1、 -257-第二十二章 模糊数学模型 1 模糊数学的基本概念 1.1 模糊数学简介 1965 年，美国著名计算机与控制专家查德 (L.A.Zadeh)教授提出了模糊的概念，并在国际期刊 Information and Control并发表了第一篇用数学方法研究模糊现象的论文“ Fuzzy Sets” (模糊集合 )，开创了模糊数学的新领域。 模糊是指客观事物差异的中间过渡中的“不分明性”或“亦此亦彼性” 。如高个子与矮个子、年轻人与老年人、热水与凉水、环境污染严重与不严重等。在决策中，也有这种模糊的现象，如选举一个好干部，但怎样才算一个好干部？好干部与不好干部之间没有绝对分明和固定不变的界限。
2、这些现象很难用经典的数学来描述。 模糊数学就是用数学方法研究与处理模糊现象的数学。它作为一门崭新的学科，它是继经典数学、统计数学之后发展起来的一个新的数学学科。经过短暂的沉默和争议之后，迅猛的发展起来了，而且应用越来越广泛。如今的模糊数学的应用已经遍及理、工、农、医及社会科学的各个领域，充分的表现了它强大的生命力和渗透力。 统计数学是将数学的应用范围从确定性的领域扩大到了不确定性的领域， 即从必然现象到偶然现象，而模糊数学则是把数学的应用范围从确定领域扩大到了模糊领域，即从精确现象到模糊现象。 实际中，我们处理现实的数学模型可以分成三大类：第一类是确定性数学模型，即模型的背景具有确定性，对象之
3、间具有必然的关系。第二类是随机性的数学模型，即模型的背景具有随机性和偶然性。 第三类是模糊性模型， 即模型的背景及关系具有模糊性。 1.2 基本概念 1.2.1 模糊集和隶属函数 定义 1 论域 X 到 1,0 闭区间上的任意映射 A ： 1,0X -258- )(xxA 都确定 X 上的一个模糊集合 A ，A 叫做 A 的隶属函数， )(xA 叫做 x 对模糊集 A 的隶属度，记为： |)(,( XxxxAA= 使 5.0)( =xA 的点0x 称为模糊集 A 的过渡点，此点最具模糊性。 显然，模糊集合 A 完全由隶属函数A 来刻画，当 1,0)( =xA 时， A 退化为一个普通集。 1.
4、2.2 模糊集合的表示方法 当论域 X 为有限集时，记 ,21 nxxxX L= ，则 X 上的模糊集 A 有下列三种常见的表示形式。 i) zadeh 表示法 当论域 X 为有限集时，记 ,21 nxxxX L= ，则 X 上的模糊集 A 可以写成 nnAAAni iAxxxxxxxiA)()()()(22111+=L 注： “”和“ +”不是求和的意思，只是概括集合诸元的记号； “iiAxx )(”不是分数，它表示点ix 对模糊集 A 的隶属度是 )(iAx 。 ii) 序偶表示法 )(,(,),(,(),(,(2211 nAnAAxxxxxxA L= iii) 向量表示法 )(,),()
5、,(21 nAAAxxxA L= 当论域 X 为无限集时， X 上的模糊集 A 可以写成 -259-=XxAxxA)(注： “ ”也不是表示积分的意思， “iiAxx )(”也不是分数。 例 1 设论域 )190(),180(),170(),160(),150(),140(654321xxxxxxX = (单位 : cm)表示人的身高， X 上的一个模糊集 “高个子 ”( A )的隶属函数 )(xA 可定义为 140190140)(=xxA 用 zadeh 表示法， 65432118.06.04.02.00xxxxxxA += 用向量表示法， )1,8.0,6.0,4.0,2.0,0(=A 例
6、 2 设论域 1,0=X ， Fuzzy 集 A 表示 “年老” ， B 表示 “年轻” ， Zadeh 给出 A 、B 的隶属度函数分别为 =axaxA,0,1 =bxbxaabxbaxA,0,1 =bxbxaabxbaxkA,0,)(,1 =axeaxaxkA,1)( =axaxaxA,exp,12 =2expaxA =axaxaxA,exp1,02柯西型 +=axaxaxA,)(11,1)0,0( )(11axA+= ( ,0 为正偶数 ) +=axaxaxA,)(11,0)0,0( 1.3 模糊关系、模糊矩阵 -264- 1.3.1 基本概念 定义 4 设论域 U ， V ，乘积空间上
7、 ,),( VvUuvuVU = 上的一个模糊子集 R 为从从集合 U 到集合 V 的模糊关系。如果模糊关系 R 的隶属函数为 R ： VU 1,0 ， a),( yx ),( yxR 则称隶属度 ),( yxR 为 ),( yx 关于模糊关系 R 的相关程度。 这是二元模糊关系的数学定义，多元模糊关系也可以类似定义。 设 mxxxU ,21L= ， nyyyV ,21L= ， R 为从从 U 到 V 的模糊关系，其隶属函数为 ),( yxR ，对任意的 ),(jiyx VU 有 1,0),( =ijjiRryx ，njmi ,2,1,2,1 LL = ，记nmijrR= )( ，则 R 就是
