1、2011 级自动化硕士研究生线性系统理论教案第三章：控制系统的能控性及能观测性(第五讲 )内容介绍 ：能控性和能观测性定义、判据、对偶关系、标准型、结构分解。能控性和能观测性是现代控制理论中最基本概念，是回答：“输入能否控制状态的变化”及“状态的变化能否由输出反映出来”这样两个问题。换句话说，能控性是“能否找到一向量u(t)有效控制 x(t) 变化”。能观测性问题是：“能否通过输出y(t) 观测到状态的变化。 ”一、能控性定义及判据给出一个多变量系统（多输入、多输出）u1y1：G(s)：upym若系统 G(s)在适当的控制 u(t)作用下，每个状态都受影响， 亦在有限的时间内能使系统 G 由任
2、意初始状态转移到零状态，或者说在有限的时间内能使系统由零状态转移到任意指定状态。这说明：输入对状态的控制能力强，反之若 G 的某一状态根本不受影响，那么在有限时间内就无法利用控制使这个状态变量发生变化。说明输入对状态控制能力差。可见：反映输入对状态控制能力的概念是能控性概念。1 定义：若对系统，在 t0 时刻的任意状态 x( t0 )都存在一个有限的时间区间（ t0 , t ）（ tt0 ）和定义在 t 0 ,t上适当的控制 u(t),使在 u(t)作用下 x( t )=0。则称系统在 t0 时刻是状态能控的。如果系统在有定义的时间区域上的每一时刻都能控，称系统为完全能控。x21x1u 考查能
3、控性？Ex:010y10 x状态变量图（信号流图） ：1/ s1/ s12011 级自动化硕士研究生线性系统理论教案ux2x2x1x1y2由于 u 的作用只影响 x1 不影响 x2 ，故 x2 t 不能控。某一状 不能控， 称系 不能控。2 判据： 性定常系 x =Ax+Bu ，若 某一 刻 t0 能控， 称系 完全能控。 ：x =Ax+Buy=cxp 入、 m 出An* n 、 Bn* p 、 C m* n 出一定理：由 x=Ax+Bu 所描述的系 是状 完全能控的必要且充分条件 下列 nnp 的秩等于 n。Qc =BAB An 1 B称 能控性 。 言之 ：系 的状 完全能控的必要且充分的
4、条件是能控性 的秩 n。定理 明可参考 。状 完全能控称“（ A，B）能控”0113例： xx2u34401 系 二 ，n=2A3 4 2 2131324B AB An 1 B =4( B ) AB =411723rankBAB=2=n有二阶子式 13024秩的确定：最高 不 0 子式的 次可知：系 的状 能控，称（A，B）能控信号流 ：u12x2x2x11/ sx122011 级自动化硕士研究生线性系统理论教案u213u1 ,u2 均对 x 1,x2 有影响顺便：计算的行数小于列数的矩阵的秩时，应用下列关系较方便：rank( Qc )=rank( QcQ cT )Q cQcT 为方阵其秩计算
5、较简单。利用 Qc 判定能控性方法被广泛采用。新出现的 PBH 秩检验法也可用于能控性判别。PBH 秩检验法 ：系统( A, B) 能控的充分必要条件是：rank Bi IA =n。式中i 为 A 的各特征值。13221Ex: x 020x11u01311| I-A|= （-1）（-2）（-3）123=3=1，=2，21132而 rankBI-A=rank 11020110133I-A=23=3 时， rankB ,系统不能控。3. 能控性的不变性及第二判据能控性不变性：系统的状态经线性变换其能控性不变。x pzz p-1 Apz p-1Bu 具有能控性y cpz前述：第一种判据使用方便， 但
