积分过程与方法通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法情感态度与价值观通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。二：教学重难点重点： 通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。难点：了解微积分基本定理的含义。三：教学过程：1、复习 ：定积分的概念及用定义计算2、引入新课我们讲过用定积分定义计算定积分 ,但其计算过程
2、比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系设一物体沿直线作变速运动，在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为 v(t)（ v(t) o ），则物体在时间间隔 T1, T2 内经过的路程可用速度函数表示为T2v(t) dt 。T1另一方面，这段路程还可以通过位置函数S（ t）在 T1 ,T2 上的增量 S(T1 )S(T2 ) 来表达，即T2v(t )dt = S(T1 )S(T2 )T1而 S (t)v(t) 。f ( x) ，设 F (x)bf ( x)dx F (b) F (a)对于一般函数f (x
3、) ，是否也有a若上式成立， 我们就找到了用 f ( x) 的原函数（即满足 F (x)f ( x) ）的数值差 F (b)F ( a) 来计算 f ( x)在 a, b 上的定积分的方法。3、定理如果函数 F ( x) 是 a, b 上的连续函数f ( x) 的任意一个原函数，则微积分基本定理bf ( x)dx F (b) F (a)axf (t)dt 与 F ( x) 都是 f ( x) 的原函数，故证明：因为(x) =aF ( x) -( x) =C（ axb ）其中 C 为某一常数。令 xa 得 F (a) -( a) =C，且(a) =即有 C= F (a) ，故 F ( x) =(
4、 x) + F (a)( x) = F (x) - F (a) =xf (t )dta令 xb ，有b( )( )( )fx dxF bF aa此处并不要求学生理解证明的过程af (t )dt =0a为了方便起见，还常用F ( x) |ab 表示 F (b)F (a) ，即bF ( x) |abf (x)dxF (b)F (a)a该式称之为 微积分基本公式 或牛顿莱布尼兹公式 。它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题， 转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系， 同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。因此它
5、在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响.4、应用例 1计算下列定积分：2131。（ 1）xdx； （ 2）x2 )dx11 (2 x解：（1）因为 (ln x)1，1x22ln1ln 2 。所以dxln x |1 ln 21x2 1 1（ 2）因为 (x )2x,( )2，xx31331x231 31) (122所以(2 xx2 )dx2xdx1x2 dx|1|1 (91)。11x331练习：计算x2dx0解：由于 1 x3 是 x2 的一个原函数，所以根据牛顿莱布尼兹公式有311 x3 |10 =113103 = 1x2 dx =0
6、3333例 2计算下列定积分：22sin xdx,sin xdx, sin xdx。00由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论。解：因为 (cosx)sin x，所以sin xdx(cosx) |0(cos )(cos0)2 ，02(cos x) |2(cos2)(cos)2 ，sin xdx2(cos x) |02(cos2)(cos0)0 .sin xdx0可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0:( l）当对应的曲边梯形位于x 轴上方时，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积；（ 2）当对应的曲边梯形位于x 轴下方时，定积分的值取负值，且等于曲边梯
7、形的面积的相反数；位于( 3）当位于x 轴上方的曲边梯形面积等于位于x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为x 轴上方的曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积0 ，且等于例 3汽车以每小时32 公里速度行驶，到某处需要减速停车。设汽车以等减速度a =1.8 米 /秒 2 刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？解 :首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间。当t=0时，汽车速度 v0 =32公里 /小时 =32 1000 米 /3600秒8.88 米 / 秒 , 刹车后汽车减速行驶, 其速度为 v(t)= v0a t=8.88-1.8t当汽车停住时 , 速度 v( t)=0 , 故从
8、v( t)=8.88-1.8t=0 解得 t=8.884.93 秒于是在这段时间内,汽车所走过的距离是1.84.934.934.931.8t)dt = (8.88 1.8 1 t2 )21.90 米 ,即在刹车后 ,汽车需走过 21.90 米sv(t) dt(8.880020才能停住 .微积分基本定理揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时它也提供了计算定积分的一种有效方法微积分基本定理是微积分学中最重要的定理， 它使微积分学蓬勃发展起来， 成为一门影响深远的学科， 可以毫不夸张地说，微积分基本定理是微积分中最重要、最辉煌的成果四：课堂小结 ：(1)微积分基本定理的内容及推导(2)微积分基本定理的简单应用五：作业(1)P85A 组 1.3.5(2) 思考题 ; 计算由曲线围成图形的面积 ?与直线微积分基本定理（一）学校：临潼区铁路中学科目：数学姓名：吴 军 利