8、所谓的模糊矩阵。下面给出一般的定义。 定义 5 设矩阵nmijrR= )( ，且 1,0ijr ， njmi ,2,1,2,1 LL = ，则 R 称为模糊矩阵。 特别地，如果 1,0ijr ， njmi ,2,1,2,1 LL = ，则称 R 为布尔 (Bool)矩阵。当模糊方阵nnijrR= )( 的对角线上的元素ijr 都为 1 时，称 R 为模糊自反矩阵。 当 1=m 或者 1=n 时，相应地模糊矩阵为 ),(21 nrrrR L= 或者TnrrrR ),(21L= ，则分别称为模糊行向量和模糊列向量。 例 4 设评定科研成果等级的指标集为 ),(521xxxU L= ，1x 表示为科
9、研成果发明或创造、革新的程度，2x 表示安全性能，3x 表示经济效益，4x 表示推广前景，5x 表示成熟性； V 表示定性评价的评语论域 ),(4321yyyyV = ，4321, yyyy 分别表示很好、较好、一般、不好。通过专家评审打分，按下表给出 VU 上每个有序对 ),(iiyx 指定的隶属度。 -265-表 2 有序对 ),(iiyx 指定的隶属度 V y1很好y2较好 y3一般 y4不好 x10.45 0.35 0.15 0.05x20.30 0.34 0.10 0.26 x30.50 0.30 0.10 0.10x40.60 0.30 0.05 0.05 x50.56 0.10
10、0.20 0.14由此确定一个从 U 到 V 的模糊关系 R ， 这个模糊关系的隶属度函数是一个 54 阶的矩阵，记为 =14.02.01.056.005.005.03.06.01.01.03.05.026.01.034.03.005.015.035.045.0R 则 R 为一个模糊关系矩阵。 1.3.2 模糊矩阵的运算及其性质 (1) 模糊矩阵间的关系及并、交、余运算 定义 6 设nmijaA= )( ，nmijbB= )( ， njmi ,2,1,2,1 LL = 都是模糊矩阵，定义 i) 相等： BA= ijijba = ； ii) 包含： BA ijijba ； iii) 并： nmi
11、jijbaBA= )(U ； y u x -266- iv) 交： nmijijbaBA= )(I v) 余： nmijCaA= )1( 例5 设=5.03.01.01A ，=9.04.007.0B ，则 =9.04.01.01BAU ，=5.03.007.0BAI ， =CA5.07.09.00(2) 模糊矩阵的合成 定义 7 设smikaA= )( ，nskjbB= )( ，称模糊矩阵 nmijcBA= )(o 为 A 与 B 的合成，其中 skbackjikij= 1)(max 例6 设=5.08.0107.04.0A ，=3.006.04.07.01B ，则 =7.016.04.0BA
12、o ， =3.03.03.05.06.06.05.07.07.0ABo 两模糊矩阵合成的 MATLAB 函数如下： function ab=synt(a,b); m=size(a,1);n=size(b,2); for i=1:m for j=1:n ab(i,j)=max(min(a(i,:);b(:,j); end end -267-模糊方阵mmijaA= )( 的幂定义为 AAA o=2， AAAkko1= (3) 模糊矩阵的转置 定义 8 设nmijaA= )( ， njmi ,2,1,2,1 LL = ，称mnTjiTaA= )( 为 A 的转置矩阵，其中ijTjiaa = 。 (4
13、) 模糊矩阵的 截矩阵 定义 9 设nmijaA= )( ，对任意的 1,0 ， i) 令 =ijijijaaa,0,1)(则称nmijaA=)()(为模糊矩阵 A 的 强截矩阵。 显然，对于任意的 1,0 , 截矩阵是布尔矩阵。 例7 设=18.03.008.011.02.03.01.015.002.05.01A ，则 =11001100001100115.0A ，=11101100101100113.0A 下面给出模糊矩阵的一个性质。 -268- 性质 设nmijaA= )( ， njmi ,2,1,2,1 LL = 是模糊自反矩阵 (对角线上的元素ijr 都为 1 的模糊矩阵 )， I