6、如果系统状态不能控， 难以找出究竟哪个状态失控。第二判据可以给出回答。结论（ 第二判据）： 具有互异特征值的系统( A, B)32011 级自动化硕士研究生线性系统理论教案其状态完全能控的充分必要条件是经非奇异变换化为对角型时，对应输入阵无全零行。1亦：xxB u式中 B 阵不含元素全为零的行n换言之， B 中全零行对应的状态就是不能控状态。当系统具重特征值，且每个重特征值只对应单一约当块时，系统状态能控的充要条件是经非奇异变换化为约当型时，输入阵中与约当块末行对应行无全零行。J 1亦：xxBuJ K上式中每个约当块J i 的最后一行对应的B 阵中的各行元素不全为零。若重特征值不对应单一约当块
7、时，则该特征值所对应的状态能控的充要条件是相重特征值的每个约当小块最后一行对应的B 阵中的各行线性无关。4100Ex:x 040 x4u0023可见，此为约当型，状态能控。 （注：每个特征值对应单一约当块。 ）41042x 040 x00u00230特征值1 =4（二重）对应的约当块最后一行对应B 中第二行为全零行。可见： x2 不能控。1001（注：特征值对应非单一约当块）又： x1xu010B 中相关行线性无关时能控否则不能控。4输出能控性类似可定义输出能控性，并给出判据。输出能控的条件为：42011 级自动化硕士研究生线性系统理论教案CB ,CAB,CA2 B,CA n 1B, D 的秩
8、为 m。45x5举例： x0u11由第二判据，判定能控性。解： 1）、求 Ps 45SI A( S 4 ) S 5 ( S 1)( S 5 )1S特征值1 =-5、 2 =115( 1I A )515求( 1 I A) 之第一行代数余子式组成P11(2 IA )5511之代数余子式 P211P P1 P2511111- 50P1661501662）、 P 11出现全零行，故系统第二状态应不能控。B=01Ux2x2x11/ s x115可见： u 能控制 x10100ex3x001x0u2- 541SIA( S1 )2 ( S2 )1,21 3 2求对应的特征向量，构造P 阵52011 级自动化
9、硕士研究生线性系统理论教案12311104P 232P 1 AP10P 1B1234260可见： P 1 B 中与约当块对应行出现全零行与能控性相关可以证明：具有能控标准型的系统一定能控。而且能控的系统一定可以化为能控标准型。注意：离散系统的能控性可类似给出。二、能观测性及判据能观测性 是回答：能否由输出y(t ) 唯一确定状态x 相的问题。由输出方程：y=cx(t)由于 c 的各元素不同，每个状态对系统输出的响应也不同，而若系统的任意状态分量从输出 y(t)的观测中没有反映，那么该状态就是不能观测的。1定义：若任意状态 x( t0 )可在有限时间间隔内t0tt1 ，由 y(t) 及任意给定的
10、u(t)唯一确定，称在 t0 时刻状态为能观测的，简称t0 能观。若 t0 为任意，则称系统完全能观测。对线性定常系统只要在某时刻 t 0 能观测，则系统定为完全能观。x12x13uEx:x2ux2y= x1考查状态变量图：1ux21 / sx2x1 1/ sx1y32从图上知： x1 、 x2 无关联。y= x1并不能得到 x262011 级自动化硕士研究生线性系统理论教案x2 为不能观测的，所以系统不能观。Ex:x1x2x2x1uy= x1ux2x2x1x1y亦 y= x1 ，x1 可观测。且 x2 影响 x1亦对 y 有影响， x2 能观。2. 判据对给定系统xAxBuyCxDuCCA完
11、全能观充要条件能观测阵Q0的秩为 n。CAn 1TCTTTTn 1T的秩为 n。Q0A CACCCA称A, C 能观测常用： ranknCA n 1x0113xuex：42101y2xu10已知： n=2、p=1、 m=2、CCACrankrank2nCACA n 1系统能观3 能观测性的不变性及第二判据系统经线性变换能观性不变。72011 级自动化硕士研究生线性系统理论教案x=pzz p 1 Apz p 1 Bu y cpz DuCCPCACP P 1 APrank? rankCA n 1CP( P 1 AP ) n 1第二判据： A 特征值互异时由线性变换知存在 P 将 A 化为zzp 1
