1、正多边形和圆知识精讲一 . 正多边形的概念及性质1. 正多边形的定义：各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形2. 正多边形的相关概念：（ 1）正多边形的中心： 我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心；（ 2）正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径；（ 3）正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角；（ 4）正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距补充说明：正多边形的性质：（ 1）正 n 边形的半径和边心距把正n 边形分成 2n 个全等的直角三角形；（ 2）正多边形都是轴对称图形，正n 边形共有 n 条通过正 n 边形中心的对
2、称轴；（ 3）偶数条边的正多边形既是轴对称图形， 也是中心对称图形， 其中心就是对称中心二 . 正多边形与圆的关系1.把一个圆 n 等分，依次连结各个等分点所得到的多边形是这个圆的内接正n 边形；这个圆叫这个正 n 边形的外接圆； 经过各等分点作圆的切线， 以相邻切线交点为顶点的多边形是这个圆的外切正 n 边形2. 定理：任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆；并且这两个圆是同心圆三 . 正多边形有关的计算1.正 n 边形的每个内角都等于n 2 180；n2.正 n 边形的每一个外角与中心角相等，等于360 ；n3. 设正 n 边形的边长为 an ，半径为 R ，边心距为 d n ，周长为
3、 Cn ，面积为 Sn ；则：R2dn2 1 an2 ，Cnnan ，Sn1 n d n an1 dn Cn422三点剖析考点 ：正多边形的概念、性质及相关计算重难点 ：正多边形相关计算易错点 ：对正多边形相关的概念混淆不清题模精讲题模一：正多边形的相关概念例 2.1.1下面给出六个命题：各角相等的圆内接多边形是正多边形；各边相等的圆内接多边形是正多边形；正多边形是中心对称图形；各角均为120 的六边形是正六边形；边数相同的正 n 边形的面积之比等于它们边长的平方比；各边相等的圆外切多边形是正多边形其中，正确的命题是 _ 【答案】【解析】错误，反例：矩形各角相等但不是正四边形；正确，边相等则各
4、边所对的圆心角相等，由半径和圆心角可构成个全等的等腰三角形，则多边形的各内角也相等；错误，正奇数边形不是中心对称图形；错误，在正六边形的基础上作任意一组对边的平行线，仍然截出一个六边形，各内角均为，但不是正六边形；正确，相似的性质；错误，只要第 1页使切点与圆心的连线不平分多边形的边长即可例 2.1.2若正多边形的一个外角为60o，则这个正多边形的中心角的度数是（）A 30B60C 90D120【答案】 B【解析】由于任意多边形的外角和均为360，所以这个正多边形的边数为360，所660以正六边形的中心角的度数为360606例 2.1.3正六边形的边心距与边长之比为（）A3 ： 3B3 ： 2
5、C 1： 2D2 ： 2【答案】 B【解析】此题考查了正多边形和圆的关系此题难度不大， 注意掌握数形结合思想的应用首先根据题意画出图形，然后设六边形的边长是a，由勾股定理即可求得OC 的长，继而求得答案如图：设六边形的边长是a，则半径长也是a；经过正六边形的中心O 作边 AB 的垂线 OC，1 1则 AC= AB= a，2 2OC=22=3OAACa，2正六边形的边心距与边长之比为：故选 B 3a： a=3 ： 22例 2.1.4 如图，有一个圆 O 和两个正六边形 T1， T2 T 1 的 6 个顶点都在圆周上， T2 的 6 条边都和圆 O相切（我们称 T1， T2 分别为圆 O的内接正六
6、边形和外切正六边形） （ 1）设 T1， T2 的边长分别为 a， b，圆 O的半径为 r ，求 r ： a 及 r ： b 的值；（ 2）求正六边形 T1， T2 的面积比 S1：S2 的值【答案】（ 1）3 ： 2（ 2）3： 4【解析】（ 1）连接圆心 O 和 T1 的 6 个顶点可得 6 个全等的正三角形所以 r： a=1： 1；连接圆心 O 和 T2 相邻的两个顶点，得以圆O 半径为高的正三角形，所以 r： b=AO ：BO=sin60=3 ： 2；（2） T 1： T2 的边长比是3 ： 2，所以 S1： S2=（ a：b） 2=3 ： 4题模二：相关计算例 2.2.1如图， O是