14、是 n 阶单位矩阵，则 2RRI 证：因为nmijaA= )( 是模糊自反矩阵，即有 1=iir ，所以 RI ，又 ijijiikjikrrrnkaa = 1)(max 即有2RR 。 2 模糊模式识别 本节我们假定论域为 U ， U 上的模糊集的全体记为 )(UF 。 2.1 模糊集的贴近度 贴近度是对两个模糊集接近程度的一种度量。 定义 10 设 )(, UFCBA ，若映射 1,0)()(: UFUFN 满足条件： （ 1） ),(),( ABNBAN = ； （ 2） 1),( =AAN ， 0),( =UN ，这里 为空集； （ 3）若 CBA ，则 ),(),(),( CBNBA
15、NCAN ； 则称 ),( BAN 为模糊集 A 与 B 的贴近度。 N 称为 )(UF 上的贴近度函数。 1海明贴近度 若 ,21 nuuuU L= ，则 =niiiuBuAnBAN1|)()(|11),( 当 U 为实数域上的闭区间 , ba 时，则有 -269-duuBuAabBANba |)()(|11),( 2欧几里得贴近度 若 ,21 nuuuU L= ，则 2/112)()(11),( =niiiuBuAnBAN 当 , baU = 时，则有 2/12)()(11),( baduuBuAabBAN 3黎曼贴近度 若 U 为实数域，被积函数为黎曼可积，且广义积分收敛，则 +duuB
16、uAduuBuABAN)()()()(),(1+duuBduuAduuBuABAN)()()()(2),(2例 8 设 100,0=U ，且 =20 & x=50 & x=0 & x=40 & x=50 & x=60 & x (6) 算术平均值法 -283-=+=mkjkikmkjkikijxxxxr11)(21)(， ),2,1,0( njixijL= (7) 几何平均值法 =mkjkikmkjkikijxxxxr11)(， ),2,1,0( njixijL= (8) 绝对值倒数法 =mkjkikijjixxMjir11,)(,1其中 M 为使得所有 1,0ijr ),2,1,( nji L
17、= 的确定常数。 (9) 绝对值指数法 =mkjkikijxxr1exp ),2,1,( nji L= (10) 海明距离法 =mkjkikjijiijxxxxdxxdHr1),(),(1， ),2,1,( nji L= 其中 H 为使得所有 1,0ijr ),2,1,( nji L= 的确定常数。 (11) 欧氏距离法 =mkjkikjijiijxxxxdxxdEr12)(),(),(1， ),2,1,( nji L= 其中 E 为使得所有 1,0ijr ),2,1,( nji L= 的确定常数。 -284- (12) 切比雪夫距离法 =jkikmkjijiijxxxxdxxdQr1),()
18、,(1其中 Q 为使得所有 1,0ijr ),2,1,( nji L= 的确定常数。 (13) 主观评分法 设有 N 个专家组成专家组 ,21 Nppp L ，让每一个专家对所研究的对象ix 与jx 相似程度给出评价，并对自己的自信度作出评估。如果第 k 位专家kp 关于对象ix 与jx 的相似程度评价位 )(krij，对自己的自信度评估为 )(kaij， ),2,1,( nji L= ，则相关系数定义为 =NkijNkijijijkakrkar11)()()(， ),2,1,( nji L= Step3: 聚类 所谓聚类方法就是依据模糊矩阵将所研究的对象进行分类的方法。 对于不同的置信水平
19、1,0 ，可以得到不同的分类结果，从而形成动态聚类图。常用的方法如下： (1) 传递闭包法 从 Step2 中求出的模糊相似矩阵 R 出发，来构造一个模糊等价矩阵*R 。其方法就是用平方法求出 R 的传递闭包 )(Rt ，则*)( RRt = ；然后，由大到小取一组 1,0 ，确定相应的 截矩阵，则可以将其分类，同时也可以构成动态聚类图。 (2) 布尔矩阵法 设论域 ,21 nxxxX L= ， R 是 X 上的模糊相似矩阵，对于确定的 水平要求X 中的元素分类。 -285-首先，由模糊相似矩阵作出其 截矩阵 )( ijrR = ，即R 为布尔矩阵；然后，依据R 中的 1 元素可以将其分类。
20、如果R 为等价矩阵，则 R 也是等价矩阵，则可以直接分类。 若R 不是等价矩阵，则首先按一定的规则将R 改造成一个等价的布尔矩阵，再进行分类。 (3) 直接聚类法 此方法是直接由模糊相似矩阵求出聚类图的方法，具体步骤如下： 1) 取 11= (最大值 )，对于每个ix 作相似类： 1 =ijjRirxx ，即将满足 1=ijr的ix 与jx 视为一类，构成相似类。 相似类和等价类有所不同，不同的相似类可能有公共元素，实际中对于这种情况可以合并为一类。 2) 取 )(122 321 ，按第 2)步的方法依次类推，直到合并到 X 成为一类为止，最后可以得到动态聚类图。 3.3 模糊聚类分析应用案例