12、 BuycpzDu系统能观测的充要条件是CP 中无全零列。A 有重特征值时存在P 可将 AJ系统能观测的充要条件是：一特征值对应一约当块时CP 阵中与各约当块首行对应的各列中无全零元素。一特征值对应约当块不单一时，CP 中与（重特征值的）每个约当块首行相对应的列线性无关时，具有能观性。103zzu037Ex:11zy1111无全零列，能观。可见 A 为对角阵， CP11S 1 0z3zS 2u0710yz1010A 为对角阵 cp中第二列全为零（ S1S2 时）10说明对应状态变量不能观测，系统不能观。82011 级自动化硕士研究生线性系统理论教案31xx03Ex3:00yx1000A 为约当
13、量，具有重特征值，只有一约当块，输出阵cp中100与约当块第一行对应的第一列不全为零，故系统能观。1za 0zb0 abEx4:yc 1c 2z12u具二重特征值，但 A 中有二约当块，经考查， CP 中与每个约当块首行对应的列的线性相关性决定能观性。* 所谓“ 线性相关 ”是存在非零行向量 并能将其中之一向量表示成其它向量的线性组合。此例只经考查 c1 与 c2 是否线性无关。线性无关时 , 系统能观，否则不能观。* 若一个系统即为能控 , 又为能观，称系统为能控能观。一般实际系统 均具能控 能观性。称 (A,B,C) 能控能观。三、对偶关系1、能控且能观的系统经典控制理论中，用以描述线性定
14、常系统的数学模型常采用传递函数，且当时假定给出的传递函数都没有零极点相消情形。事实上：传递函数描述的系统是能控且能观的。结论：若描述系统的传递函数无零极相消，则系统总可用状态空间表达式表作成完全能控，完全能观的系统。事实上 ，对存在零极相消传递函数，由于其状态变量取法不同，系统将表示为不能控或不能观系统。Ex： y2 yyuux 1y设x 2yu92011 级自动化硕士研究生线性系统理论教案方程化为x 1x 2 ux 2x 12 x 2uy=x1(可验证系统为能观不能控的 )引入变量 x（哑元）( s1) xy(s)u(s)(s1) 2 x(s1)2 xu(s)u(t )x2x x使 u x
15、2 x x y= x x令 x 1x , x 2x方程有：x1x2x2x12x2uy= x1 + x2可验证系统为能控不能观测的。010uxx1（能控标准型）12y(1 1) x(此系统可控不能观 )可见，经典理论中介绍传递函数概念（无零极相消）是现代控制理论中描述系统的一类能控且能观。单从面上，经典理论研究的范围窄了。一般系统或能控能观，或能控不能观，或能观不能控，或不能控不能观。2、对偶关系设给定系统s1 的状态空间表示xAxBuycx其能控矩阵QcB, AB, An 1 B能观测阵Q0C T , ATC T ,( AT ) n1 C T，再设一系统s2 与 s1 对应（称 s2 为 s1
16、 的对偶系统）。xAT xCT uyBT x其能控性阵： C , AT C T , ( AT ) n 1C T其能观性阵：BT TT TBT TT T n 1BT TB ABn 1B(（ A) () , , (A) (),A) , ,102011 级自动化硕士研究生线性系统理论教案对比 s1与 s2 ：s1 的能控阵与 s2 能观阵同； s2 的能控性阵与 s1 能观性阵同。可得到对偶原理：s1 系统能控（能观测）则对偶系统能观测（能控）。通常采用对偶原理推断对偶系统的性质、特性。四、系统的能控标准型和能观标准型所谓标准型是指状态空间表达式的某种特定规范形式。各种标准型不仅可揭示系统代数结构的
