1、【师说系列】 2014 届高考数学一轮练之乐1.2.1变化率与导数、导数的计算文一、选择题lnx1函数 f(x) x 在点 (x0 ，f(x0)处的切线平行于x 轴，则 f(x0) ()111A eB. e C. e2 D e21解析：与 x轴平行的切线，其斜率为x0x0 lnx01 lnx00，所以 f (x0) 0，故x20x201x 0e， f(x0) e.答案： B2阅读下图所示的程序框图，其中f (x) 是 f(x)的导数已知输入f(x) s inx ，运行相应的程序，输出的结果是()A sinxB sinxC cosx D cosx解析 ： f1(x)(sinx) cosx ，f2
2、(x)(cosx) sinx ，f3(x) ( sinx) cosx ，f4(x) ( cosx) sinx ，f5(x)(sinx) cosx ，它以 4 为周期进行变换，故 f2011(x) f3(x) cosx.答案： D43已知点P 在曲线 yex 1上， 为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则 的取值范围是()A 0 ， 4) B 4 ，2 )1C ( ， 3 D 3 ， )244解析： 曲 在点P 的切 斜率 k， ky4ex 4，因 ex 0，1ex ex 2所以由基本不等式得 k 4，又 k0， 1k 0，即 1tan 0，所以12ex ex 234 .答案： D34有一机器人的运
3、 方程 s t2 t (t是 ， s 是位移 ) ， 机器人在 刻 t 2 的瞬 速度 ()1917A. 4B.41513C. 4D.433解析： s(t) t2 t ， s(t) 2t t2 ，机器人在 刻t 2 的瞬 速度 s(2)3134 4 4 .答案： D5已知函数 f(x) 的 函数 f(x) ，且 足 f(x)2xf(1) x2， f(1) ()A 1 B 2 C 1 D 2解析： f(x) 2f(1) 2x，令 x1，得 f (1) 2， B.答案： B6已知函数 f(x) x2 bx 的 象在点 A(1 ， f(1) 的切 l 与直 3x y 2 0平行，若数列 1 的前 n
4、 和 Sn， S2011 的 ()20102009A. 2011B. 201020082011C.D.20092012解析： f(x) 2x b，由 f(1) 2 b 3，得 b 1.11111于是 n2 n n n1，S2011111 1 1 1 11 1 1 12232011201220122011.2012答案： D二、填空 7函数 y sinx cosx 在 x 的切 方程是_ 2解析：当x 时， y sin cos 1，切点为 ( ， 1) y cosx sinx ， k cos sin 1，根据点斜式可得此切线的方程为：y 1 1(x ) ，即 y x 1.答案： y x 18若曲
5、线f(x) ax3 lnx 存在垂直于x 轴的切线，则实数a 的取值范围是 _ 1解析：依题意得f(x) 3ax2 x 0，(x 0) 有实根，1 a 3x3 0.答案： ( ， 0)9在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 在曲线 C：y x3 10x 3 上，且在第二象限内，已知曲线 C 在点 P 处的切线斜率为 2，则点 P 的坐标为 _解析：设P(x0 ， y0)(x0 0) 由题意知y|x x0 3x2010 2， x20 4. x0 2(x0 2 舍去 ) y0 15.点 P 的坐标为 ( 2,15) 答案： ( 2,15)三、解答题910设有抛物线C：y x2 2x 4，通过原点O
6、作 C 的切线 y kx ，使切点 P 在第一象限(1) 求 k 的值；(2) 过点 P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q的坐标解析： (1) 设点 P 的坐标为 (x1 ， y1) ，则 y1 kx1 9y1 x21 2x1 49代入得x21 k 2 x1 40.9P 为切点，k2 2 16 0，17 1得 k 或 k .2 2当 k 17时， x1 2， y1 17.21当 k 2时， x1 2， y1 1.1P 在第一象限，所求的斜率k 2.(2) 由 (1) 得 P 点坐标为 (2,1) ，过 P 点的切线的垂线为y 2x 5.3y 2x 59x2，得 x 2( 舍 ) 由9或y
7、 x22x 4y 4y19点 Q的坐标为 2， 4 .11(2013 绍兴调研 ) 设 t 0，点 P(t,0)是函数 f(x) x3 ax 与 g(x) bx2 c 的图象的一个公共点，两函数的图象在点P 处有相同的切线试用t 表示 a， b， c.解析：因为函数 f(x)， g(x) 的图象都过点(t,0) ，所以 f(t) 0，即 t3 at 0.因为 t 0，所以 a t2.g(t) 0，即 bt2 c 0，所以 c ab.又因为 f(x)， g(x) 在点 (t,0)处有相同的切线，所以 f (t)g(t)而 f (x) 3x2 a，g(x ) 2bx，所以 3t2 a 2bt.将
8、a t2 代入上式得b t.因此 c ab t3.故 a t2 ， b t ，c t 3.b12设函数f(x) ax x，曲线 y f(x)在点 ( 2， f(2)处的切线方程为7x 4y 12 0.(1) 求 f(x) 的解析式；(2) 求曲线 y f(x) 上任一点处的切线与直线 x0 和直 线 y x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值7解析： (1) 方程 7x 4y 12 0 可化为 y4x 3.1当 x 2 时， y 2.又 f (x) a b ， x2b12a 22，a 1，于是b7解得b 3.a ，44故 f(x)3 x .x(2) 设 P(x0 ， y0) 为曲线上任一点，由 y 1 3 知曲线在点 P(x0 ， y0) 处的切线方程为 x23)(x x0) ，y y0 (1 x2033即 y (x0 x0) (1 x20)(x x0)4令 x 0 得 y 6 ， x06从而得切线与直线x 0 的交点坐标为 (0 ，) x0令 y x 得 y x 2x0，从而得切线与直线y x 的交点坐标为 (2x0,2x0)16所以点 P(x0 ， y 0) 处的切线与直线x 0，y x 所围成的三角形面积为2| x0 |2x0| 6.故曲线 y f(x)上任一点处的切线与直线x 0， yx 所围成的三角形的面积为定值，此定值为 6.5
