1、,第三章 多维随机向量及其概率分布,3.1 二维随机向量及其联合分布函数,二维随机变量(X,Y)的性质不仅与X和Y各自的性质有关,而且还依赖于它们之间的相互关系,因此必须把它们作为一个整体来研究.为了描述二维随机变量整体的统计规律性,我们引入联合分布函数的概念.,分布函数的几何意义,二元函数能否成为某二维随机变量分布函数的充分必要条件.,边缘分布函数,由于X与Y本身也是一个随机变量,因此也有各自的分布函数,并且,注意 边缘分布与参数 无关！这说明研究多维随机变量,仅仅研究边缘分布是不够,而必须将他们作为一个整体来研究.,整体大于部分之和!,3.2 二维离散型随机变量,定义3.2.1 如果二维随
2、机变量(X,Y)只取有限对或可列无穷多对值,则 称(X,Y)为二维离散型随机变量.,则称上式为(X,Y)的联合分布律.,联合分布律的基本性质,联合分布律也常写成如下表格的形式:,例3.2.1,解,且由乘法公式得,由于,故关于X的边缘分布律为:,同理关于Y的边缘分布律为,联合分布律与边缘分布律的表格形式,例3.2.2 假设5件产品中有3件正品,2件次品,从中取两次,每次取一件,记,分别对有放回抽样和无放回抽样两种情况,求(X1,X2)的联合分布律和边缘分布律.,解 (1)有放回的情形.此时,类似的,可求得其它的 ,最后可得 的联合分布律与边缘分布律如下表:,(2)无放回的情形.此时,注:两种情形
3、的边缘分布律是相同的!,类似的,可求得其它的 ,最后可得 的联合分布律与边缘分布律如下表:,例3.2.3 设二维随机变量 的分布律为,解 由,以及,解得,3.3 二维连续型随机变量,3.3.1 联合概率密度,联合概率密度的基本性质:,1),2),概率密度还有如下性质:,1)设D为任意平面区域, 有,2) 在 的连续点 处,有,3)若平面区域D的面积为0,则,例3.3.1,解,(2) 将 ( X,Y )看作是平面上随机点的坐标,即有,由于,所以,关于X的边缘概率密度为:,同理,关于Y 的边缘概率密度为:,例3.3.2 设(X,Y)的概率密度为,求:1) 常数 ; 2)联合分布函数 ;,4)(X,
4、Y)落在以(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)为顶点的正方形内的概率; 5) 边缘密度函数,3),解 1),2),3),4) 设D为如图所示的单位正方形区域,则所求的概率为,5),同理,注意:在本例中,有,例3.3.3 设随机变量(X,Y)的分布函数为,1) 求常数A,B,C的值;,2)求 的概率密度 ;,3)求边缘概率密度,解 1) 由于,解得:,2) 由性质,得,3),解 (1) 因为,即,(2),即,同理,3.3.2 二维均匀分布,设D为平面有界区域,其面积为SD,若二维随机变量(X,Y)的概率密度为,则称 服从区域D上的均匀分布.,若(X,Y)服从平面区域 D上的均匀分布,则
5、对于D中任一子区域G,有,于是(X,Y)落在D中任一子区域G的概率与G的面积成正比,而与G的形状和位置无关。在这个意义上我们说,服从某区域上均匀分布的二维随机变量在该区域内是“等可能”的。,二维均匀分布,例3.3.5 设(X,Y)服从单位圆 上的均匀分布，求X与Y的边缘概率密度。,解 由题意知,(X,Y)的概率密度为,于是，有,由对称性可知,注意此时,例3.3.6 已知随机变量 ( X , Y ) 在 D上服从均匀分布,试求( X , Y )的分布密度及分布函数,其中D为x 轴,y 轴及直线 y = x+1 所围成的三角形区域 .,解,所以 ( X , Y ) 的分布函数为,四、二维正态分布,