17、本质特点，同时为以后分析、研究系统（系统的识别、实现、指定、位动态补偿等）提供了重要研究工具。前已介绍了用特征向量法如何得到对角型和约当标准型，今天介绍能控标准型和能观标准型。1、单输入系统的能控标准型能控标准型有两种形式， 若直接取能控阵中的 n 个列向量为基底， 所导出的状态空间表达式称为第一能控标准型。0 01A1n10BCCQc10n 1n 1线性 变 换 对 应 的 阵P=b AbAbQc （ 以 b, Ab, , A b 为 基 底 ）其中，i 为 det( I A)nn 111n 的系数与此对应在 14 实现问题中介绍的标准型实现能控型实现：112011 级自动化硕士研究生线性系
18、统理论教案0100A0B11n1称 第二能控 准型。其中 1n ， ： G(s)= 1Sn 12 Sn 2n 中分母多 式的系数。Sn1Sn 1n事 上，第二能控 准型是以b,Ab, , An 1b 等 n 个列向量的某种 合 基底得到的 准型。 性 pTcEx：将下状 空 表达式 第一能控 准型。1202x311x1u0201y001x2416解：构造 Q c = bAb A 2 b = 1681212rank Qc =3所以系 能控，可化 第一能控 准型。（ ： xQc x ） 算 det ( IA)3920021可 ： A109b0(Q c-1 B) c cQc 1 2 120100另
19、性 Tc ：x= Tc x10取 Tc = An 1b, An 2 b, ,b1n 111122011 级自动化硕士研究生线性系统理论教案001则 A =nb =C CTcn1 （为第二能控标准型）1011其中， A 中 i 为 det( IA)nn 1n 的系数。12、单输出系统的能观标准型能观测标准型也有两种形式：1）非奇异阵 PQ01 进行线性变换xQ01 x可得到0 1CA =B =Q0 bCA1Q0n . .1CA n 1C = 1 0 . . . .0= C Q01 ，其中 Q01 为 Q0逆，称为第一能观标准型。2）以非奇异阵 T0进行变换 x= T0 xP T000n得到： A
20、111B = T01 bC = CT0 = 0 . . . . . 0 1称为第二能观标准型。1 1 .n 1.CAn 1.1其中： T0.1C1i 为 det( IA )nn 11n 系数。3、变输入变输出系统的能控性及能观性标准型132011 级自动化硕士研究生线性系统理论教案五、线性系统（定常）的结构分解如果一个 n 维系统是不完全能控的， 且 rankQc n1 ，则其状态空间中所有的n1 个能控状态构成一个 n1 维能控子空间，而其余 n n1 个不能控状态形成一个 （n n1 ）维不能控子空间。对 n 维系统 rankQ0 n2 则同样有能观子空间（ n2 维），n n2 维不能观
21、子空间。一般情况下，这些子空间并没有被分解出来。本节目的：就是将 通过非奇异变换 ，将系统的状态空间 按能控性和能观测性进行结构分解。1能控性分解定理：设线性定常系统(A , B, C) 是状态不完全能控，其能控阵 QC 的秩C1rank Q =n n则存在非奇异变换 xRc xc使状态空间表达式变换为xcxcAxcBuxcxcycxcxc112B Rc1BB1ARcA11 A0C CRc C1C2其中， A Rc0 A22并且c ( A11, B1) 是能控的，即 xc 能控。而 c ( A22 ,0) 是不能控的，即 xc 不能控。非奇异变换阵 RcR1Rn1, Rn1 1Rn 前 n1
22、个列向量可由 Qc 中顺次取 n1 个线性无关的列，另外 (n-n1)个列向量在确得 Rc 非奇异条件下是任意。结构分解如图示：A11uB 1C1142011 级自动化硕士研究生线性系统理论教案xcxcA12yxcxcC2A22可见，能控子系统c：x cA 11 x cB 1 u A 12 x c能控 (n1 维)不能控子系统： xcA 22x c 不能控（ n-n1 维）c2。按能观性分解定理： :若线性定常系统( A, B, C) 是状态不完全能观。CCA=n2n能观阵 Q0 的秩 rank=CAn 1x0则存在非奇异阵x= R0。状态空间表达式变换为x 0= A X+BUx 0y= Cx