7、 ABC的内切圆，若 ABC=70， ACB=40，则BOC=_【答案】125【解析】 O 是 ABC 的内切圆，第 2页OB 平分 ABC ， OC 平分 ACB ， OBC= ABC=35 ， OCB= ACB=20 ， BOC=180 OBC OCB=180 35 20=125例 2.2.2已知正六 形的 2， 它的内切 的半径 （）A1B3C2D23【答案】 B【解析】如 ， 接OA 、 OB， OG；六 形 ABCDEF 是 2 的正六 形， OAB 是等 三角形， OA=AB=2 ，OG=OA?sin60=23= 3 ，2 2 的正六 形的内切 的半径 3例 2.2.3如 1、 2
8、 、3、 . 、 n ， M 、 N 分 是 O 的内接正三角形ABC 、正方形 ABCD 、五 形 ABCDE 、 . 、正 n 形 ABCDE .的 AB 、 BC 上的点，且 BM CN ， 接 OM 、 ON （1）求 1中 MON 的度数；（ 2） 2 中MON 的度数是 _ ， 3中MON 的度数是_；（3） 探究MON 的度数与正 n 形 数 n 的关系（直接写出答案） 【答案】（ 1） 120；（ 2） 90 ， 72 ；（ 3） 360解：分 接 OB 、 OC ，（1 ）n【解析】ABACABCACBOC OB ， O 是外 接 圆 的 圆 心 ，CO平分 ACBOBCOC
9、B30OBMOCN 30BM CN ， OCOB（2）同（ 1）可得MON 的度数是 90 ； 3中 MON 的度数是 72（ 3 ）由（ 1 ）可知，MON = 360 =120 ；在（2 ）中，MON = 360 =90；在（ 3）中34MON = 360=72 .，故当 n ， MON3605n随堂练习随 2.1如 ，正五 形ABCDE内接于 O， CAD=_度【答案】36【解析】五 形ABCDE 是正五 形， AB = BC = CD = DE = EA =72， CAD=172=362随 2.2 边长为 a 的正六 形的 心距等于（）A3 aaC aD3 a2B222【答案】 A第
10、3页【解析】该题考查的是正多 边 形 与 圆 AMBO连 接 OA 、 OB 作 OM AB与 M;可 知 AOB是 等 边 三 角 形 ， OM AB ，在 OAM中 ， 由 勾 股 定 理 得 ：故 选 A随练 2.3已知 O的周长等于6cm，则它的内接正六边形ABCDEF的边长为 _cm【答案】3cm【解析】本题考查圆内的多边形边长计算 O 的周长等于6 cm，圆的半径 r 3 ，又圆内接正六边形六条边相等，故每条边对的圆心角为60 ，圆内接正六边形的边长等于半径，正六边形 ABCDEF 的边长为 3 cm随练 2.4如图， ABCD 是 O 的内接正方形，PQRS 是半圆的内接正方形，
11、那么正方形PQRS 与正方形 ABCD 的面积之比为 _【答案】2 :5【解析】随练 2.5已知圆内接正方形的面积为2 ，求该圆的外切正三角形的外接圆的外切正六边形的面积【答案】8 3【解析】如图，设 AB 是圆内接正方形的边长，CD 是外切正三角形的边长，EF 是外切正六边形的边长，连结 OA、 OB、 OC、 OE AB 是内接正方形的边长，内接正方形面积为2 ， AB2 ，OAOB ， AOB 90，OA OB1 CD 是外切正三角形的边长，OA CD ， AOC60 ， OC2OA2 EF 是 外 切 正 六 边 形 的 边 长 ， OCEF ， OEF 60，OE EF2CE ， 323CEOC，33随练 2.6等边三角形的周长为 18，则它的内切圆半径是（）A 2 3B 3 3C3D32【答案】 C【解析】该题考查的是内切圆与内心，等边三角形的性质首先根据题意作出图形，然后连接 OB， OD，由等边 ABC 是 O 的内接圆， ABC 的周长为 18，根据正三角形内切圆的性质，即可求得它的内切圆半径第 4页连接 OB， OD，等边 ABC 是 O 的内接圆， ABC 的周长为18，OD BC，1160 30 ， BD1OBDABCBC 3 ，222它的内切圆半径是： 故选 CAOBDC第 5页