6、二维正态分布的边缘分布仍为正态分布,3.4随机变量的独立性,定义3.4.1 设(X,Y)是二维随机变量,如果对于任意的实数x 和y,随机事件 和 相互独立,即,则称随机变量 和 相互独立.,若离散型随机变量(X,Y)的可能取值为,并且对任意的 和 ,事件,与,相互独立,即,则X与Y相互独立.,二维离散型随机变量的独立性,设二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度为,关于X 和Y的边缘概率密度分别为,和,如果对任意实数x和y,成立,则X 和Y相互独立.,二维连续型随机变量的独立性,例3.4.1设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为:,1 2 3,1,2,且X与Y相互独立,试求 和,解 由于X与
7、Y独立,所以有,又,例3.4.2.设随机变量 X与Y相互独立,下表列出了二维随机变量(X,Y)联合分布律及关于X和关于Y的边缘分布律中的部分数值,试将其余数值填入表中的空白处.,分析,例3.4.3 若(X,Y)的联合概率密度为,问X与Y 是否相互独立?,解,1,1,所以，X与Y不相互独立.,因为,1,1,解 分别记这两个数为X与Y，则它们独立且均服从(0,1)上的均匀分布，(X,Y)的联合概率密度为,独立随机变量的函数仍然是独立的,定理3.4.1 设X与Y是相互独立的随机变量, h(x)和g(y)均为连续或单调函数,则随机变量h(X)与g(Y)也是相互独立的.,证 只对h(x)和g(y)均严格
8、单调增的情形证明此结论,3.5 条件分布,3.5.1离散型随机变量的条件分布,例3.5.2 一射手进行射击,单发击中目标的概率为p (0p1)，射击进行到击中目标两次为止.以X表示第一次击中目标所需射击的次数,以Y表示总共进行的射击次数.试求(X,Y)的联合分布律及条件分布律.,解 由题意知, (X,Y)的可能取值为(i, j),其中,或,并且,于是,3.5.2连续型随机变量的条件分布,综上所述，有,定义3.5.2 设 (X,Y)的联合概率密度为f(x,y), Y的边际概率密度为fY(y) 对于给定的y,若 fY(y)0 ,则称,为Y=y的条件下X的条件概率密度函数;称,为Y=y的条件下X的条
9、件分布函数.,类似的,若X的边缘概率密度fX(x)0, 则称,为X=x的条件下Y 的条件概率密度;称,为X=x的条件下Y 的条件分布函数.,例3.5.3 设(X,Y)服从单位圆 上的均匀分布，求条件概率密度。,解 已知,所以当 时,有,同理, 当 时, 有,例3.5.4 设 X服从0,1上的均匀分布,Y服从 0, X 上的均匀分布,求(X,Y)的联合概率密度和Y的边缘概率密度.,解 由题意知X的边缘概率密度为,又由题意,在给定 的条件下，Y 服从0,x上的均匀分布，所以当 时，有,从而得X与Y的联合概率密度为,Y的边缘概率密度为,3.6 n维随机变量,描述n维随机变量整体统计规律性的仍然是所谓
10、的联合分布的概念,边缘分布,独立性,3.7 多维随机变量函数的分布,基本任务: 已知二维随机变量(X,Y)的分布,求随机变量 Z=g(X,Y)的分布.,3.7.1 多维离散型随机变量函数的分布,证明 显然X+Y的可能取值为0,1,2,并且,即,一个推论,最大值与最小值的分布,(2),从而,如图1所示，系统n个元件串联而成，若第i的元件的寿命为 ，则系统的寿命为,图2 并联系统,若系统是由n个元件并联而成（如图2所示），则系统的寿命为,指数分布的情形,连续场合的卷积公式,证明,或,证 由卷积公式,又由于,式中,从而,即,.,因此，两个独立正态随机变量之和仍为正态随机变量,将例3.7.6的结论推广到多个正态随机变量的情形.,（2）,解 （1）,所以,故,故,