23、0x0其中 A R01AR0A110B RO1BB1C CRO C1 OA21A22B2并且0 A11C1是能观测，即 x0 能观；而0 A220 是不能观测的，即 x0 不能观。152011 级自动化硕士研究生线性系统理论教案R1前 n2 个行向量R1 .Rn1 是从能 1Rn 2Q0 中 次取的n1 个 性无关向量。非奇异阵 R0Rn 21后（ n n2）个向量在保 R0 1 非奇异条件Rn下可任意。结构分解图如图：A11uB 1x0x0C1yA21x0x0B 2A22能观测子系统0 ：xoA11xo Bu1 （n2 维子系统能观测）yC1 xo不能观测系统o:x0A22 xcA21 xo
24、B2u例1、 对以下系统进行能控性结构分解0011x103x1 u0130y0 12 x101解：rank bAbA2 b rank 113=23不能控，存在一状态不能控。012162011 级自动化硕士研究生线性系统理论教案1000构造 Rc110（其中 R3= 0为任意）0111xcxc0111Rc1 ARc1bu12xc0u变换后Rc2xcxc00xc01cR cx cx cy112x cx c3按能控性和能观性分解对线性定常系统( A, B,C) 如果不完全能控和不完全能观，那么可对该系统同时按能控性和能观性进行分解。这样将使系统分解为四个部分。能控且能观co，能控不能观co，不能控能
25、观co，不能控且不能观c o 四个系统。对这样的系统须经几次变换可将系统分解为不同子系统，称之为逐步分解法。1）先将系统( A, B,C ) 按能控性分解xc1ARcxc1A11A12xcB1uxcRcxcRcbuA22xc00xcxcycRc xcc1c2 xc2）上式中不能控子系统c ( A22 ,0,C2 ) 按能观性分解。对 xc 取变换 xc = R02xco可将分解为：xc ocxcoRo21 A22 Rc2xcoA330xc oxcoxc oA43A44xcoxcoxcoyc Rc2 xcoc3 ,0xco其中 Ro 21 是按能观测分解的变换阵。3）后将能控子系统c ( A 1
26、1 , A 12, B 1 , C 1 ) 按能观性分解，对 x c 取线性变换172011 级自动化硕士研究生线性系统理论教案x cox c = R 01x co则 x cA 11 x cA 12 x cB 1 u , 将 R01 R02 代入x coA 11 R 01x coA 12 R 02x coB 1R 01x cox coux cox coR 011 A 11 R 01x coR 011 A 12R 02x coR 011 B 1 ux cox cox c oA 110x coA 130x coB 1uA 21A 22x coA 23A 24x coB 2yx coC 10x co
27、C 1 R 01x cox co可见： xc0 为能控能观，xc 0能控不能观状态。经以上三次变换，可导出系统按能控性和能观性进行结构分解形式：x coA 110A 130xx coA 21A 11A 23A 24xx co00A 330xx co00A 43A 44xx coyC 1 0 C 30x cox cox coxcxc0xco步骤： xxcoxcoxc例 2：对例 1 结构分解coB 1coB 2uco0co01、将系统先按能控性分解（由例1 已知）182011 级自动化硕士研究生线性系统理论教案xxcc01112x200x1y1 1x2ccc10 u0x c2、可见：不能控子系统x cx c是能观测的，yx c即 x cx c o （不能控能观测）无需再行分解。0111x c1x cx cu3、将能控子系统220y11 x c按能观性分解，构造非奇异阵111R 0101x co11x cox co01x c o
