1、应用基本不等式的几个易错点利用基本不等式abab（ a, b 0) 求最值时，我们知道， 对于两个正数 a, b ，2和 ab 一定时，积 ab 有最大值；积ab 一定时，和 ab 有最小值。因此利用上述基本不等式求最值时务必注意三点达到：一正二定三相等! 但若稍不谨慎， 却易发生如下错误：一、忽视正数的条件例 1 已知 0x1，求函数 y2log 23x的最值。log 2 x错解： y2log 232 2log 2 x33xx 2 2log 2log 2 xymin 2 23 .分析： 0x1， log 2 x0 ,30，不能直接运用定理。log 2 x正解： 0x1， log 2 x0 ,
2、30log 2 xlog 2 x030,log 2xlog 2 x +32 (3) =2 3log 2 xlog 2 x) (log2x当且仅当log 2 x 3时等号成立，log 2x ymax 2 2 3二、忽视定值的的选取例 2已知 a,b 是正数且 2ab5 ，求 a(1b) 的最大值。用心爱心专心1错解： a(1b)( a1 b )22当且仅当 a1b 即时取等号又 2ab 5 ，此时 a2,b1, a(1b)的最大值为 4。分析：错误的原因是a(1b) 不是定值。正解： a(1b) 12a(1b)1 ( 2a 1b ) 2 1 ( 6) 29，222222当且仅当 2a1b 即 a
3、3 , b2 时， a(1b) 的最大值为9 。22三、忽视取到“”号的可能性例 3求函数 y sin x2 (0x) 的最小值。0xsin xx 0，错解：，所以 sinysin x22sin x2 2 2，sin xsin x ymin22。分析：错误的原因是等号取不到，因为等号成立的条件是sin x2，即sin xsin x2 ，显然不可能。正解 1： x （ 0， ） 0 sin x1又 y= sin x2=sin x111sin x 2+sin x sin xsin x当且仅当 sin x1即 sinx=1时，取“ =”号，而此时1也有最小值 1sin xsin x当 sin x =
4、1 时， ymin3 。正解 2： x （ 0， ） 0 sin x1令 tsin x ， yt2在 t(0,1上单调减，当t1 即 sin x 1t时， ymin3。用心爱心专心2例 4 已知正数 x, y 满足 x2 y =1，求 11的最小值。（课本中习题）xy错解： 1 x2y2 x 2 y22xy122xy 11211212 2 24 2 。xyxyxy分析：错误的原因是等号取不到。因为第一个等号成立的条件是x2 y ，第二个等号成立的条件是xy ，但两等号不能同时成立。正解： x2 y =111（11） ( x 2 y )=3+2 yx3 2 2xyxyxy当且仅当2 yx 即 x2y是取等号xy 11的最小值是 32 2 。xy由此可见，在利用基本不等式求最值时，只要对以上三个易错点逐一验证，错误是可以防止发生的。用心爱心专心3
