1、第二章 模糊聚类分析,一、模糊关系,什么是关系,同学集合 X=张三，李四，王五 外语选修课程集合 Y=英，法，德，日 R= (张三, 英), (张三, 法), (李四, 德), (王五, 日), (王五, 英),关系,定义1：集合A,B的直积AB=(a,b)|aA,bB的一个子集R称为A到B的一个二元关系，简称关系。 可见，关系也是个集合。,关系example1,设X为横轴，Y为纵轴，直积XY是整个平面，其上的普通关系xy：,模糊关系,定义：以集合A,B的直积AB为论域，其上的一个模糊子集R称为A,B的一个模糊关系。若A=B，则称为“A上的模糊关系R”，,模糊关系example1,其上的模糊关
2、系R=“x远远 大于y”，怎么表示？ 当x=1000,y=100时，R(x,y)=0.999 当x=20,y=10时，R(x,y)=0.5 当x=20,y=18时，R(x,y)=0.0358,模糊关系example2,例：设身高论域U=140，150，160，170，180，体重论域V=40，50，60，70，80，则身高与体重之间的模糊关系：,模糊关系的运算,模糊关系就是模糊子集，只不过其论域是直积AB罢了 模糊关系的运算法则完全服从模糊集合的运算法则,模糊关系的运算,设R,S都是XY上的模糊关系，则 1) 2),模糊关系的运算,3) 4),模糊关系的运算,5),模糊矩阵的概念,模糊关系的表
3、示模糊矩阵,经典有限集合上的关系，可以使用矩阵来表示。 若论域XY是有限集，模糊关系可以表示为模糊矩阵。 模糊矩阵元素表示关系的隶属值。 若论域XY是连续或无限的，则该论域上的(模糊)关系不能用(模糊)矩阵来表示。,模糊矩阵的定义,如果对于任意i=1,2,m, j=1,2,n,都有rij0,1,则称矩阵R=(rij)mn为模糊矩阵。若rij0,1,则模糊矩阵变成Boole矩阵。 模糊矩阵可以表示模糊关系，对于“A上的模糊关系”用模糊方阵来表示。,模糊矩阵Example,设有四种物品，苹果、乒乓球、书、花组成的论域U，分别用x1,x2，,xn表示，它们的相似程度可以用模糊关系R来表示：,模糊关系
4、与模糊矩阵,如果给定X上的模糊关系I满足 则称I为X的“恒等关系”，表示恒等关系I的矩阵为单位矩阵。,模糊关系与模糊矩阵,若给定XY上的模糊关系O，满足 则称O为XY的“零关系”， 表示零关系O的矩阵为零矩阵。,模糊关系与模糊矩阵,如果给定XY上的模糊关系E满足 称E为XY的“全称关系”，表示全称关系E的矩阵为全称矩阵。,模糊关系与模糊矩阵,如果给定XY上的模糊关系R，定义 称RT为R的“倒置关系”,表示模糊关系RT的矩阵为R矩阵的转置矩阵。,模糊矩阵的运算及性质,模糊矩阵的关系,设A、B为模糊矩阵，记A=(aij), B=(bij)，i=1,2,m,j=1,2,n, 则 (1)相等：A=B
5、对任意i,j 有 aij=bij (2)包含：AB 对任意i,j 有 aijbij,模糊矩阵的运算,设A、B为模糊矩阵，记A=(aij),B=(bij)，i=1,2,m, j=1,2,n, 则 (1)并：AB (aijbij)mn (2)交: AB (aijbij)mn (3)余: Ac (1-aij) mn,模糊矩阵的运算,求,模糊矩阵的运算性质,（1）幂等律：AAA , AA=A; （2）交换律：AB=BA, AB=BA; （3）结合律：(AB)C=A(B C), (AB)C=A(BC); （4）吸收律：A(AB)= A, A(AB)=A; （5）分配律: (AB)C=( AC)(BC),
6、 (AB)C= ( AC)(BC);,模糊矩阵的运算性质,（6）0-1律：AOA, AOO; EA=E,EA=A; （7）还原律：(Ac)c=A; （8）对偶律：(AB)c= AcBc, (AB)c= AcBc.,排中律不成立！ AcA E, AAc O,注意,模糊矩阵的包含性质,模糊关系的合成,模糊关系的合成,设有三个论域X、Y、Z，R1是X到Y上的模糊关系，R2是Y到Z上的模糊关系，则R1与R2的合成R1。R2是X到Z的一个模糊关系，其隶属函数为,模糊关系的合成,当论域为有限时，模糊关系的合成转化为模糊矩阵的合成，合成运算相当于矩阵的合成运算。,模糊矩阵的合成运算,不满足交换律。 例：设 求,模糊方阵,模糊方阵的幂：,合成运算的性质,性质1（结合律）： 性质2： 性质3（分配律）可以推广到多个： 性质4（01律）：,合成运算的性质,合成运算的交运算的分配律不成立,注意,合成运算的性质,性质5： 性质6：,模糊矩阵的转置,与线性代数中，模糊矩阵的转置相同。 性质1： 性质2： 性质3： 性质4： 性质5：,模糊矩阵的截矩阵,模糊矩阵的截矩阵,模糊集合- 截集 模糊矩阵- 截矩阵 定义：设给定模糊矩阵R=(rij)，对任意 0,1，称R=(rij ()为R的截矩阵，其中,模糊矩阵的截矩阵,求模糊矩阵R在=0.5时的截矩阵,