21、 例 15 某地区内有 12 个气象观测站， 10 年来各站测得的年降水量如表 3 所示。为了节省开支，想要适当减少气象观测站，试问减少哪些观察站可以使所得到的降水量信息仍然足够大？ 表 3 年降水量（ mm） 站 1 站 2 站 3 站 4 站 5 站 6 站 7 站 8 站 9 站 10 站 11 站 121981 276.2 324.5 158.6 412.5 292.8 258.4 334.1 303.2 292.9 243.2 159.7 331.21982 251.5 287.3 349.5 297.4 227.8 453.6 321.5 451.0 466.2 307.5 421
22、.1 455.11983 192.7 433.2 289.9 366.3 466.2 239.1 357.4 219.7 245.7 411.1 357.0 353.2-286- 1984 246.2 232.4 243.7 372.5 460.4 158.9 298.7 314.5 256.6 327.0 296.5 423.0 1985 291.7 311.0 502.4 254.0 245.6 324.8 401.0 266.5 251.3 289.9 255.4 362.1 1986 466.5 158.9 223.5 425.1 251.4 321.0 315.4 317.4 246
23、.2 277.5 304.2 410.7 1987 258.6 327.4 432.1 403.9 256.6 282.9 389.7 413.2 466.5 199.3 282.1 387.6 1988 453.4 365.5 357.6 258.1 278.8 467.2 355.2 228.5 453.6 315.6 456.3 407.2 1989 158.2 271.0 410.2 344.2 250.0 360.7 376.4 179.4 159.2 342.4 331.2 377.7 1990 324.8 406.5 235.7 288.8 192.6 284.9 290.5 3
24、43.7 283.4 281.2 243.7 411.1 解 我们把 12 个气象观测站的观测值看成 12 个向量组，由于本题只给出了 10 年的观测数据，根据线性代数的理论可知，若向量组所含向量的个数大于向量的维数，则该向量组必然线性相关。 于是只要求出该向量组的秩就可确定该向量组的最大无关组所含向量的个数，也就是需保留的气象观测站的个数。由于向量组中的其余向量都可由极大线性无关组线性表示，因此，可以使所得到的降水信息量足够大。 用 10,2,1 L=i 分别表示 1981 年， 1982 年， 1990 年。ija （ 10,2,1 L=i ，12,2,1 L=j ）表示第 j 个观测站第
25、 i 年的观测值，记1210)(=ijaA 。 利用 MATLAB 可计算出矩阵 A 的秩 10)( =Ar ， 且任意 10 个列向量组成的向量组都是极大线性无关组，例如，我们选取前 10 个气象观测站的观测值作为极大线性无关组，则第 11， 12 这两个气象观测站的降水量数据完全可以由前 10 个气象观测站的数据表示。设ix （ 12,2,1 L=i ）表示第 i 个气象观测站或第 i 个观测站的观测值。则有 10987654321119379.2679.18396.01649.00442.13075.13191.01639.0756.00124.0xxxxxxxxxxx+=1098765
26、4321129397.265581.15868.50196.278061.199423.183458.68035.96301.104549.1xxxxxxxxxxx+=到目前为止，问题似乎已经完全解决了，可其实不然，因为如果上述观测站的数据不是 10 年，而是超过 12 年，则此时向量的维数大于向量组所含的向量个数，这样的向量组未必线性相关。故上述的解法不具有一般性，下面我们考虑一般的解法，首先，我们利用已有的 12 个气象观测站的数据进行模糊聚类分析，最后确定从哪几类中去掉几个观测站。 （ 1）建立模糊集合 设jA （这里我们仍用普通集合表示）表示第 j 个观测站的降水量信息（ 12,2,1 L=j ） ，我们利用模糊数学建立隶属函数：
